WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. 9 Движение солитонов в модулированных упругих средах © А.С. Ковалев, О.В. Усатенко, А.В. Горбач Физико-технический институт низких температур Национальной академии наук Украины, 61164 Харьков, Украина Харьковский национальный университет, 61077 Харьков, Украина E-mail: univ@kharkov.ua (Поступила в Редакцию 9 ноября 2000 г.

В окончательной редакции 22 февраля 2001 г.) Рассмотрена двухатомная упругая цепочка с нелинейным межчастичным взаимодействием и нелинейным внешним потенциалом. Приведена полная классификация всех типов движущихся двухпараметрических щелевых и околощелевых солитонных решений данной системы при различных соотношениях нелинейностей.

Получены аналитические выражения для движущихся околощелевых солитонов в отсутствие внешнего поля.

Работа выполнена при частичной поддержке проекта INTAS-99 (грант N 167) и программы МНОП (грант USU 082087).

Изучение нелинейной динамики модулированных сред, цепочке с нелинейным межчастичным взаимодействит. е. сред с периодически меняющимися с координатой ем [13]. Движущиеся околощелевые оптические солитопараметрами, привело к открытию новых типов солитон- ны были рассмотрены в [14]. В работе [15] изучена возных возбуждений. В работах Чена, Миллса и Траллинже- можность существования двужищихся трехпараметричера [1,2] при изучении распространения нелинейных волн ских солитонных решений в модулированной оптической в оптических средах с модулированным коэффициентом среде.

прозрачности было впервые теоретически предсказано Данная работа посвящена изучению движущихся упрусуществование щелевых (брэгговских) солитонов. Пара- гих солитонных возбуждений в кристаллах с внутренней метры таких солитонных решений — частота и волновое структурой. Теоретическому рассмотрению нелинейной число — лежат в щели спектра линейных волн системы.

динамики таких систем в последнее время уделяется Первоначально были найдены только неподвижные опти- значительное внимание [3–7,13,16], однако большинство ческие щелевые солитоны. Подобные нелинейные реше- результатов, как правило, получено численными методания были затем получены и в других модулированных ми в рамках простых моделей (см., например, [17,18]).

средах, в частности в кристаллах с микроскопической Несмотря на простоту предлагаемых моделей, исследоструктурой [3–7] и в магнетиках с несколькими магнит- вание их актуально, так как проясняет физическую приными подрешетками [7]. Помимо щелевых солитонов роду сложных нелинейных возбуждений в реальных крив модулированных средах могут также существовать сталлах. В частности, для описания термодинамических солитоны с более сложной структурой и с частотами, и кинетических свойств таких кристаллов необходимо лежащими выше или ниже щели спектра линейных волн знание структуры элементарных возбуждений, которые (так называемые околощелевые солитоны). Такие соли- при больших амплтудах колебаний атомов являются тонные решения были впервые получены в работах Коста существенно нелинейными. Отметим также, что методы, и Пейро [8–10]. В [7] приводится полная классификация развиваемые в настоящей работе, могут быть также всех типов неподвижных щелевых и околощелевых со- использованы для изучения нелинейной динамики других литонов, существующих в нелинейной модулированной модулированных систем, таких как оптические и магнитоптической среде, двухатомной ангармонической цепоч- ные (см., например, [7,19]). В работе рассмотрена двухке, а также в магнитных цепочках с двумя подрешетками.

атомная цепочка с двумя типами нелинейностей: ”внуДвижущиеся щелевые и околощелевые солитоны явля- тренней” нелинейностью межчастичного взаимодейстия ются более сложными по своей структуре. Такие соли- и нелинейным внешним потенциалом (”внешняя” нелитоны являются двухпараметрическими. Они образованы нейность). Проводится анализ всех типов движущихся двумя нелинейными волнами, распространяющимися в щелевых и околощелевых солитонов, существующих в противоположных направлениях с одинаковой частотой. такой системе при различных соотношениях между внуВ качестве двух параметров солитонного решения удоб- тренней и внешней нелинейностями. В частности, покано выбирать скорость солитона и частоту нелинейных зано, что в исследуемой системе возможны новые типы волн, образующих данный солитон. Динамические щеле- движущихся щелевых и околощелевых солитонов, ранее вые солитоны в модулированной оптической среде были не изученные. При определенном соотношении двух проанализированы в работах Вабница и Асевеса [11,12]. конкурирующих нелинейностей околощелевые солитоны Позже Горшков, Ермакова и Марченко получили реше- могут одновременно существовать как выше, так и ниже ния для движущихся щелевых солитонов в двухатомной щели спектра линейных волн системы. Приведены также Движение солитонов в модулированных упругих средах точные аналитические выражения для движущихся околощелевых солитонов двухатомной цепочки в отсутствие внешнего потенциала.

1. Постановка задачи и основные динамические уравнения Рассмотрим одномерную периодическую двухатомную цепочку с чередующимися атомами с массами M и m (M > m), ангармоническим потенциалом межчастичного взаимодействия K2 KU(n) = (n - n-1)2 + (n - n-1)4 (1) 2 и ангармоническим внешним потенциалом Рис. 1. Спектр линейных волн системы (3), определяемый характеристическим уравнением (5). Вертикальными штрихо2 2 4 V(n) = n + n, (2) выми линиями обозначены границы первой зоны Бриллюэна.

2 где n — смещение n-го атома; константы K2 и положительны. Разность атомов в дальнейшем будем Соотношение амплитуд колебаний тяжелых и легких считать малой величиной: (M-m) M, m, чтообеспечичастиц определяется частотой линейных волн [20] вает узость щели запрещенных частот спектра линейных волн.

Уравнение движения для n-го атома имеет вид G 2 2 -= 1 - 1 -. (6) 2 F 2 d2n µ 1 + cos(n) + K2(2n - n-1 - n+1) +2n dtЗдесь верхний (нижний) знак относится к возбуждениям с частотами, лежащими на участках спектра, где + K4 (n - n-1)3 +(n - n+1)3 + 4n = 0, (3) возрастание модуля волнового вектора соответствует увеличению (уменьшению) частоты.

где µ =(M + m)/2, =(M - m)/(M + m).

На нижней ветви спектра, т. е. при 1, амплитуда 1. 1. А н а л и з л и н е й н ы х в о л н. При анализе колебаний тяжелых атомов G превышает амплитуду косвойств линейных волн в приведенной системе общее лебаний легких атомов F. При = 1 амплитуда легких решение линеаризованных уравнений (3) представляется атомов становится равной нулю, а тяжелые атомы колебв виде двух полей, описывающих колебания легких и лются в противофазе. На верхней ветви спектра, при тяжелых частиц, 2, амплитуда колебаний легких атомов превышает n = F exp(it - in), n = ±1, ±3,..., амплитуду тяжелых, которая при = 2 обращается в нуль, при этом легкие атомы колебляются в противофазе.

n = G exp(it - in), n = 0, ±2, ±4,..., (4) Таким образом, нижнюю ветвь можно условно назвать ветвью колебаний тяжелых частиц, а верхнюю — легких.

где величина играет роль волнового числа. В этом Диапазон изменения волнового числа в соотношеслучае удобно ввести отдельную нумерацию для каждого нии (5) соответствует интервалу (-/2, /2) (область, типа частиц, фактически нумеруя элементарные ячейограниченная вертикальными штриховыми линиями на ки [3–7].

рис. 1), т. е. первой зоне Бриллюэна (см., например, [21]).

Закон дисперсии линейных волн вида (4) изображен на рис. 1 и описывается уравнением Более удобным, однако, является другой подход, в котором общее решение линеаризованных уравнений (3) 2 2 2 2 2 4 - (1 + 2)2 + 12 - 12 cos2(a) =0, (5) представлено в виде, универсальном для описания как тяжелых, так и легких частиц [13,20], 2 где 1 = (2K2 + 2)/M, 2 = (2K2 + 2)/m, 2 1 = 2K2/M, 2 = 2K2/M, a — постоянная ре n = A exp i(t - n) +B exp i t - ( - )n. (7) шетки, которую в дальнейшем полагаем равной единице. При = 0 = ±/2 спектр линейных волн имеет При таком подходе в общее решение входят две волны с щель, ширина которой пропорциональна разности масс 2 (2 - 1 =(2K2 + 2)(M - m)/(Mm)) и является малым одинаковой частотой и групповой скоростью, но разными параметром. амплитудами и фазовыми скоростями.

5 Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. 1602 А.С. Ковалев, О.В. Усатенко, А.В. Горбач Амплитуды A и B не являются независимыми, их систему дифференциальных уравнений первого порядка отношение определяется частотой волн [13,20] 2 A1 2K2 A1 2 3Ki + i = A1+A20 t 2K2 + 2 x 0 2(2K2 + 2) 2 1 - 2/2 ± 1 - 2/B =, (8) (3p + 1)|A1|2A1+ 2(3p + 1)|A2|2A1+ 3(p - 1)A2A, A 2 2 1 - 2/2 1 - 2/2 A2 2K2 A2 2 3Ki - i = A2 + A1где верхний (нижний) знак соответствует знаку в фор- 0 t 2K2 + 2 x 0 2(2K2 + 2) муле (6).

(3p + 1)|A2|2A2+ 2(3p + 1)|A1|2A2+ 3(p - 1)A2A, Волновые числа двух волн в решении (7) лежат в 1 пределах так называемой расширенной зоны Бриллюэна, (11) т. е. в диапазоне (-, ). Недостаточность первой зоны где 0 = (2K2 + 2)/µ — частота, соответствующая Бриллюэна объясняется тем фактом, что все атомы в середине щели линейного спектра, = - 0 — цепочке нумеруются последовательно без учета наличия отстройка по частоте от середины щели, частиц двух сортов. Уменьшение элементарной ячейки p = (1 + 4/(2K4))/3 — параметр, характеризующий приводит к расширению зоны Бриллюэна, которая теперь соотношение внутренней и внешней нелинейностей.

совпадает с зоной Бриллюэна для одноатомной цепочки.

Как следует из системы (11), спектр линейных волн Легко установить связь между амплитудами F, G в (4), вида (7) в окрестности волнового числа 0 = /и A, B ( = 0 +, 0) выглядит следующим образом:

G = A + B, 0 2K = 0 ± 1 +. (12) F = A - B. (9) 2 (2K2 + Вводя перенормированные амплитуды Таким образом, оба подхода являются эквивалентными 6|K4|/((2K2 + 2)) Ai = Fi и координаты и с одниковым успехом могут быть использованы для (0/2)t t, ((2K2 + 2)/(2K2))x x, получаем анализа как линейных, так и нелинейных волн.

систему уравнений в безразмерных переменных 1. 2. Н е л и н е й н ы е в о з б у ж д е н и я. При изучении F1 Fнелинейных волн наиболее интересной частью спектра i + i =F1 + F2 - (3p + 1)|F1|2Fявляется окрестность точки 0 = /2 (т. е. значения t x = 0 + с 0), где обе ветви спектра линейных + 2(3p + 1)|F2|2F1 + 3(p - 1)F22F1, волн (5) имеют квадратичную форму.

В соответствии с (7) будем искать решение системы F2 Fi - i =F2 + F1 - (3p + 1)|F2|2Fнелинейных уравнений (3) в виде t x n = A1(n, t) exp i t - n + 2(3p + 1)|F1|2F2 + 3(p - 1)F12F2, (13) где =2/(0) — безразмерная отстройка по частоте + A2(n, t) exp i t + n. (10) от середины щели спектра линейных волн, а = sign K4.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением ”жестВ длинноволновом пределе, когда Ai(n, t) — медленно кой” внутренней нелинейности, т. е. случаем = 1. Как меняющиеся функции номера n, заменяем дискретный известно, в нелинейных системах имеется определенная номер атомов n в Ai(n, t) на непрерывную координату x симметрия свойств солитонных возбуждений при измеи используем разложение нении знака нелинейности (см., например, [22]).

В новых переменных спектр линейных волн (12) Ai(x, t) в системе координат, движущейся с групповой скоAi(x ± 1, t) +Ai(x, t) ± + O(2Ai) x ростью V = /, т. е. для решений вида Fi exp ( - i(x - Vt)), приобретает вид (как будет видно из дальнейшего, Ai(x, t)/x Ai).

В случае слабой модуляции массы в цепочке ( 1), L = ± 1 - V. (14) когда Ai/t 1Ai, 2Ai и Ai/x Ai в щелииоколо щели спектра линейных волн, при подстановке (10) и (3) Полагая в системе (13) p = 1/3, получаем динамичебудем оставлять только первые производные Ai/t ские уравнения для двухатомной цепочки в отсутствие и Ai/x в линейной части уравнения (3). Кроме внешнего потенциала [13]. В случае p = 1 система (13) того, с учетом малости амплитуд осцилляций атомов качественно совпадает с динамическими уравнениями, (|K4||Ai|2/K2 1, |4||Ai|2/2 1) в нелинейной части получаемыми при рассмотрении нелинейной оптической уравнения (3) при подстановке (10) все производные среды с модулированным коэффициентом прозрачносот амплитуд Ai будут опускаться. Для A1 и A2 имеем ти [11,12,14,15].

Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. Движение солитонов в модулированных упругих средах 2. Движущиеся щелевые Полагая в (17) C = 0, получаем связь между полями uи uи околощелевые солитоны 1 - V u2 = u1. (18) Перейдем к анализу системы (13). Будем полагать 1 + V зависимость амплитуд Fi от координаты и времени в Исключая переменную u2 из системы (16), получавиде Fi(x, t) =Fi(x - Vt), стандартном для движущихся ем эффективную ”динамическую” гамильтонову систему со скоростью V солитонов огибающей. Введем новые для u1 и s вещественные переменные u1, u2, q и s du1 3(p - 1) F1 = u1 exp(iq + is), = -u1 sin(2s) + (V )u3 sin(4s), dz F2 = u2 exp(iq - is), (15) ds 3p + = - - cos(2s) + (V)uкоторые удовлетворяют следующей системе дифференdz циальных уравнений:

3(p - 1) + (V )u2 cos(4s), (19) u1 u2 sin(2s) 3 = - + (p - 1) u1u2 sin(4s), x 1 - V 4(1 - V) где переменная z = (x - Vt)/ 1 - V играет роль u2 u1 sin(2s) 3 эффективного ”времени”, (, V) = / 1 - V, = - + (p - 1) u2u2 sin(4s), 1 (V ) = (3 - V )/(2(1 + V) 1 - V2), (V ) = x 1 + V 4(1 + V) = (1 - V)/(1 + V )/2. Гамильтониан этой системы s 3p + 1 3(u2 + u2) +V(u2 - u2) 1 2 2 имеет вид = - + x 1 - V2 8 1 - VH = + cos(2s) u(1 - V)u2 +(1 + V)u2 1 - cos(2s) 2u1u2(1 - V ) 3p + 1 3(p - 1) - u4 - u4 cos(4s), (20) 1 3(p - 1) (1 - V)u2 +(1 + V)u2 4 1 + cos(4s), 8 1 - Vгде переменные u2 и 2s играют роль канонически сопряq V 3p + 1 (u2 - u2) +3V (u2 + u2) 2 1 1 2 женных координаты и импульса.

= - + 2 x 1 - V 8 1 - V Для переменной q получаем следующее дифференциальное уравнение:

(1 - V )u2 - (1 + V)u1 + cos(2s) 2u1u2(1 - V2) dq (3p + 1)V = -V + u2. (21) dz 2 1 - V2 (1 + V) 3(p - 1) (1 - V)u2 - (1 + V)u1 - cos(4s). (16) 8 1 - VНаличие интеграла ”движения” (20) позволяет проинИз первых двух уравнений находим интеграл ”движетегрировать систему уравнений (19). Однако полезно ния” вначале использовать метод качественного анализа ди(1 - V )u2 - (1 + V)u2 = C, (17) 1 намических систем и рассмотреть возможные решения аналогичный интегралу ”движения” в оптических около- системы (19) на фазовой плоскости (u1, s). По виду фазового портрета системы легко восстановить профили щелевых солитонах [2,14,15]. Как упоминалось ранее [2], константа C связана с переносом энергии в нелиней- различных типов решений, возможных при заданных ной волне. Она определяет отношение двух амплитуд в значениях параметров p и. Более того, качественный волне вида (10) и для щелевых солитонов равна нулю, анализ динамической системы (19) позволяет правильпоскольку в таких солитонах поле убывает до нуля но выбрать значение интеграла (20), соответствующее на бесконечности [3–7,13]. В околощелевых солитонах солитонному решению.

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.