WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

нами значением b = 161.2cm-1.

Данное решение соответствует волне, распространяющейся вдоль оболочки. Дисперисионные соотношения для волн в приближении gh qR 1 имеют вид 2. Континуальная модель 1 q2E 2 1 = c2 + µ2q2, 2 =. (8) В континуальном пределе углеродную нанотрубку Rможно представить как цилиндрическую упругую обоВолна с частотой 1 в пределе q = 0 представляет лочку конечной толщины. Это приближение справедлисобой радиальные колебания оболочки (A = 0, C = 0) и во при выполнении неравенств qd0 1, ld0/R соответствует „дышащей“ моде. Второе дисперсионное (R — радиус нанотрубки), соответствующих большой соотношение (8) для малых q 0 определяет „продольдлине волны фонона по сравнению с межатомным ную“ волну A = 0, C = 0.

расстоянием. Линейные уравнения колебаний упругой В общем случае дисперсионные соотношения для тонкой оболочки для смещений, малых по сравнению волн в упругой оболочке сводятся к решению кубис ее толщиной, имеют вид [7] ческого уравнения, следующего из уравнений (5), от2uz 1 - µ 2 1 + µ 2u µ ur 1 2uz носительно квадратов частоты 2 при фиксированных + uz + - =, z 2R2 2 2R z R z c2 t2 числах q и l.

Значения феноменологических параметров µ и c для углеродной однослойной трубки подбирались путем со1 + µ 2uz 1 - µ 2u 1 2u 1 ur 1 2u гласования с длинноволновыми фононными спектрами + + - =, 2R z 2 z R2 2 R2 c2 t2 трубок, полученными на основе дискретной атомной модели, рассмотренной в предыдущем разделе. Значения µ uz 1 u ur h2 2 1 2 1 2ur подобранных подгоночных параметров были следующи+ - - + ur =, R z R2 R2 12 z 2 2 c2 t2 ми: µ = 0.065, c = 20.59 km/s.

(5) Численные расчет фононных спектров углеродгде µ — коэффициент Пуассона; — плотность ма- ной нанотрубки (20, 10) в континуальном приблитериала оболочки; E — модуль Юнга; R — радиус жении приведен на рис. 4. Скорости длинноволносерединной поверхности внутри оболочки; h — тол- вых акустических фононов при l = 0 имели значения щина; z, — цилиндрические координаты точки на V1 = 14.1km/s, V2 = 20.6 km/s; частота „дышащей“ моды Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. Дискретная и континуальная модели для расчета фононных спектров углеродных нанотрубок являются фононы „дышащей“ моды, для которых в континуальном пределе справедлива формула, следующая из (8) и определяющая зависимость предельной частоты (в cm-1) от радиуса трубки (в ):

1093.b =. (9) R Численные расчеты частоты „дышащей “ моды в зависимости от радиуса и хиральностей нанотрубок в длинноволновом пределе приведены на рис. 6. Эти данные получены в рамках дискретной модели и, как следует из рис. 6, отклонение от закона (9) наблюдается для трубок малого радиуса и фактически не обнаруживается зависимость частоты „дышащей“ моды от хиральности.

Рис. 4. Фононные спектры углеродной нанотрубки в континуТаким образом, формула (9) и данные рис. 6 могут быть альной модели для l = 0, 1, 2. Радиус нанотрубки R = 6.785, полезны для экспериментальной идентификации углетолщина стенки трубки равна нулю.

родных нанотрубок по данным рамановского рассеяния света.

Для оценки низкотемпературной теплоемкости нанотрубки можно воспользоваться континуальной моделью, согласно которой в трубке в низкочастотном пределе существуют акустические фононы с моментом импульса, равным нулю, и фононы с моментом импульса, не равным нулю, частота которых в пределе q = 0 не обращается в нуль и зависит от орбитального числа l.

Простая оценка для частоты длинноволновых акустических фононов может быть сделана, исходя из формулы lV 0l, (10) R где V — скорость акустического фонона с l = 0.

В области низких температур при выполнении условий 0l kBT (kB — постоянная Больцмана, T — темпераРис. 5. Фононные спектры углеродной нанотрубки в континутура) в нанотрубке возбуждаются фононы с различным альной модели для l = 0, 1, 2. Радиус нанотрубки R = 6.785, значением орбитального числа l, что может привести отношение толщины стенки к ее радиусу равно 0.295.

к особенностям в теплоемкости трубки.

b = 161.3cm-1. Расчет на рис. 4 выполнен в предположении толщины трубки h = 0. Проведенные расчеты при h = 0 показали сильную зависимость дисперсионной кривой „дышащей“ моды от толщины трубки. В качестве примера на рис. 5 показаны численные расчеты дисперсионных кривых фононов углеродной нанотрубки (20, 10) со значением параметра h/R = 0.295.

Таким образом, рассмотренные дискретная и континуальная модели углеродных нанотрубок могут быть полезны для анализа комбинационного рассеяния света на трубках, для оценки фононной теплоемкости одиночной нанотрубки, а также для анализа электрон-фононного взаимодействия в нанотрубках.

Так, при рассеянии оптического фотона на углеродной нанотрубке в ней может возбудиться либо поглотиться фонон; используя законы сохранения энергии, импульса и момента импульса, можно сформулировать правила Рис. 6. Зависимость предельной частоты „дышащей“ моды от отбора для фотон-фононного взаимодейстия. Фононами радиуса нанотрубки, полученная на основе дискретной модели.

трубки, активными при взаимодействии с фотонами, Частота выражена в сm-1, R —в.

Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. 1726 С.С. Савинский, В.А. Петровский Список литературы [1] S. Iijima. Nature (London) 56, 354 (1991).

[2] P.N. Keating. Phys. Rev. B145, 37 (1966).

[3] R. Saito, T. Takeya, T. Kimura, G. Dresselhaus, M.S. Dresselhaus. Phys. Rev. B57, 7, 4145 (1998).

[4] M.S. Dresselhaus, G. Dresselhaus, P.C. Eklund. Science of Fullerenes and Carbon Nanotubes. Academic, N. Y. (1996).

[5] K.C. Hass. Phys. Rev. B46, 1, 139 (1992).

[6] V.N. Popov, V.E. Van Doren, M. Balkanski. Phys. Rev. B59, 13, 8355 (1999).

[7] А.С. Вольмир. Оболочки в потоке жидкости и газа (задачи аэроупругости). Наука, М. (1976).

Физика твердого тела, 2002, том 44, вып.

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.