WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. 9 Дисперсия и затухание волн Рэлея на одномерной статистической шероховатости свободной поверхности гексагонального кристалла © В.В. Косачёв, Ю.Н. Гандурин Московский государственный инженерно-физический институт (технический университет), 115409 Москва, Россия E-mail: kosachev@theor.mephi.ru (Поступила в Редакцию 23 декабря 2002 г.

В окончательной редакции 4 марта 2003 г.) В аналитическом виде получены выражения для дисперсии и затухания волн Рэлея, распространяющихся в произвольном направлении вдоль статистически шероховатой свободной поверхности гексагонального кристалла (Z-срез). Рассматривается шероховатость — канавки случайной решетки — одномерного типа (функция профиля шероховатости зависит от одной координаты). Использовались результаты, полученные ранее при решении аналогичной задачи для шероховатости двумерного типа. Найденные выражения для дисперсии и затухания волн Рэлея исследованы аналитически и численно во всем диапазоне частот, достижимых в рамках теории возмущений. Показано, что характер дисперсии и затухания рэлеевских волн качественно совпадает со случаем изотропной среды.

В работе [1] проведено детальное исследование дис- стого порядка, перпендикулярной поверхности (Z-срез), персии и затухания волн Рэлея на двумерной стати- получены дисперсия фазовой скорости и коэффициент стической шероховатости свободной поверхности гек- затухания волн Рэлея на одномерной статистической шесагонального кристалла. Вместе с тем представляет роховатости при произвольном угле падения на канавки интерес изучение особенностей поведения дисперсии и случайной решетки. Полученные выражения исследованы аналитически и численно во всем достижимом в затухания волн Рэлея на одномерной статистической рамках теории возмущений диапазоне частот.

шероховатости (канавки случайной решетки).

Рассеянию волн на одномерной статистической шероховатости свободной границы изотропного твердого те1. Постановка задачи ла посвящен ряд работ [2–15]. В[2–5] изучено рассеяние объемных волн детерминированными и периодическими Геометрия задачи приведена на рис. 1. Гексагональный шероховатостями, в [6–8] рассматривается рассеяние кристалл с осью симметрии шестого порядка, паралобъемных волн статистическими шероховатостями для лельной оси x3, ограничен свободной статистически скалярного случая (т. е. когда нет поверхностных и шероховатой поверхностью x3 = (x1) и занимает полусдвиговых волн). Затуханию волн Рэлея посвящены пространство x3 (x1), где (x1) — функция профиля экспериментальная [9] и теоретическая работа [10], в одномерной шероховатости. Гексагональный кристалл которой методом Рэлея получен закон дисперсии рэлерассматривается в приближении упругого континуума евской волны. При этом мнимая часть сдвига частоты и характеризуется плотностью массы и тензором в [10] характеризует затухание волны Рэлея. В рабомодулей упругости Cµ. Одномерная шероховатость тах [11–15] исследование затухания рэлеевской волны (x1) характеризуется среднеквадратичной амплитудой проведено с использованием подхода теории рассеяшероховатости и корреляционным радиусом шерохония. В [11,13] исследовано рассеяние поверхностных ватости a. Вдоль статистически шероховатой поверхнорэлеевских и объемных акустических волн. Заметим, сти гексагональной среды в плоскости x3 = 0 (Z-срез) что в работах [10,11,13,15] исследование проведено для рэлеевской волны, распространяющейся вдоль оси x, т. е.

перпендикулярно канавкам решетки.

В работе [16] получены выражения для дисперсии и затухания волн Рэлея и поверхностных волн SH-поляризации на статистически шероховатой свободной поверхности изотропной среды с помощью модифицированного метода среднего поля при произвольном угле падения на канавки решетки. При этом при выводе выражений для дисперсии и затухания на статистической шероховатости одномерного типа одномерная шероховатость рассматривалась как частный случай двумерной.

Рис. 1. Геометрия полубесконечной однородной упругой гекВ настоящей работе аналогично [16] из выражений [1] сагональной среды с одномерной шероховатостью свободной для гексагонального кристалла с осью симметрии ше- поверхности x3 = (x1).

Дисперсия и затухание волн Рэлея на одномерной статистической шероховатости свободной... распространяется волна Рэлея. Требуется найти диспер- шероховатости, достаточно в выражениях для двумерной сию фазовой скорости и затухание рэлеевской волны, шероховатости сделать формальную замену обусловленные шероховатостью поверхности.

g(k ) g(k ) =(2)(k2)g(|k1|). (12) Будем решать поставленную задачу в предположении слабой шероховатости, где — длина рэлеевской Пусть волна падает на канавки случайной решетки волны. Поскольку сама функция профиля шероховатой под произвольным углом (угол отсчитывается от поверхности неизвестна, будем описывать поверхность нормали к канавкам, параллельным оси x2). Тогда ее статистическими свойствами. В случае одномерной k = k (cos, sin ). (13) шероховатости функция профиля (x1) обладает следующими статистическими свойствами:

Заметим, что из-за трансляционной инвариантности вдоль оси x2 сохраняется компонента волнового вектора, (x1) = 0, (1) параллельная этой оси. Действительно, согласно (12), q =(q1, k sin ) =(q1, k2), (14) (x1) (x 1) = 2W (|x1 - x 1|), (2) или в Фурье-представлении q = q (q1) = q2 + k2 sin2. (15) Следовательно, угол между k и q можно записать (k1) = 0, (3) как (k1) (q1) = 2g(|k1|)(2)(k1 + q1), (4) q1 cos + k sink1q1 + k2qcos = =, (16) k q q2 + k2 sin (k1) = dx1 exp(-ik1x1) (x1). (5) k sin cos - q1 sin k1q2 - k2qДля нахождения явных аналитических выражений исsin = =. (17) k q пользуем гауссов вид фактора g(|k1|) q2 + k2 sin Подставляя в (7) формулы (12)–(17), получаем выg(|k1|) =a exp(-k2a2/4). (6) ражение для дисперсии и затухания волн Рэлея на одномерной шероховатости поверхности 2. Фармальный переход от двумерного (k, ) =1(k, ) - i2(k, ), (18) к одномерному случаю где вещественная часть 1(k, ) описывает дисперсию Задача, аналогичная поставленной выше, в случае фазовой скорости, а мнимая 2(k, ) пропорциональна двумерной шероховатости x3 = (x1, x2) решена в [1].

обратной длине затухания.

При этом общий вид дисперсионного соотношения (выДалее удобно перейти к изучению безразмерной функражения (25), (26) работы [1]) можно записать в виде ции dq1dq= 12(, ), (19) = 2 g(|k - q |) R(q, k | ), (7) R a(2)где = k a — безразмерная переменная, R = cRk (cR — фазовая скорость волны Рэлея на плоской погде интеграл берется по всей плоскости q3 = 0. Рассмотверхности). Тогда 12(, ) можно записать в виде рим одномерную шероховатость как частный случай двумерной. Тогда d 12(, ) = - 3 A(, ) (k1, k2) = d2x exp(-ik x ) (x1) =(2)(k2) (k1), + B(, ) +E(, ) + 2l, (20) (8) функции A(, ), B(, ), E(, ) и коэффициенты d (k ) (q ) = 2g(|k1|)(k2)(2)3(k + q ). (9) и l приведены в Приложении. Аналогично (18) удобно Для двумерной шероховатости уравнение (9) имеет вид записать 12(, ) в виде, выделяя вещественную и мнимую части (k ) (q ) = 2g(|k |)(2)2(k + q ), (10) 12 = 1 - i2, (21) которые, однако, ввиду громоздкости не приводятся.

а выражение (6) Заметим, что выражение для 12(, ), симметричное при замене +, зависит от только как cos g(|k |) =a2 exp(-k2a2/4). (11) и, следовательно, симметрично при замене -, Сравнивая (9) и (10), можно заметить, что для того, поэтому множество углов можно рассматривать в чтобы получить формулы, описывающие дисперсию и диапазоне [0, /2]. Полученная симметрия следует затухание волн Рэлея на одномерной статистической также и из постановки задачи.

Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. 1724 В.В. Косачёв, Ю.Н. Гандурин 3. Длинноволновый предел В длинноволновом пределе ( a) 1. При этом для 2(, ) получается выражение вида () 2(, ) = 3, (22) где () зависит только от и коэффициентов тензора модулей упругости и ввиду громоздкости не приводится.

Поскольку 2(k, ) =cR/2L(k, ) (см. [17]), для обратной длины затухания рэлеевской волны 1/L имеем 1 = 4 (). (23) L aДля вещественной части 12 интеграл в основном Рис. 2. График зависимости вещественной части комплекснобудет формироваться при больших значениях переменго сдвига частоты -1 от безразмерной переменной и угла ной интегрирования t, при этом функции Dn(t, ) с падения рэлеевской волны для кристалла ZnO.

нечетным индексом n будут равны нулю. В результате выражение для 1(, ) принимает вид 1(, ) =- (), (24) где d ()= a1h3/2 1-cos(4) + a2+b2+ a2-ba 2(a1 - h)2 + h2 + 4h(a1 - h) cos(2) +h2 cos(4), 1 c13 ca2 = a1 - 2, b2 = a2 -, 2 c33 cа коэффициенты d, a1, h приведены в Приложении.

С учетом вещественной части (19) для относительного изменения фазовой скорости рэлеевской волны имеем c(, ) = - (). (25) Рис. 3. График зависимости мнимой части комплексного cR aсдвига частоты 2 от безразмерной переменной и угла падения рэлеевской волны для кристалла ZnO.

4. Численный расчет Наряду с аналитическим рассмотрением были численИз них видно, с частности, что при распространении но получены относительное изменение фазовой скороволн Рэлея под большими углами падения они сласти и обратная длина затухания волны Рэлея. В качестве бо затухают, в то время как дисперсия отлична от примера приведем численный расчет выражений (20), нуля. Заметим, что выражение (20) было просчитано (22), (24) для типичного гексагонального кристалла ZnO численно для большинства известных гексагональных (коэффициенты тензора модулей упругости для ZnO кристаллов, при этом полученные графики качественно взяты из [18]). На рис. 2, 3 приведены графики вещесовпадают.

ственной и мнимой частей 12(, ) соответственно, Итак, выше в аналитическом виде найдены выражения из которых видна картина дисперсии и затухания волн для дисперсии и затухания волн Рэлея, распространяюРэлея. Из рис. 2 следует, в частности, что дисперсия фазовой скорости на шероховатой поверхности, как и в щихся вдоль произвольного направления свободной стаизотропном случае, может быть больше, чем на плоской, тистически шероховатой поверхности гексагонального при 1 и в диапазоне углов падения от 55 кристалла. При этом считается, что ось симметрии шедо 90. В длинноволновом пределе 1 выполнены стого порядка перпендикулярна поверхности кристалла численные расчеты коэффициентов () и (), гра- (Z-срез), а рассматриваемая шероховатость — шерохофики которых показаны на рис. 4 и 5 соответственно. ватость одномерного типа (канавки случайной решетки).

Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. Дисперсия и затухание волн Рэлея на одномерной статистической шероховатости свободной... Приложение dt A(, )= (+th2)D0(t, )- t hD1(t, ) 2 tt(t) sin 3/2 h2 t - D2(t, ) +h t D3(t, ) - D4(t, ), 2 (П1) 3/2 p(t) B(, ) =-P dt 2 m(t) +(1 - a1t) t - sinРис. 4. Зависимость функции от угла падения для ZnO в пределе длинных волн ( 1).

(t)Dn(t, ), (П2) n n=2cos() 3 E(, ) =id a2 - 2a1h + h2 + 2 +(a1 - )2 - (a1 - h) D0, +( + h - 2a1) 1 2 D1, + + 2h(a1 - h) - h D2, 1 h2 - hD3, + D4,, (П3) d c13 cl = - 1 + - a1 - 1 + a1, Рис. 5. Зависимость функции от угла падения для ZnO p c33 cв пределе длинных волн ( 1).

(П4) c(1 - ) - p cd =.

c2a1 - + 1 2 - a1 c11 + 3 + 2a1 cc44 c44 cВыражения получены на основании результатов [1] для (П5) дисперсии и затухания волн Рэлея на шероховатости В выражениях (П1)–(П5) использованы следующие двумерного типа с помощью методики, описанной в [16].

обозначения:

Полученное дисперсионное соотношение (20) в случае изотропной среды переходит в выражение (5.12) рабоDn(t, ) = ты [16]. Относительное изменение фазовой скорости и t - sinобратная длина затухания рэлеевской волны просчитаны численно для большинства известных гексагональных exp - cos - t - sin2 cos n (, ) кристаллов во всем диапазоне длин волн, достижимых в рамках теории возмущений, при любых углах падения на канавки решетки. Полученные графики для различ+ exp - cos + t - sin2 cos n (-, ), ных гексагональных кристаллов качественно совпадают между собой и с графиками для изотропной среды [16] и cos + sinотличаются лишь количественно, что связано с изотро- cos (, ) =, t пией Z-cреза гексагонального кристалла. Найдено, что, как и в изотропном случае, дисперсия фазовой скоро = t - sin2, [0, /2], сти на шероховатой поверхности может быть больше, 2(a1 - h)2 + h2 t - 1 t2(a1 - h) чем на плоской. Аналитически и численно исследован (t) =t t - 1 + + 2 2 pp(t) длинноволновый предел, при этом для аналитических результатов получено, что обратная длина затухания c33 + c13 c - a1 m(t) - t - пропорциональна четвертой, а относительное изменение c33 cфазовой скорости — первой степени частоты рэлеевской волны, что совпадает с изотропным случаем. + m(t)(a1 - ), Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. 1726 В.В. Косачёв, Ю.Н. Гандурин 2 t c33 + c[10] A.A. Maradudin, X. Huang. Phys. Rev. B 36, 15, 7827 (1987).

(t) =- - a[11] В.В. Косачёв, Ю.Н. Лохов, В.Н. Чуков. Препринт МИФИ pp(t) c№ 034-88. М. (1988).

c13 [12] A.P. Mayer, M. Lehner. Waves in Random Media 4, 3, m(t) - t - 1 - t(t - 1)(2a1 - h), (1994).

c[13] В.В. Косачёв, Ю.Н. Лохов, В.Н. Чуков. ФТТ 32, 7, 2ht (1990).

(t) = t - 1 + 2h(a1 - h) t t - 1 + 2 pp(t) [14] V.V. Kosachev, Yu.N. Lohov, V.N. Chukov. Solid State Commun. 73, 8, 535 (1990).

c33 + c13 c[15] С.З. Дунин, Г.А. Максимов. Препринт МИФИ № 032-88.

- a1 m(t) - t - 1, М. (1988).

c33 c[16] V.V. Kosachev, A.V. Shchegrov Ann. Phys. 240, 2, 225 (1995).

h[17] A.G. Eguiluz, A.A. Maradudin. Phys. Rev. B 28, 2, (t) =-h t(t - 1), (t) = t t - 1, 3 (1983).

[18] O.L. Anderson. Phys. Acoust. B 3, 80 (1965).

1 t p = p, p(t) = t1 + t2, m(t) = t1, t - 1 2 t2 = z + z - 4y2, t2 = z - z - 4y2, 2 Re t1,t2 > 0, Im t1,t2 < 0, c11 cy2 = (t - 1) t -, c33 cc13 cz = a1 - 2 t - 1 +, c33 c ht - 1, ht - 1 0, tt(t) = -i 1 - ht, ht - 1 < 0, c11c33 - c2 c11 - ca1 =, h =, c33c44 2cc2 1 + - ac =, 2c13+ca2(1 - ) - 1 + - a1 1 cc44 c1 - 3 + - 1 - 2a1 c33 c+ a1(2 + a1) - a2 = 0, 0 <

Ввыражении (П2) символ P обозначает интегрирование в смысле главного значения Коши, а полюс находится в точке t0 =.

Список литературы [1] В.В. Косачёв, Ю.Н. Гандурин. ФТТ 45, 2, 369 (2003).

[2] В.И. Гигорьевский, Ю.В. Гуляев, И.М. Котелянский, Р.А. Мишкиникс, В.П. Плесский, П.Ф. Рутковский. Акуст.

журн. 31, 5, 711 (1985).

[3] А.Д. Лапин. Акуст. журн. 28, 3, 359 (1982).

[4] R. Sato, J. Seismolog. Soc. Jap. Zisin. B 1, 8 (1955).

[5] I.I. Abubakar. Proc. Camb. Phil. Soc. 58, 1, 136 (1962).

[6] Ф.Г. Басс, И.М. Фукс. Рассеяние волн на статистически неровной поверхности. Наука, М. (1972). 391 с.

[7] А.Г. Воронович. Акуст. журн. 30, 6, 747 (1984).

[8] Ю.Н. Лысанов. Акустика океана. Наука, М. (1974). 231 с.

[9] M. De Billy, G. Quentin, E. Baron. J. Appl. Phys. 61, 6, (1987).




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.