WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. 9 Влияние зеемановского расщепления на осцилляции Шубникова–де Гааза в двумерных системах © С.А. Тарасенко Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия E-mail: tarasenko@coherent.ioffe.rssi.ru (Поступила в Редакцию 29 октября 2001 г.) Построена теория эффекта Шубникова–де Гааза в наклонном магнитном поле в двумерных системах. Рассчитан тензор проводимости при произвольном отношении зеемановского расщепления к циклотронному (r) с учетом возможной анизотропии g-фактора. Показано, что при целом r в спектре осцилляций Шубникова– де Гааза доминирует основная гармоника, а фаза осцилляций зависит от четности r. При полуцелом r осцилляции проводимости определяются гармониками второго порядка малости.

Работа поддержана Министерством науки РФ, Российским фондом фундаментальных исследований, INTAS и программой президиума РАН „Квантовые низкоразмерные структуры“.

Как известно, в магнитном поле при низких тем- меняет вид магнитоосцилляционных эффектов. Наприпературах проводимость вырожденного электронно- мер, когда циклотронное расщепление вдвое превыго газа осциллирует при изменении поля (эффект шает зеемановское, r 1/2, осцилляции наблюдаются на удвоенной частоте. Подобные магнитотранспортные Шубникова–де Гааза). Причина этого эффекта состоит в последовательном пересечении уровня Ферми уровня- измерения в наклонном поле, предложенные в работе [5], интенсивно проводятся в последнее время, что ми Ландау в квантующем магнитном поле. В двумерных позволяет определять, например, g-факторы электронов системах малые осцилляции проводимости наблюдаются в квантовых ямах [6–13]. Однако последовательной тев классических магнитных полях, когда c 1, где ории эффекта в настоящее время не существует, что c — циклотронная частота, — время релаксации допускает анализ экспериментальных данных лишь на носителей. Соответствующим малым параметром, опрекачественном уровне.

деляющим амплитуду осцилляций, является величина Цель настоящей работы состоит в создании теории exp(-/c ). Эффект Шубникова–де Гааза в 2D систеэффекта Шубникова–де Гааза в 2D системах в намах теоретически изучен в работах [1,2] и в настоящее клонном магнитном поле. При описании зеемановского время является одним из основных методов характерирасщепления будет принята во внимание возможная зации проводящих структур.

анизотропия электронного g-фактора. Предполагается, Одновременно с диамагнитным (циклотронным) кванчто рассеяние носителей происходит на короткодейтованием в магнитном поле происходит расщепление ствующем потенциале, а время спиновой релаксации электронных состояний на спиновые подуровни — эфсущественно превышает время релаксации импульса.

фект Зеемана. Это расщепление,, линейно по магнитному полю и определяется g-фактором носителей.

В объемных материалах обычно выполняется соот- 1. Расчет тензора проводимости ношение c, поэтому зеемановское расщепление Расчет тензора проводимости в режиме осцилляций не влияет на малые осцилляции Шубникова–де Гааза и Шубникова–де Гааза удобно проводить методом диапроявляется только в очень сильных магнитных полях, граммной техники. Функция Грина невзаимодействуюкогда осцилляции проводимости становятся не малыми.

щих электронов, находящихся во внешнем магнитном Гальваномагнитные явления в объемных материалах поле, с учетом спинового расщепления в общем случае с учетом спинового расщепления рассмотрены в рапредставляет собой матрицу размерности (2 2) боте [3]. Качественно новая ситуация возникает в 2D системах. При приложении магнитного поля под углом G(r, r ) = (n, ky)nk (r)nk (r ), (1) y y к плоскости электронного газа появляется возможность n,ky менять в широких пределах отношение r = / c, поскольку зеемановское расщепление определяется полгде nk (r) =nk ()u(z ) — координатные волновые y y ным магнитным полем B, а циклотронное в случае сильфункции электронов в квантовой яме во внешнем магного размерного квантования носителей — компонентой нитном поле в калибровке Ландау с векторным пополя B, перпендикулярной плоскости электронного тенциалом A =(0, Bx, 0), n и ky — номера уровней газа [4].

Ландау и величины волновых векторов, u(z ) — функция Наличие зеемановского расщепления, сравнимого размерного квантования. Волновые функции носителей с расстоянием между уровнями Ландау, существенно в плоскости квантовой ямы nk () и электронный y Влияние зеемановского расщепления на осцилляции Шубникова–де Гааза в двумерных системах спектр определяются только перпендикулярной компо- Применяя формулу суммирования Пуассона нентой поля, поскольку энергия размерного квантования f (0) существенно превышает расстояние между уровнями f (n) = + dn exp(2ikn) f (n) (10) Ландау.

n k=Будем считать, что выполняется условие хорошей и пренебрегая первым слагаемым, из (6) можно полупроводимости электронного газа чить следующую замкнутую систему уравнений для a и b:

EF/ 1, (2) EF + - a a = -i 1 + 2 exp 2ik 2 c энергия Ферми EF значительно превышает спиновое k=расщепление и расстояние между уровнями Ландау + b sign cos k sign, EF, c, (3) c где c = eB/mc — циклотронная частота, m —эф- EF + - a b = - 2 exp 2ik фективная масса электрона для движения в плоскости, e c k=и c — элементарный заряд и скорость света.

При рассеянии на системе случайно распределенных + b sign sin k. (11) короткодействующих рассеивателей и отсутствии спино c вой релаксации матрица имеет вид Аналогичное уравнение для собственно энергетической части функции Грина без учета спиновых эффектов - (n, ky ) = + EF - c(n + 1/2) - s - X, (4) получено, например, в работе [14].

Для расчета тензора проводимости на частоте элекгде s — гамильтониан, описывающий зеемановское трического поля > 0 будем использовать следующее расщепление соотношение [3,14]:

1 d s =(µ0/2) gB, (5) ()= Sp drdr J(r)G+ (r, r ) iNeµ0 — магнетон Бора, g — тензор электронного J(r )G(r, r) +, (12) g-фактора, —матрица Паули, и —декартовы m координаты. Собственно энергетическая часть X в рамгде (r) — оператор плотности электрического тока, ках самосогласованного борновского приближения не диагональный по спиновым индексам, зависит от номера n[1, 3] и определяется уравнением e e (r) =- -i + A(r) I, (13) c m c X = (n, ky). (6) n N — полная концентрация электронов; суммирование Sp происходит по спиновым переменным. В дальнейшем С учетом (4), (6) матрицу X можно представить нас будет интересовать статическая проводимость, пов виде этому частота будет предполагаться малой и в конеч X = aI + bs/, (7) ных выражениях устремляться к нулю. Поскольку компоненты тензора проводимости вещественны при = где a и b — комплексные величины. Величина спинои связаны между собой соотношениями xx = yy, вого расщепления в общем виде определяется выражеxy = -yx, достаточно вычислить величину нием = xx + ixy. (14) = µ0 gB, (8) Используя вид функции Грина в координатном пред ставлении (1) и матричные элементы оператора плотнокоторое в случае естественной анизотропии g-фактора, сти тока на собственных функциях электрона в магнитвызванной наличием оси размерного квантования, ном поле gxx = gyy = g, gzz = g, g = 0 ( = ), переходит c в соотношение n k y|Jx|nky = ie nn,n-1 - n + 1n,n+1 k,k y, y 2m = µ0 g2B2 + g2 B2, (9) c n k y |Jy|nky = -e 2m где B — компонента магнитного поля, лежащая в плос кости электронного газа. nn,n-1 - n + 1n,n+1 k,k y, (15) y Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. 1692 С.А. Тарасенко проводимость можно представить в следующем виде: Разлагая собственно энергетические части до второго порядка по параметру exp(-/c ), получаем e2c d iNe = Sp n + (n)(n - 1) +.

(±) X = -i 1 + 2exp - exp 2i 2 2 m n 2 c (16) EF /2+ 1 2 После суммирования по спиновым индексам нетрудно - sign + 2 1- exp c 2 c c заметить, что Sp представляет собой сумму двух слагаемых EF /2 + exp 4i - sign sign. (23) c Sp+ = G(+) G(+) + G(-) G(-), (17) + + Окончательное выражение для тензора статической прокаждое из которых является произведением функций водимости ( 0) с точностью до второго порядка имеет вид (±) -G(±)(n) = + EF /2 - c(n + 1/2) - X, (18) Ne2/m 2 xx = 1 + 1 + 2 1 + где величины X(±) определяются выражением 2 2 2 (3 - 2) (±) + 1 - - 2, X = a ± b/2. (19) 1 + 2 (1 + 2)Используя систему уравнений для a и b (11), можно Ne2 /m 1 + 3 xy = - 1 - получить независимые уравнения для X(±) 1 + 2 (1 + 2) 1 + 3 2 2 1 - 3 (±) - 1 - - 2, (24) X = -i 1 + 2 exp 2ik (1 + 2) 2 (1 + 2)k=где = c, 1 и 2 — осциллирующие величины (±) EF /2 + - X первого и второго порядков малости - sign sign, (20) c EF 1 = 2exp - cos 2 - cos, c c c которые отличаются только знаком перед слагаемым /2.

2 EF 2 = 2exp - cos 4 cos 2. (25) Нетрудно заметить, что функции G(±) представляют c c c собой функции Грина невзаимодействующих бесспиноПри отличной от нуля температуре происходит развых электронов в магнитном поле с эффективным уровмытие электронного распределения, что приводит к темнем Ферми EF /2, т. е. частиц, находящихся на верхпературному затуханию осцилляций. Проведя аналогичнем и нижнем спиновых уровнях, а уравнения (20) — ный расчет тензора проводимости методом диаграммной уравнения для собственно энергетических частей этих техники Мацубары при конечной температуре, можно функций Грина. Таким образом, соотношение (17) форпоказать, что выражение (24) сохранится, а у величин мально демонстрирует, что спиновые подсистемы, как и 2 появятся обычные температурные множители и следовало ожидать, при отсутствии спиновой релаксации вносят независимые вклады в проводимость, 1 = 2exp (+) (-) = +. При этом вклад в проводимость c от каждой спиновой подзоны рассчитывается, как и EF проводимость без учета спиновых эффектов,, с заме cos 2 - cos, c c sinh ной величины EF на энергетическое расстояние между уровнем Ферми и дном спиновой подзоны, EF /2, 2 =2exp (±) c = (EF /2). (21) EF cos 4 cos 2, (26) После суммирования по уровням Ландау с исполь c c sinh зованием формулы Пуассона (10) (детальный расчет без учета спиновых эффектов приведен в работе [14]) где = 22T / c, T — температура, выраженная выражение для проводимости приобретает вид в энергетических единицах.

Соотношения (24) вместе с (26) и (9) описывают e2 d (±) (±) (±) магнитопроводимость двумерных систем в режиме ма(±) ± = EF X+ -X c+X+ -X.

2 лых осцилляций Шубникова–де Гааза в магнитном поле (22) произвольной ориентации.

Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. Влияние зеемановского расщепления на осцилляции Шубникова–де Гааза в двумерных системах 2. Результаты расчета и обсуждение На рис. 1 представлены зависимости сопротивления 2 xx = xx/(xx + xy) от магнитного поля при различных значениях соотношения r = / c, рассчитанные по формулам (24) для нулевой темпераутры и параметра EF/ = 10. При отсутствии спинового расщепления (рис. 1, a) малые осцилляции Шубникова–де Гааза определяются гармоникой cos(2EF/ c) первого порядка малости по параметру exp(-/c ). Кратные гармоники проявляются лишь в более сильных полях, когда амплитуда осцилляций становится не малой, и приводит Рис. 2. Расположение уровней Ландау спиновых подсистем к изменению формы осцилляций.

при различных значениях зеемановского расщепления.

Спиновое расщепление, сравнимое с циклотронным, качественно меняет поведение осцилляций Шубникова–де Гааза. Поскольку спиновые подсистемы вносят аддитивные вклады в проводимость, параметры При полуцелых r = 1/2, 3/2... уровни Ландау от осцилляций зависят от относительного расположеспиновых подсистем максимально „рассогласованы“, т. е.

ния уровней Ландау спиновых подзон. В выражениуровни Ландау от одной спиновой подзоны находятся ях для осциллирующих частей тензора проводимости посередине между уровнями Ландау от другой подзоны это приводит к появлению множителей cos( / c) (рис. 2). Это приводит к тому, что осцилляции проводии cos(2 / c) (25), (26). На рис. 2 схематично изобрамости от спиновых подсистем взаимно компенсируются жено расположение уровней Ландау при фиксированном в первом порядке по параметру exp(-/c ). В резульзначении циклотронного расщепления и различных знатате эффект Шубникова–де Гааза определяется гармоничениях параметра r.

кой второго порядка малости, в которую спиновые подсистемы вносят совпадающие вклады при полуцелых r.

Такое удвоение частоты осцилляций и уменьшение амплитуды хорошо видно на рис. 1, b и d.

Когда спиновое расщепление кратно циклотронному, r = 1, 2, 3..., происходит „согласование“ уровней Ландау от спиновых подсистем (рис. 2) и в спектре осцилляций Шубникова–де Гааза снова доминирует основная гармоника. Однако положения максимумов и минимумов сопротивления при четных (рис. 1, e) и нечетных (рис. 1, c) r различны, поскольку в этих случаях положения уровней Ландау отличаются на величину c/2 (рис. 2). Гармоники второго порядка, несколько меняющие форму осцилляций, одинаковы для всех целых r.

Экспериментально эффект Шубникова–де Гааза в наклонном магнитном поле исследовался в ряде работ [5–13]. Эффект смены фазы основной гармоники при переходе от четных к нечетным r использовался для определения g-фактора. При полуцелых значениях r наблюдалось удвоение частоты осцилляций и уменьшение амплитуды, что согласуется с нашими расчетами. Экспериментальные данные, приведенные в работах [9,11,12], показывают, однако, что фазы осцилляций второй гармоники могут быть различны. В [12] экстремумы в зависимости xx от магнитного поля при целых r переходят в максимумы сопротивления при полуцелых r, как и в нашем расчете. В работах [9,11] фаза второй гармоники противоположна. Такое различие в знаке, который определяется плавными функциями магнитного поля, стоящими перед 2 (24), возможно, связано со знаРис. 1. Зависимость сопротивления xx от магнитного поля в условиях эффекта Шубникова–де Гааза при различных отно- чительным отличием транспортного времени релаксации шениях спинового расщепления к циклотронному. от квантового в исследованных структурах.

Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. 1694 С.А. Тарасенко Автор благодарен Н.С. Аверкиеву и Л.Е. Голубу за полезные обсуждения.

Список литературы [1] T. Ando. J. Phys. Soc. Japan 37, 1233 (1974).

[2] A. Isihara, L. Smrka. J. Phys. C19, 6777 (1986).

[3] А.А. Абрикосов. ЖЭТФ 56, 1391 (1969).

[4] T. Ando, A. Fowler, F. Stern. Rev. Mod. Phys. 54, 2, (1982). [Т. Андо, А. Фаулер, Ф. Стерн. Электронные свойства двумерных систем. Мир, М. (1985)].

[5] F.F. Fang, P.J. Stiles. Phys. Rev. 174, 823 (1968).

[6] T.P. Smith III, F.F. Fang. Phys. Rev. B35, 7729 (1987).

[7] R.J. Nicholas, R.J. Haug, K.V. Klitzing, G. Weimann. Phys.

Rev. B37, 1294 (1988).

[8] S.J. Koester, K. Ismail, J.O. Chu. Semicond. Sci. Technol. 12, 384 (1997).

[9] D.R. Leadley, R.J. Nicholas, J.J. Harris, C.T. Foxon. Phys. Rev.

B58, 13 036 (1998).

[10] W. Pan, D.C. Tsui, B.L. Draper. Phys. Rev. B59, 10 208 (1999).

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.