WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Физика твердого тела, 2000, том 42, вып. 9 Критерий появления первого связанного состояния оптического полярона © В.К. Мухоморов Агрофизический институт, 195220 Санкт-Петербург, Россия (Поступила в Редакцию 21 декабря 1999 г.) Для производной силы электрон-фононной связи анализируется основное состояние оптического полярона.

Дифференциальное уравнение на собственные значения преобразовано в интегральное уравнение Фредгольма. Применяя метод следов к ядру интегрального уравнения, мы установили, что первое связанное состояние оптического полярона появляется как только для безразмерной константы связи начинает выполняться неравенство c 2.8.

Зависимость поляронных состояний от величины кон- В континуальном приближении гамильтониан электстанты электрон-фононной связи (c) неоднократно рон-фононной системы можно записать как обсуждались [1–6]. Детально изучались предельные 2 случаи сильной связи, когда поляронные образования H = - ( /2m) + ( k/2)(q2 - 2/q3) k k наделяются собственной внутренней структурой, причем k при c 1 число собственных электронных состояний + ckqk-k(r). (1) становится неограниченным [7], и слабой связи, когда k взаимодействие электрона с колебаниями кристаллической решетки можно учесть методами теории возмуГамильтониан (1) справедлив в том случае, когда поверхщений [8,9]. Однако до сих пор остается открытым ность равной энергии сферическая и минимум энергии вопрос о том, при какой именно величине константы находится в точке k = 0. Здесь приняты обозначеэлектрон-фононной связи появляется первое квазидисния: m — эффективная масса зонного электрона, r — кретное связанное состояние оптического полярона. Уже радиус-вектор электрона, qk — нормальные координаты в случае c 6 теория возмущений дает явно неверные продольного оптического колебания с частотой k и предсказания для изменения эффективной массы медленволновым вектором k, ck — коэффициент связи k-го криного электрона [2]. Получаемые большие изменения сталлического колебания с электроном. Для продольных массы противоречат наблюдениям. К общей проблеме оптических колебаний коэффициент связи ck может быть определения числа связанных состояний гамильтонианов представлен в виде с гладкими потенциалами неоднократно привлекалось внимание [10–18].

1/ k В настоящей работе предлагается использовать матеck = - (4c)1/2, |k| 2mk матический подход, основанный на анализе решений интегрального уравнения, соответствующего поляронной проблеме, с целью определения критического значения e2 mk 1/c =, величины константы связи, при которой в полярон k ной потенциальной яме появляется первое связанное состояние.

1 1 = -, (2) Для определения зависимости поляронного потенци s ала от величины константы электрон-фононной связи воспользуемся методом Буймистрова–Пекара [1], опи- где и s — высокочастотная и статическая диэлексывающим квантовые состояния электронов, взаимодей- трические проницаемости среды. Функции ствующих с гармонически колеблющимися поляризационным полем при произвольных значених c. При k(r) =(2/V )1/2 sin(kr + /4)(3) c 0 этот подход воспроизводит результаты теории возмущений, а при c 1 — предельные результаты образуют полную систему функций, ортонормированных для случая сильной автолокализации электрона [7]. В то в кубе объемом V. В методе [1] предполагается, что же время в области промежуточных значений констан- под действием поля электрона изменяются равновесные ты связи (c 1) метод [1] дает значения полной положения q0 гармонических осцилляторов фононного k энергии оптического полярона почти на 5% ниже, чем поля, причем это смещение зависит от электронной альтернативный и часто используемый подход Фейнмана волновой функции (r) и тем самым от координат элекс применением интегралов по траекториям [4]. трона. Учитывая эту зависимость, перейдем в гамильто1560 В.К. Мухоморов ниане (1) от переменных r, qk к новым координатам r, ции (r). В результате получим уравнение q k = qk - q0(r) и запишем его в виде k - ( /2m) + ( k/2)(2q0 |q0| - q02) k k k k H = - - 2 (q0) k 2m q k r - (c2/ k)-k(r) |-k(r)| k k + (q0, q0 ) - (q0) k k1 + q0-k(r) - |-k(r)| q0 - -k(r) |q0| k k k q kq k1 k k q k k,kk - ( /2m)(2nk + 1)(q0)2 =. (7) k k + (q0 + q k)2 k k 2 qk k Сохраняя в дифференциальном уравнении (7) слагаемые, зависящие от координаты r, получим следующее диффе+ ck(q0 + q k)-k(r). (4) k ренциальное уравнение на собственные значения:

k В рамках адиабатического приближения полную волно +(2m/ ) -k(r) |-k(r)| вую функцию системы запишем в виде произведения k = (r) k(q k), где k — собственная волновая k a2 + 2ckak +(c2/ k) + = 0. (8) функция кристаллических колебаний. Функционал полk k ной энергии полярона представим в виде Подставим в уравнение (8) параметр ak в форме (6) и 2 H =( /2m) ||2d - (c2/2 k) |-k(r)| функцию -k(r) и перейдем от суммирования по k к k k интегрированию. В результате получим уравнение + k(nk + 1/2) 4e2c k3 sin(kr) exp(-k2/8) + dk k r[a2k2 + 1 - exp(-k2/4)] c + ck |q0-k(r)| - |-k(r)| |q0| k k 2m k + = 0. (9) + ( /2m)(nk + 1/2) |(q0)2|. (5) k При выводе (9) было принято бездисперсионное приблиk жение k =.

Экстремизируя функционал (5) по q0, можно полу- Далее, следуя [11,17], перейдем от дифференциk чить уравнение Эйлера, решения которого и опреде- ального уравнения к интегральному. Предварительно заменим радиальную функцию основного состояния ляют q0. Однако, как показано в [1], это решение k может быть надежно заменено линейной аппроксима- (r) =u(r)/r. Тогда уравнение (9) можно переписать в цией q0 = ak-k(r), где ak — вариационный пара- виде k метр, определяемый из условия минимума функционала (4). Экстремальное значение параметра ak, полученное d2u(r) 4e2c k3 sin(kr) exp(-k2/8) + dk из (4), равно dr2 r[a2k2 + 1 - exp(-k2/4)] c ck(1 - | cos(kr)| ) ak = -. (6) 2m k+ u(r) =0. (10) + k(1 - | cos(kr)| )2m Электронная волновая функция основного состоя- Вычислить в замкнутом виде интеграл, входящий в ния предполагается гауссовской, (r) = (2/)3/4 уравнение (10), не представляется возможным, однако exp(-r2), и следовательно матричный элемент в для основного электронного состояния его зависимость (6) равен | cos(kr)| = exp(-k2/8), где — от радиус-вектора r может быть с высокой степенью вариационный параметр. Для решения задачи на собстс- надежности аппроксимирована аналитической формой венные значения проварьируем функционал (5) по функ- V0 exp(-r2). Параметры потенциала V0 и находятся Физика твердого тела, 2000, том 42, вып. Критерий появления первого связанного состояни оптического полярона численно при заданных значениях константы связи и вариационного параметра, определяемого из экстремальных свойств функционала (5). Учитывая граничные условия u(0) =u() =0, преобразуем уравнение (10) в интегральное уравнение Фредгольма r 4 u(r) = zu(z) (4cV0/) exp(-z2) +2m/ dz 4 + ru(z) (4cV0/) exp(-z2) +2m/ dz. (11) r Изменение параметра µ в зависимости от величины безразПри выводе (11) использовалось интегральное соотномерной константы электрон-фононной связи c, T1, T2 и T3 — шение итерационные значения следа ядра интегрального уравнения.

x x x x dx dx... f (x)dx =[1/(n-1)!] (x-z)n-1 f (z)dz, Для интегрального ядра Kj(x, x) в третьем порядке итеx0 x0 x0 xраций имеем (12) а также был совершен переход к новой переменной n+k+1 3 2 (n + k + 1)!2n+kn!k! z = r. Далее используя подстановку u(z) = w(z) T3 = -.

4 3 (2n + 1)!(2k + 1)! 4 exp(z2/2) и учитывая, что критическому значению k=1 n=(16) параметра c будет соответствовать потенциал, для которого обращается в нуль, интегральное уравнение (11) Требование (14) позволяет установить критическое знаможно привести к виду чение c, для которого оно будет выполняться. Переход от состояния с Tj1/ j < µ к состоянию, при котором Tj1/ j > µ, можно определить как область появления w(z) =(4cV0/) K(z, t)w(t)dt, (13) первого связанного состояния оптического полярона.

Метод следов применялся ранее [17] при определении числа связанных состояний для различных типов гладких где ядро уравнения имеет теперь потенциалов, и расхождение с результатами прямых численных расчетов [20] не превышает 4%.

t exp[-(z2 + t2)/2], t < z;

На рисунке представлено изменение параметра µ в K(z, t) = z exp[-(z2 + t2)/2], t > z.

зависимости от величины константы электрон-фононной связи. Неравенство для Tj1/ j начинает выполняться как В соответствии с теоремой Мерсера [19] у уравнения только c 2.8, что и соответствует появлению первого с симметричным, вырожденным и непрерывным ядром связанного состояния. Для области значений констанкаким является (13), имеется ограниченное число нетри- ты связи c < 2.8 оптический полярон не обладает виальных решений, и при увеличении силы потенциала собственной внутренней структурой. Найденное критипервое собственное значение появляется как только след ческое значение константы связи близко к приближен ной оценке c > 2 [2]. Сходимость итерационного ядра Tj = Kj(x, x)dx, полученный в j-ом итерационном ряда для Tj, как видно из рисунка, быстрая и позволяцикле метода последовательных приближений, начинает ет ограничиться при оценке µ третьим итерационным удовлетворять неравенству циклом.

Tj1/ j /4cV0 = µ. (14) Список литературы Для j-го итерированного ядра Kj(z, t) справедливо соот[1] В.М. Буймистров, С.И. Пекар. ЖЭТФ 32, 5, 1193 (1957).

ношение [2] D. Pines. Polarons and Excitions / Ed. by C.C. Kuper, C.D. Whitfield. N.Y. (1962). P. 321.

[3] В.М. Буймистров. ФТТ 5, 10, 3264 (1963).

Kj(z, t) = Kj-1(z, t)K(y, t)dy, K1(z, t) =K(z, t). (15) [4] R.P. Feynman. // Phys. Rev. 97, 2, 660 (1965).

[5] W.J. Huybrechts. // J. Phys. C10, 17, 3761 (1977).

[6] N. Tokuda. // J. Phys. C13, 3, L851 (1980).

Физика твердого тела, 2000, том 42, вып. 1562 В.К. Мухоморов [7] С.И. Пекар. Исследования по электронной теории кристаллов. М.–Л. (1951). С. 256.

[8] T. Lee, F. Low, D. Pines. Phys. Rev. 90, 1, 297 (1953).

[9] M. Gurari. Phil. Mag. 44, 329 (1953).

[10] J.M. Blatt, J.D. Jackson. Phys. Rev. 26, 18 (1949).

[11] V. Bargmann. Proc. Natl. Acad. Sci. 38, 961 (1952).

[12] J. Schwinger. Proc. Natl. Acad. Sci. 47, 122 (1961).

[13] K. Chadan. Nuovo Cimento. A33, 191 (1968).

[14] D. Simon. J. Math. Phys. 10, 1123 (1969).

[15] F. Martin. Helwetica Phys. Acta. 45, 1, 140 (1972).

[16] M.L. Baeteman, K. Chadan. Nucl. Phys. A255, 1, 35 (1975).

[17] R. Dutt, R.S. Gangopadhyay. Phys. Lett. A109, 1–2, 4 (1985).

[18] F.M. Fernandez, Q. Ma, R.H. Tipping. Phys. Rev. A39, 4, (1989).

[19] В.И. Смирнов. Курс высшей математики. Т. 4. ГИТТЛ, М.

(1957). С. 812.

[20] Дж. Блатт, И. Вайскопф. Теоретическая ядерная физика.

ИЛ, М. (1952).

Физика твердого тела, 2000, том 42, вып.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.