WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. 9 Поляризационная зависимость спонтанного излучения горячих электронов © В.М. Бондар, О.Г. Сарбей, П.М. Томчук Институт физики Национальной академии наук Украины, 03028 Киев, Украина E-mail: sarbey@iop.kiev.ua (Поступила в Редакцию 9 июня 2001 г.) Исследуется поляризационная зависимость спонтанного излучения горячих электронов, связанная с междолинным перераспределением их в многодолинных полупроводниках.

Показано, что излучение поляризовано в основном перпендикулярно электрическому полю, но может изменять направление поляризации и ее глубину в зависимости от степени перераспределения электронов, их концентрации и величины греющего электрического поля.

(s) Спонтанное излучение носителей заряда из кристал- s-й ветки, q — энергия фононов, —квант света, (s) лов в кубической симметрией не обладает поляризацией.

W (q) — вероятность рассеяния, Il — функция Бесселя Греющее электрическое поле однако нарушает кубичес- l-го порядка, m — поперечная масса электрона, c — кую симметрию распределения электронов в простран- скорость света, а величина определяется формулой стве волновых векторов. Нарушение симметрии может m быть обусловлено различными механизмами, некоторые = Aq + - 1 (Al0)(ql0), (2) m из них в связи с поляризацией излучения и анизотропией поглощения рассматривались в литературе [1,2].

l0 — орт в направлении оси вращения эллипсоида масс В настоящей работе исследуется поляризационная заi-й долины, A — вектор-потенциал электромагнитной висимость спонтанного излучения горячих электронов, волны.

связанная с междолинным перераспределением их в Считая рассеяние, как обычно, квазиупругим, примем, многодолинных полупроводниках. Как хорошо известно, что поглощение и излучение свободных электронов возмож (s) (s) Nq + 1 Nq, но только в присутствии „третьего тела“. В обычных (s) q условиях таким третьим телом являются фононы и примеси, участие которых и обеспечивает закон сохране- где — температура решетки в энергетических едининия квазиимпульса. В многодолинных полупроводниках цах.

(германий, кремний и т. п.) рассеяние как на фононах, Суммарная вероятность рассеяния электронов на всех так и на примесях существенно анизотропно. Это и трех акустических ветвях есть является причиной возникновения поляризационных за3 2 2 1 l0q висимостей при неравномерном заселении долин.

(s) W (q) = W (q) = + d u V s2 q s=1. Постановка задачи. Акустическое 2 l0q l0q u рассеяние + 1 -, (3) s2 q q Рассмотрим сначала анизотропное рассеяние элекs — продольная скорость звука, а s — поперечная.

трона на акустических колебаниях решетки в многодоV — объем, — плотность вещества, и — d u линных полупроводниках. Будем исходить из интеграла константы деформационного потенциала.

столкновений электронов с акустическими фононами, в В соответствии с (1) энергия, которую электроны котором учтено влияние поля высокочастотной электропередают решетке в единицу времени в присутствии магнитной волны на акт столкновения электромагнитной волны, описывается выражением e (s) f = W (q)I2 V l mc P = (p) f (p)dp = P0 - q (s) l=(2 )(s) (s) f (pt + q)(Nq ± 1) - f (p)Nq e l dp f (p) dp W (q)Il (s) (s) mc pt+ q - p - q - l + f (p - q)Nq l=(s) (s) p - p - l, (4) - f (p)(Nq + 1) p- q - p + q - l, (1) где f (p) — функция распределения электронов по где P0 — передаваемая энергия в отсутствие волны, импульсам (p), N(s) — функция распределения фононов p = p + q.

Поляризационная зависимость спонтанного излучения горячих электронов В дальнейшем ограничимся рассмотрением только Выражение (8) и условие | cos | 1 опредедяют одноквантовых процессов (т. е. l = ±1). пределы по q. В результате имеем Как показывают оценки, аргумент в функции Бесселя dp f (p) dp W (q)2 p - p - практически для всех частот в световом диапазоне значительно меньше единицы. С учетом этого для доm бавки к передаваемой решетке энергии, обусловленной = dp f (p ) dqW (q)присутствием поля электромагнитной волны, получим m выражение m ( q)2 m + pq cos - = 2m m m V P(±) = P - P0 = (2 )qmax dpp f (p ) dqq d W (q)2. (9) 2 q e dp f (p) dp W (q) 0 qmin 2mc Здесь d — телесный угол в пространстве q, а q величины qmin и qmax определяются из условия (8) и для p - p. (5) случая поглощения равны Энергия электрона после перехода равна p = p ±.

qmax = p + p2 + 2m Из этого следует, что P(+) описывает процессы, связанные с поглощением, а P(-) — с излучением кванта qmin = -p + p2 + 2m. (10) света.

В (9) вместо функции f (p) использована симметричная Выражение (5) примем за основу для расчета обусловфункция f ().

ленного полем волны поглощения и индуцированного Из (3) следует, что им же изулучения. Интересующее нас спонтанное излучение легко может быть получено, как показано далее, 2 W (q) =W () = + cosd из выражения для индуцированного полем излучения.

V sИнтегрирование в (5) удобно осуществлять в деформированных координатах, в которых исходные эллипu + 1 - cos2 cos2. (11) соидальные изоэнергетические поверхности становятся s сферическими 0.

Здесь — угол между вектором q иортом l Поскольm 1/2 ку W не зависит от модуля q, а величина 2 (как видно p = p, p = p, из (2)) пропорциональна q2, то интегрирование легко m выполняется как по dq, так и по d = cos dd2.

q m 1/2 Остающийся по p интеграл есть q = q, q = q, m ni i 3/dpp2( + )1/2( + 2) f () = p2 p2 p p = + =. (6) 2m 2m 2m 1/ В этих переменных -функция принимает вид dx x + x + 2x e-x. (12) i i p - p В (12) в качестве f () взята мексвелловская функция с эффективной электронной температурой в i-й долине i, ( q)= + pq cos, (7) ni — концентрация электронов в i-й долине.

2m m Интегралы типа (12) можно выразить через функцию Бесселя мнимого аргумента K1(a) где —угол между p и q.

Используя -функцию, легко в (5) проинтегрировать по. При этом dxe-xxn(x2 + 2ax)g( q)2 q p cos = ± -, 2g 1 dn 2m m =(-1)n g + a-geaKg(a), (13) 2 dan | cos | 1. (8) — гамма-функция.

Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. 1542 В.М. Бондар, О.Г. Сарбей, П.М. Томчук При вычислении излучения вместо пределов (10) Теперь из (17) с учетом (15), (16) и (18) получаем следует писать общее выражение для коэффициента поглощения 16 e qmax = p + p2 - 2m, K = 3 c qmin = p - p2 - 2m, (14) 3/nii 1 1 + - (q0l0)(0) (0) а интегрирование по p следует вести в пределах m m (0) m (i) 2m p. - d K1(ai) i 1 - exp a3ea, i i dai ai В результате получим ai =. (21) A A 2 2i P(+) = e2 + i (0) m m (0) Формула (21) справедлива как в классическом пределе (i ), так и в квантовом (i ). В указанных 3/предельных случаях общая формула существенно упро2 nii 1 d K1(ai) i a3ea, (15) i щается и мы получаем 3 c2 dai ai 32 e2 i K = ni P(-) = - exp P(+), i 3 ci i (i) ai =. (16) 1 1 2i + - (q0l0)2 (22) (0) (0) m m (0) m (0) В (15) и (0) — соответственно поперечная и продольная компоненты тензора времени релаксации при (i );

при =, обусловленной рассеянием электронов на 1/акустических фононах. 4 e2 K = Используя (15) и (16), легко получить общее вы3 0c ражение для коэффициента поглощения, связанного с акустическим рассеянием 1 1 ni (0) + - (q0l0)2 (23) (0) m m (0) m (i) ( P(+) + P(-)) i i i K =, (17) при (i ).

Видно, что в общем случае, когда заселенности догде — падающий на полупроводник поток, равный лин ni не равны между собой или электронные температуры в разных долинах i отличаются друг от c 0 c 0 A0 друга, коэффициент поглощения зависит от поляризации = E2 =, (18) волны. Различное заселение долин может быть связано 4 4 c как с различным разогревом электронов в долинах, так 0 — статическая диэлектрическая проницаемость, E — и с одноосными деформациями образца.

электрическое поле волны, A0 — амплитуда вектор- В случае изотропного акустического рассеяния время потенциала релаксации () является скалярной величиной и имеет A = q0A0 cos(t - xz), (19) известный вид q0 — единичный орт, характеризующий поляризацию 1 2 m3/2 d =. (24) волны, x — волновой вектор.

() s2 Учтем, что входящий в (15) множитель, зависящий от поляризации, приводится к виду В этом случае вместо (22) имеем 2 32 e2n A A K. (25) + 3 c m ()(0) m m (0) Формула (25) на множитель отличается от клас1 1 сической формулы Друде. Это незначительное отличие = A0 (0) + - (q0l0)2. (20) (0) m m (0) m связано с тем, что в классической теории Друде не Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. Поляризационная зависимость спонтанного излучения горячих электронов учитывалась энергетическая зависимость времени релак- Как видно, в этой области частот излучение зависит сации. В квантовом пределе при азотропном рассеянии экспоненциально от температуры электронов. Совсем вместо (23) получим иная ситуация в классической области частот (ai 1).

В последнем случае имеем 4n K. (26) 3mc 02 ( ) V 1 1 (-) W + - (q0l0)(0) (0) 35/2 m m (0) m Во избежание недоразумений напомним, что в (25) и (26) n — полная концентрация, в то время как в (22) и (23) ni — концентрация электронов в i-й долине e2ni3/ d. (31) (n = ni).

cВыражение (16) определяет индуцированное полем волны излучение. Интересующее нас спонтанное излуче2. Примесное рассеяние ние горячих электронов нетрудно формально получить, используя выражение (16). С этой целью нормируем В случае примесного рассеяния поглощаемая или вектор-потенциал волны (19) таким образом, чтобы в излучаемая электронами мощность, индуцированная пообъеме V находилось Nph фононов, т. е. используем лем электромагнитной волны, опять будет иметь вид (5) условие с тем лишь отличием, что вероятность рассеяния W (q) 1 ENph =, (26a) вместо формулы (3) будет теперь определяться выражеV нием из которого следует, что 2 -1/(2 )3 4e4N W (q) = ( q)2 +. (32) A0 = c Nph. (27) V x2 r Подставляя теперь (27) в (16), полагая Nph = 1 и до- Здесь N — концентрация ионизированных примесей, r0 — радиус экранирования, x0 — статистическая димножая полученное выражение на плотность конечного электрическая проницаемость. Вероятность (32) рассчисостояния поля, получим интересующую нас формулу тана для случая рассеяния электрона на заэкранировандля спонтанного излучения.

ном кулоновском потенциале.

Плотность конечных состояний поля в единичном Вкратце остановимся на процедуре вычисления необинтервале частот и телесном угле d равна ходимых нам интегралов (см. выражение (5)). Начнем Vk2dk d V с вычисления интеграла (9) для рассматриваемого здесь d() = = 2d. (28) (2 )3d (2c)случая примесного рассеяния. Интеграл (9) соответствовал случаю поглощения кванта. Теперь рассмотрим Проделав указанные выше преобразования, получим случай излучения кванта.

для вклада в спонтанное излучение горячих электронов Учитывая (6) и (7), по аналогии с (9) получим от i-й долины выражение 3/Ve2 nii (-) dp f (p) dp W (q)2 p - p + W = - 65/2 cqmax 1 1 = 2 m m d f () dqq d q W (q)2. (33) + - (q0l0)(0) (0) m m (0) m qmin d K1(ai) Здесь учтено, что излучать кванты могут только элекi a3ea d, i dai ai троны с энергиями. Кроме того, qmax и qmin в (32) для излучения определяются выражениями (14). При вычислении интегралов (9) для акустического рассеяния ai =. (29) 2i мы интегрировали по модулю q.

Формула (29) — для квантовой области частот, т. е.

Это было удобно, поскольку вероятность рассеяния частот, для которых ai = 1 принимает совсем W (q) не зависела от модуля вектора q, а зависела 2i простой вид только от углов. Теперь, как следует из (32), вероятность зависит от модуля передаваемого импульса. Поэтому, в V 1 1 (-) качестве f () примем максвелловскую функцию i-й доW + - (q0l0)(0) (0) 242 m m (0) m лины с температурой i и концентрацией ni ni e2ni( )3/f () = exp -. (34) exp - d. (30) (2i )3/2mm i i cФизика твердого тела, 2002, том 44, вып. 1544 В.М. Бондар, О.Г. Сарбей, П.М. Томчук Пределы интегрирования в (33) сдвинем по энергии Здесь обозначено ( = + ) и возьмем интеграл по частям по переm менной. В результате из (33) получим (q) =B1(q)+(q0l0)2 -B1(q)+2 B2(q). (40) m dp f (p) dp W (q)2 p - p + Напомним, что q0 — орт, характеризующий поляризацию волны, l0 — орт, направленный вдоль оси вращения - niim exp i эллипсоида масс i-й долины.

= d exp (2i )3/2m i С помощью (39) легко находим добавки к мощности, передаваемой (отбираемой) электронной подсистеме, обусловленные воздействием электромагнитной волны.

dq max q d q W (q)2 q=q max В соответствии с (5) и (39) находим d dq min 2m 1/ - q d q W (q)2. (35) e6Nni i d q=q min P(+) = - Ai 4x2c2(m - m)Здесь q max и q min совпадают (благодаря сдвигу по энергии) с выражением (10). Отсюда ясно, что случай dxe-x{ (q max) + (q min)}, излучения отличается от случая поглощения всего лишь - i x x + наличием множителя e. Поэтому соотношение (16) i остается в силе и для примесного рассеяния.

Вычисление интегралов по углам d q W (q)2 ни каких трудностей не представляет и мы легко получаем P(-) = - exp - P(+). (41) i i i (2 )3 4e4 m 2 N С помощью (41) получаем общий вид коэффициd q W (q)2 = V x2 - m ( q)m ента поглощения света свободными электронами при доминирующей роли анизотропного примесного рассеяm ния в многодолинных полупроводниках. Используя (17) A0B1(q) +A 2 -B1(q) +2 B2(q). (36) m и (41), получаем Здесь введены следующие обозначения:

e6Nm1/K =(2)3/2 1 1 - b2 B1(q) = + arctan, x5/2c(m - m)b2 b3 b 1 1 1 n B2(q) =- + arctan, i 1 - exp 1 + b2 b b i i m b2 = 1 +. (37) dxe-x{ (q max) + (q min)} m - m (r0q). (42) Перейдем теперь в (35) к безразмерным переменным x x + i x = и подставим туда выражение (36). При этом i учтем, что в новых переменных Выражение (42) можно существенно упростить в раз1/ (2mi)1/личных предельных случаях. Например, при 1 под i q max = x1/2 + x +, интегралом в (42) можно положить i 1/1/(2mi)1/2m q min = -x1/2 + x +. (38) q max q min = q.

i В результате из (35) получаем Тогда dp f (p) dp W (q)2 p - p + dxe-x{ (q max) + (q min)} i 2 (q ).

2m 1/(2 )3 e4Nni m x x + i = V x2 i m - m Выпишем общее выражение для излучения горячих dxe-x{ (q max) + (q min)} A0. (39) электронов i-й долины в случае примесного рассеяния.

s x + Используя (41) и повторяя те же процедуры, которые i Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. Поляризационная зависимость спонтанного излучения горячих электронов были проделаны при получении (29), легко находим e6Nnim d (-) W = exp i 4(2)3/2x2c3 i(m - m) dxe-x{ (q max) + (q min)}. (43) x x + i 3. Обсуждение результатов Формулы (29) и (43) описывают электромагнитное излучение электронами одной долины. Структура этих формул такова, что обе они и их сумма могут быть записаны в виде Зависимость интенсивности излучения n-Ge от угла поворота поляризатора. Одноосное давление, P, kbar/cm2: 1 — 0, (-) W = R + Q2(q0, i0). (44) 2 —1.0, 3 —2.0, 4 —3.0, 5 —4.0, 6 —6.0.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.