WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

асимптотически поля на бесконечности не равны нулю, такие солитоны имеют вид так называемых солитонов на 3. Качественный анализ пьедестале. Для этого типа солитонов константа C может быть не равной нулю. В этом случае она становится динамических уравнений третьим параметром солитона. В данной работе мы рассмотрим только движущиеся двухпараметрические В общем случае фазовый портрет системы (19) симоколощелевые солитоны по аналогии с уже найденными метричен относительно оси u1 = 0 и является периодидвухпараметрическими щелевыми солитонами [13,14]. ческим по переменной s с периодом, равным. Поэтому Более широкий класс трехпараметрических решений мы будем рассматривать фазовый портрет данной систерассмотрен в работе [15]. мы в области u1 > 0, -/2 s /2 (см. рис. 3).

5 Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. 1604 А.С. Ковалев, О.В. Усатенко, А.В. Горбач Рис. 2. Эволюция фазового портрета системы (19) с изменением частоты нелинейного возбуждения и параметра нелинейности p.

На всех фазовых портретах абсцисса соответствует переменной s, а ордината — переменной u1.

Анализ показывает, что у системы (19) могут суще- фиксированном параметре p. Существуют пять областей ствовать особые точки на фазовой плоскости (u1, s) со значений параметра p с различным поведением системы следующими координатами:

A. p > p1 = 1, I. u1 = 0, s = ± arccos(-);

VB. - = p2 < p < p1, 1/3(2 - V ) 2(1+)(1+V) 1-VII. u1 = ±, s = 0;

2 3p(2-V )+V -3 + 2VC. = p3 < p < p2, 1/2(-1)(1+V) 1-V III. u1 = ±, s = ± ;

2 3p(2-V )+V -6 + 5VD. = p4 < p < p3, 1/2 3V 2(1+V) 1-V IV. u1 = ±, 3p+3-2V2) E. p < p4.

(23) 3p+3-2Vs = ± arccos.

2 3(p-1) Эволюция фазового портрета системы (19) с изменеТип особых точек, а также условие их существова- нием частоты нелинейного возбуждения и параметра ния зависят от значений параметров p и. Удобно нелинейности p представлена схематически на рис. 2.

изучать эволюцию фазового портрета системы (19) в Горизонтальная ось на всех изображенных фазовых портерминах зависимости расположения особых точек на третах соответствует переменной s, а вертикальная — фазовой плоскости (u1, s) от значения частоты при переменной u1, как на рис. 3.

Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. Движение солитонов в модулированных упругих средах В области A при частотах < -1, т. е. под нижней ветвью спектра ленейных волн, особых точек на фазовой плоскости (u1, s) нет и солитонные решения отсутствуют. При таких частотах возможны лишь пространственно-периодические нелинейные волны (так называемые кноидальные волны). При = -1 происходит первая бифуркация и возникают новые типы динамических решений системы (19). В частотном промежутке -1 < < 1 на фазовой плоскости (u1, s) существуют особые точки типа седла с координатами I и особые точки типа центра с координатами II (см. (22)). Седла с координатами I соединяют две сепаратрисы типа L, каждая из которых выходит из одного седла, огибает один из центров с координатами II и заканчивается в другом седле. Фазовый портрет для данного случая изображен на рис. 3, a. Сепаратрисам L соответствуют движущиеся двухпараметрические щелевые солитоны. В таких солитонах амплитуды полей uи u2 имеют стандартную форму ”колокола” с нулевыми асимптотиками на бесконечности (z ±), а фаза s приобретает сдвиг, равный s = arccos(-), при изменении координаты z от - до +. В частном случае p = 1/3 солитонные решения были получены аналитически в работе [13]. На верхней ветви спектра линейных волн, т. е. при = 1, происходит следующая бифуркация системы и в частотном промежутке 1 < < = (3p + 3 - 2V2)/(3(p - 1)(1 - V2)) на фазовой плоскости (u1, s) существуют центры с координатами II и седла с координатами III (рис. 3, b). Возникает два типа сепаратрис N и N, которым соответствуют движущиеся двухпараметрические околощелевые солитоны. Основное отличие околощелевых солитонов N, N от щелевых солитонов L заключается в том, что в этих солитонах амплитуды полей u1, u2 имеют ненулевые асимптотики на бесконечности (солитоны имеют вид так называемых солитонов на пьедестале), а сдвиг фазы s при изменении координаты z от - до + равен s =.

В N-солитоне амплитуда в центре больше амплитуды на бесконечности, а в N -солитоне амплитуда в центре меньше, чем на бесконечности, и он имеет вид ”темного” солитона на пьедестале. Наконец, при частоте = происходит очередная бифуркация: каждый из центров с координатами II расщепляется на седло с теми же координатами и два новых центра с координатами IV.

Таким образом, при частотах > возникает новый тип сепаратрис K, которые выходят из седла II, огибают один из центров IV и возвращаются в то же седло.

Околощелевые солитоны K, так же как и солитоны N, N, имеют ненулевые асимптотики на бесконечности у амплитуд u1, u2, но фаза s в таких солитонах не претерпевает сдвига при изменении координаты z от до +.

Фазовые портреты и солитонные решения систеРис. 3. Фазовые портреты системы (24) при различных мы (19) в области B значений параметра p в щезначениях параметров и p. a — -1 < < 1, p > ли спектра линейных волн и вблизи нее имеют ка(области A и B на рис. 2); b —1 < <, p > 1 (область A чественно такой же вид, как и в области A, одна рис. 2) и 1 < <, 0 < p < 1 (область B на рис. 2);

нако третья бифуркация при частоте = c — <, 0 < p < 1 (область B на рис. 2). 2 = (3p + 3 - 2V )/(3(1 - p)(1 - V )) > 1 отличается Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. 1606 А.С. Ковалев, О.В. Усатенко, А.В. Горбач от бифуркации в области A при =. Теперь впервые возникают движущиеся двухпараметрические каждое из седел с координатами III расщепляется на щелевые солитоны, у которых амплитуды u1 u2 имеют ненулевые асимптотики на бесконечности z ±.

центр с теми же координатами и два новых седла с Наконец, третья и последняя бифуркация происходит координатами IV. При частотах > существует на верхней ветви спектра линейных волн ( = 1).

четыре типа сепаратрис, соединяющих седла IV: N, N, Выше щели спектра линейных волн на фазовой плоско, (рис. 3, c). Соответствующие этим сепаратрисам сти (u1, s) существуют особые точки типа седла с коордидвижущиеся двухпараметрические околощелевые солинатами IV. В этом частотном интервале имеется три типа тоны аналогичны околощелевым солитонам N и N в сепаратрис: N, (солитонные) и M (нефизические). Сочастотном промежутке 1 < <, описанным ранее.

ответствующие этим сепаратрисам решения аналогичны Однако при > сдвиг фазы s при изменении описанным ранее решениям для подобных сепаратрис.

координаты z от - до + у солитонов N и N равен Существенной особенностью области C является то, что s = arccos[(3p+3-2V2)/(3(p-1))], а у солитонов 2 при таких значениях параметра p движущиеся двухпаи s = - arccos[(3p + 3 - 2V )/(3(p - 1))].

раметрические околощелевые солитоны существуют как Граница между областями A и B соответствует знаниже щели спектра линейных волн, так и выше ее. Во чению параметра p = 1. При таком p система (19), как всех остальных областях возможных значений парамеуже упоминалось ранее, качественно совпадает с динамитра p околощелевые солитоны могут существовать либо ческими уравнениями для модулированной нелинейной строго выше щели спектра линейных волн (области A оптической среды. В этом случае происходят только и B), либо строго ниже ее (области D и E).

две бифуркации на нижней и верхней ветвях спектра В областях D и E преобладающую роль играет внешлинейных волн [14,15].

няя ”мягкая” нелинейность. Фазовые портреты в этих Область B содержит значение параметра p = 1/3, областях аналогичны фазовым портретам в областях A соответствующее отсутствию внешнего потенциала для и B, однако они сдвинуты по оси s на /2. Кроме того, двухатомной цепочки. Этот случай и отвечающие ему бифуркации теперь происходят в ”обратном порядке” точные солитонные решения будут рассмотрены отдель(по мере уменьшения частоты ). Выше щели спектра но в следующем разделе, хотя на фазовой плоскости в линейных волн (при > 1) в областях D и E солиобласти B это значение и не выделено.

тонные решения отсутствуют, а околощелевые солитоны Особый интерес представляет область C, где внешсуществуют ниже щели (при <-1). Бифуркационная няя ”мягкая” нелинейность начинает конкурировать с частота в области D лежит внутри щели спектра внутренней ”жесткой” нелинейностью. При частотах линейных волн, а в области E — ниже ее.

<-1, т. е. под нижней ветвью спектра линейных волн, В пределе V 0 граница между областями B и C на фазовой плоскости (u1, s) существуют особые точки соответствует значению параметра p = 0, граница между типа седла с координатами II и III. Седла II соединены областями C и D — p = -1, а область E перестает сепаратрисами типа N. Этим сепаратрисам соответсуществовать. Таким образом, при V = 0 мы получаем ствуют движущиеся двухпараметрические околощелевые эволюционную картину фазового портрета системы (19), солитоны, которые на качественном уровне полностью полностью совпадающую с рассмотренной в работе [7] аналогичны солитонам N в областях A и B. Кроме для неподвижных щелевых и околощелевых солитонов сепаратрис N также существуют сепаратрисы типа M, в двухатомной цепочке с внутренней и внешней некоторые существенным образом отличаются от всех линейностями. В противоположном предельном случае, ранее рассмотренных типов сепаратрис. Сепаратрисы M когда скорость V стремится к своему максимальному выходят из седловых точек II, III и уходят на бесконеч- значению V ±1, остаются только области A, B и E.

ность (u1 ). Соответствующие этим сепаратрисам Граница между областями B и E соответствует значению параметра p = -1/3.

решения не имеют физического смысла. На нижней ветви Изменение знака внутренней нелинейности системы спектра линейных волн ( = -1) происходит первая не приводит к существенно новым физическим резульбифуркация и в частотном промежутке -1 < < < татам. Меняются только последовательность бифуркана фазовой плоскости (u1, s) существуют особые точки ций и области существования околощелевых солитонов.

типа седла с координатами I и III. При таких частотах В частности, в областях A и B околощелевые солитоны существуют только сепаратрисы типа M, и солитонные будут существовать ниже щели спектра линейных волн, решения отсутствуют. При = происходит вторая а в областях D и E — выше ее.

бифуркация, при которой каждое из седел III расщепляется на центр III и два седла IV. Помимо сепаратрис M возникают также сепаратрисы L, соединяющие седла с 4. Точные солитонные решения координатами I. Движущиеся щелевые солитоны L в этой области аналогичны движущимся щелевым солитонам в Для интегрирования системы (19) необходимо задать областях A и B. Кроме того, седла IV соединены между граничные условия, т. е. определить значение интеграла собой сепаратрисами N и, которым соответствуют ”движения” (20), соответствующее конкретному типу щелевые солитоны, аналогичные околощелевым солито- решения. Для этого используется вышеописанный каченам N и в области B. Отметим, что в области C ственный анализ системы дифференциальных уравнений, Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. Движение солитонов в модулированных упругих средах основанный на построении фазового портрета системы. Найденные солитоны представляют собой движущиеся В частности, для получения различных типов солитон- со скоростью V локализованные возбуждения, каждое ных решений необходимо брать значения интеграла (20), из которых образовано двумя нелинейными волнами, соответствующие сепаратрисам на фазовом портрете распространяющимися навстречу друг другу с одинасистемы (19). ковой частотой. Частота этих нелинейных волн и их Аналитические выражения для всех типов солитонных волновые числа определяют два параметра солитона — решений системы (19) при произвольных значениях его скорость V и частоту внутренней прецессии в частоты и характеристики нелинейности p получаются движущейся с солитоном системе координат согласно одной и той же процедуре. Поэтому в этом разделе мы ограничимся лишь рассмотрением частного 0 V = 0 + случая двухатомной цепочки без внешнего потенциа- 2 (1 - V )3/ла (p = 1/3). Динамические двухпараметрические щелевые солитоны в такой системе были получены и 1 - V2 - - 1 - V, проанализированы в работе [13]. Однако, как это было показано в предыдущем разделе, помимо щелевых солитонов в такой системе существуют также околощелевые V k1,2 = ± + солитоны с частотами, лежащими выше щели спектра 2 (1 - V )3/линейных волн.

В частотном диапазоне 1 < < =(2-V2)/(1-V ) - 1 - V - 1 - V2. (26) (p = 1/3) на фазовом портрете системы (19) существует два типа сепаратрис: N и N (рис. 3, b). Этим Область локализации солитона пропорциональна 1/, сепаратрисам соответствует значение интеграла (20) а его амплитуда —, где — введенный ранее малый H0 = ( - 1)2(1 + V) 1 - V2/2. После подстановки параметр. Заметим, что в многоатомной цепочке амплиэтого выражения в (20) и последующего интегрирования туда солитонного решения a и область его локализации системы (19) получаются следующие выражения для связаны соотношением a 1/.

амплитуды u1 и фазы s солитонов N и N :

Амплитуда смещений атомов в центре солитона u1 = 1 - V2 (1 + V )( - 1) K(0) = 1 (1 - V2)1/4 1 + V + 1 - V 3K1/1 + sinh, 2(1 ± cosh ) +( - 1)(1 + sinh2 в зависимости от скорости солитона V и его частоты может быть как больше, так и меньше амплитуды сме s = arctan ( sinh ), (24) щений атомов на бесконечности где = /[( - 1)(1 - (1 - V2)( - 1))], K = 2 ( - 1)(1 - (1 - V2)( - 1)) z, а различные зна() = - 1(1 - V )1/4 1 + V + 1 - V.

ки соответствуют солитонам различных типов (верхний 3Kзнак отвечает солитону N). Из уравнения (21) находим Необходимо также отметить, что фаза составляющих далее выражение для переменной q солитон нелинейных волн приобретает сдвиг V q = - ( - 1)2 Vz ± 2 V 2 (2 - V )(1 - V )= ± 2 (2 - V2)(1 - V2) 1 - a2 exp(-) +a arctan 1 - a2 a1 - a2 1 - a1 - arctan 1 - a2 2 1 - a1 a1 - 1 exp(-) +a+ arctan, (25) 1 - a2 1 - a2 a1 - 1 a2 + - arctan, (27) 1 - a2 2 1 - a2 где an = [1 - (1 - V )( - 1) - (-1)n( - 1) (2 - V2)(1 - V )]/, n = 1, 2.

при изменении переменной z =(x-Vt)/ 1 - V2 от Выражение для солитонов N и N может быть задо +.

писано в терминах смещений атомов при помощи со отношений (18), (15), (10), а также при учете пе- При частотах > на фазовом портрете систерехода к исходным амплитудам, координате и вре- мы (19) существует четыре типа сепаратрис: N, N,, мени: x [(2K2 + 2)/(2K2)]x, t (0/2)t, (рис. 3, c). Аналитическое выражение для движущихся Ai = (2K2 + 2)/(6|K4|) Fi. околощелевых солитонов, соответствующих этим сепаФизика твердого тела, 2001, том 43, вып. 1608 А.С. Ковалев, О.В. Усатенко, А.В. Горбач ратрисам, имеет вид в центре солитона к амплитуде на бесконечности в пределе |V| 1 стремится к единице. Таким образом, при - 1 1 cosh(21) - (-1)n 1/2 больших скоростях движущиеся околощелевые солитоны u(n) = 1 (1 + V), (1 - 1) cosh(21) +cn превращаются в нелинейные волны.

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.