WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 2000, том 42, вып. 8 Энергия деформируемых и дефектных углеродных кластеров © А.Е. Романов, А.Г. Шейнерман Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия Институт проблем машиноведения Российской академии наук, 199178 Санкт-Петербург, Россия E-mail: alexei@romanov.ioffe.rssi.ru (Поступила в Редакцию 1 февраля 2000 г.) В работе предложен метод расчета энергии деформированных сферических и цилиндрических углеродных кластеров нанометрового размера. Для демонстрации метода рассчитана упругая энергия сферического кластера, деформированного в результате внедрения в него двух типов дефектов — дисклинации или центра дилатации. Показано, что энергия дефекта в оболочке кластера зависит от кривизны ее поверхности, а также что сферическая форма бездефектной оболочки является устойчивой.

Настоящая работа выполнена в рамках научно-технической программы ”Фуллерены и атомные кластеры” (проект 98065 ”кластер”) и при частичной поддержке Российского научного совета ”Физика твердотельных наноструктур” (проект 97-3006).

К наиболее распространенным методам расчета энер- ентом Пуассона и двумя главными кривизнами по гии углеродных кластеров и определения их равновес- верхности K1 и K2. Взаимодействие между соседними ных конфигураций относится их квантово-химическое и оболочками описывается упругими силами, зависящими молекулярно-динамическое моделирование [1–4]. Недав- от расстояния между этими оболочками. Такое предно для расчета энергии кластеров был предложен ана- ставление лучше всего подходит для оболочек идеалитический метод [5,6], предполагающий, что кластеры лизированных незамкнутых углеродных нанотрубок — образуются из фрагментов графитового монослоя путем двумерных кристаллов, выложенных правильными шеискривления их поверхности, но без ее деформации, стиугольниками. В отличие от поверхностей незамкнут. е. без изменения длины связей между атомами этих тых оболочек поверхности замкнутых слоев углеродных фрагментов. Внедрение в кластеры дефектов, например кластеров выложены как шестиугольниками, так и пявакансионных скоплений, а также внешнее механическое тиугольниками, которые можно трактовать как области воздействие могут привести к изгибу кластеров, их поверхности с упругими характеристиками, отличающидеформации и образованию новых стабильных конфигу- мися от упругих характеристик основного (гексагональраций кластеров. ного) слоя материала. Предполагаем, что в исследуемых нами оболочках больших размеров часть поверхноПервоначальная идея исследования дефектов в углести, занимаемая пятиугольниками, мала по сравнению родных кластерах методами континуальной механики со всей поверхностью оболочки. Поэтому при расчебыла высказана в работе [7], в которой для расчета те энергии деформированной оболочки упругие постоэнергии кластеров с дефектами предлагалось применить янные, характеризующие пятиугольники, мы полагаем теорию тонких оболочек. Однако, как мы убедились, равными соответствующим постоянным гексагональнотеория тонких оболочек для описания углеродных клаго слоя.

стеров не подходит, поскольку она описывает трехмерную изотропную упругую среду, в то время как В качестве иллюстрации предлагаемого общего мекластеры состоят из одной или нескольких двумерных тода в настоящей работе приводится расчет упругой монослойных оболочек. В данной работе предлагается энергии, связанной с образованием в однослойном сфеконтинуальная модель больших (однослойных и мно- рическом углеродном кластере центра дилатации или гослойных) углеродных кластеров, каждый слой (обо- дисклинации. Под дисклинацией в оболочке сферическолочка) которых включает не менее нескольких тысяч го кластера будем понимать дефект, связанный либо с атомов. Примерами таких кластеров служат углеродные удалением сектора из этой оболочки и последующим нанотрубки и многослойные сферические углеродные соединением краев разреза, либо с внедрением в нее кластеры (”луковицы”). Для расчета энергии обо- сектора. В других работах [7–10] дисклинации связывают лочек мы предлагаем комбинацию линейной теории с наличием пятизвенных колец. В замкнутых оболочках упругости, учитывающей деформацию оболочек, и мето- углеродных кластеров число этих пятизвенных колец да [5,6], учитывающего их кривизну. В рамках модели равно 12, а сами пятизвенные кольца являются декаждая оболочка кластера представлена как сплошная фектами, внутренне присущими углеродным кластерам.

двумерная изотропная упругая среда, характеризуемая В настоящей работе мы вводим дисклинацию в уже четырьмя параметрами: модулем сдвига G, коэффици- сформированный углеродный кластер.

1526 А.Е. Романов, А.Г. Шейнерман 1. Метод расчета упругой энергии К бездефектной оболочке, т. е. оболочке с замкнутой и гладкой поверхностью, применим теорему Гаусса– деформированных кластеров Бонне [11] Для расчета энергии деформированных углеродных K1K2d = 2. (4) кластеров представим дополнительную упругую энерS гию, запасаемую в результате деформации, в виде суммы двух слагаемых. Первое из этих слагаемых, связанное с В формуле (4) S — поверхность оболочки, — парарастяжением–сжатием оболочек и изменением расстояметр интегрирования, а — эйлерова характеристика ния между ними, вычислим с помощью линейной теории поверхности; для любой поверхности, которая может упругости. Второе слагаемое, связанное с изменением быть деформирована в сферу, = 2. В совокупности с главных кривизн поверхности, рассчитаем с помощью формулой (3) эта теорема дает возможность представить аналитического метода, предложенного в [5,6].

энергию кривизны E0 оболочки бездефектного кластера bond Авторы [5,6] предположили, что энергия Ecurv, связанв виде ная с кривизной связи между атомами шестиугольников на поверхности искривленного графитового монослоя, E0 = wcurvd = 3/8D 3 (K1-K2)2d +16. (5) пропорциональна квадрату угла между направлением S S связи и тем направлением, которое связь имела бы в плоскости (рис. 1), Из последнего равенства следует, что среди всех поверхbond Ecurv = Ec2, (1) ностей, которые могут быть деформированы в сферу, минимальной энергией обладает поверхность с тождегде Ec = 0.9 eV — феноменологический параметр, ственно равными главными кривизнами (K1 = K2).

определенный из согласования с результатами незаНормальные кривизны такой поверхности равны во всех висимого компьютерного моделирования. Для случая направлениях, т. е. поверхность является сферой.

b/R 1, соответствующего малой нормальной кривизВыражение для поверхностной плотности ws энергии не 1/R поверхности оболочки углеродного кластера в растяжения–сжатия оболочки в линейной теории упрунаправлении, соединяющем два атома шестиугольника гости имеет вид [12] с межатомным расстоянием b = 0.14 nm, выполняется приближенное равенство b/R.

Gh ws = [(1)2 +(2)2 + 212 + 2(1 - )12], (6) Энергия кривизны связей, приходящаяся на один атом 1 - шестиугольника, равна [5,6] curv где G и — соответственно модуль сдвига и Eat = 1/2Ecb2[3/4(K1 + K2)2 + 3/8(K1 - K2)2], (2) коэффициент Пуассона базовых плоскостей графита, где K1 и K2 — главные кривизны поверхности.

h = 0.34 nm — расстояние между его базовыми плосИспользуя это выражение и предполагая, что оболочка костями, а 1, 2 и 12 — деформации этих плоскостей.

кластера выложена исключительно шестиугольниками, Упругая энергия взаимодействия данной оболочки с перейдем к непрерывному распределению связанной с другими может быть рассчитана по формуле кривизной энергии по поверхности оболочки. Выражение для поверхностной плотности энергии кривизwint = p(), (7) ны имеет вид curv где =(hi +hi-1)/(2h) — поперечная деформация, Eat wcurv = = 3/8D[2(K1 + K2)2 +(K1 - K2)2], (3) hi и hi-1 — изменение расстояния соответственно Sat между i-й и (i - 1)-й и между i-й и (i + 1)-й оболочками где Sat = 3 3b2/4 — площадь, приходящаяся на один в результате деформации, h = 0.34 nm — расстояние атом монослоя графита, а D =(2/(3 3))Ec.

между оболочками до деформации, совпадающее с расстоянием между базовыми плоскостями графита, p() — внешнее давление, нормальное к базовым плоскостям монокристалла графита и вызывающее в этом монокристалле поперечную деформацию.

Полная упругая энергия деформированной оболочки рассчитывается как сумма энергии кривизны, энергии деформации, а для оболочки многослойного кластера — также и энергии взаимодействия данной оболочки с другими Рис. 1. Искривление межатомных связей в углеродном кластере. Направления трех межатомных связей, образуемых E = (wcurv + ws + wint)d. (8) атомом A на искривленной поверхности, показаны сплошными s линиями, а проекции направлений этих связей на плоскость П, Для нахождения дополнительной упругой энергии, запав которой все углы между проекциями равны, показаны штрисенной в результате деформации оболочки, из упругой ховыми линиями.

Физика твердого тела, 2000, том 42, вып. Энергия деформируемых и дефектных углеродных кластеров энергии оболочки с дефектом следует вычесть ее энергию E0 до деформации Eextra = E - E0. (9) Упругую энергию деформированной оболочки углеродного кластера вычислим следующим образом. Сначала выразим деформации оболочки и изменения кривизн ее поверхности через перемещения и их производные. Затем, подставляя полученные выражения для продольных деформаций 1, 2 и 12 в формулу (6), выражение для поперечной деформации —в формулу (7), а выражения для главных кривизн K1 и K2 — в формулу (3), представим с учетом формулы (8) энергию как функционал, зависящий от перемещений и их производных. Равновесному положению деформированной оболочки соответствует минимум этого функционала.

Если деформация оболочки вызвана внедрением в нее дефектов, последние можно ввести в оболочку с помощью граничных условий, накладываемых на перемещения.

2. Упругая энергия дисклинации и центра дилатации в однослойном сферическом углеродном кластере В качестве примера найдем упругую энергию дисклинации и центра дилатации в однослойном сферическом углеродном кластере. Для этого введем в рассмотрение сферическую и цилиндрическую системы координат с центрами, совпадающими с центром сферы (рис. 2).

В дальнейшем кривые на сфере, заданные уравнением = const, будем называть меридианами, а контуры = const — параллельными кругами.

Рис. 3. Дисклинация и центр дилатации в сферической оболочке. a — способ введения положительной дисклинации:

из сферы вырезают сектор, соединяют берега разреза, а затем снимают все приложенные внешние силы; b — способ введения центра дилатации. Из сферы вырезают область, ограниченную параллельным кругом = 1, а затем этот параллельный круг сжимают или растягивают.

Дисклинацию в сферу введем следующим образом (рис. 3, a). Предположим, что линия дисклинации совпадает с осью сферы. При этом положительную дисклинацию мощностью > 0 получим удалением из сферы сектора, ограниченного меридианами = 2 - и = 2, и последующим соединением берегов разреза. Отрицательную дисклинацию мощностью < образуем разрезанием сферы по меридиану = 2, сжатием сферы вдоль координатной линии, приводящим к развороту берегов разреза на угол, заполРис. 2. Сферическая и цилиндрическая системы координат, нением образовавшейся щели материалом и соединенииспользуемые в расчетах энергии дефектов в сферической ем его с оболочкой. Подобная дисклинация в упругом оболочке. Сферическую систему координат определяет тройка базисных векторов (eR, e, e), цилиндрическую систему шаре была исследована в работе [13]. Математичекоординат — тройка базисных векторов (er, e, ez).

ски дисклинацию в оболочке сферического углеродноФизика твердого тела, 2000, том 42, вып. 1528 А.Е. Романов, А.Г. Шейнерман го кластера зададим с помощью следующих граничных дилатации, следуют из общих формул [14] и симметрии условий: дефектов, предполагающей отсутствие сдвига a) определения дисклинации 1 u = + uR, R u = (R sin ); (10) 1 R = + u cot + uR, b) условий неразрывности сферы на полюсах R u( = 0) =0, u( = ) =0; (11) = 0. (17) Во второй из формул (17) величина для дисклинации c) условия закрепления, запрещающего движение сфесоответствует ее мощности, а для центра дилатации ры как абсолютно твердого тела параллельно своей оси, = 0.

т. е. задающего перемещение uz в одной из точек сфеЗависимости изменений главных кривизн от перемеры. Последнее условие задается для удобства расчетов.

щений получим из общих формул [14] для изменения Поскольку деформация сферической оболочки с дискликривизн в направлении меридианов и параллельных крунацией симметрична относительна экватора сферы, это гов и формулы Менье [15] условие удобно выбрать в виде uz(z = 0) = 0 или в сферической системе координат Kn = k cos. (18) u( = /2) =0. (12) Вформуле (18) Kn — нормальная кривизна поверхности в некотором направлении, k — кривизна наклонного При таком выборе условия закрепления сферы перемесечения поверхности в этом же направлении, а —угол щения поверхности сферической оболочки с диклинамежду плоскостями соответствующих сечений. Выражецией должны в силу симметрии задачи удовлетворять ния для изменений главных кривизн имеют вид условиям 1 2uR u(, ) =-u(-, ), uR(, ) =uR(-, ). (13) K1 = - + uR, R2 Рассмотрим теперь способ введения в сферическую 1 1 2uR uR оболочку центра дилатации (рис. 3, b). Предположим, K2 = - + cos +uR sin -u cot.

R2 sin2 что этот дефект расположен на одном из полюсов сферы = 0. Для внедрения центра дилатации вырежем из (19) сферы сферический сегмент, включающий этот полюс и Теперь главные кривизны K1 и K2 сферической оболочки ограниченный контуром = 1, где 1 — безразмерный радиуса R с дефектом можно выразить через перемещерадиус дефекта. Будем считать, что внедрение дефекта ния, подставив (19) в формулы в вырезанную область сводится к изменению радиуса K1 = 1/R +K1, K2 = 1/R +K2. (20) параллельного круга = 1, т. е. к заданию точкам этого параллельного круга постоянных перемещений ur.

Для нахождения минимума функционала энергии E, Для центра дилатации в оболочке сферического углеопределенного выражением (8), воспользуемся методом родного кластера должны выполняться следующие граРитца. Для простоты ограничимся случаем деформации ничные условия:

сферы, симметричной относительно ее оси. Для дисa) определение центра дилатации ur( = 1) = R клинации с линией, проходящей через полюса сферы, sin 1 или в сферической системе координат представим перемещения u и uR в виде следующих выражений, удовлетворяющих граничным условиям (10-12):

u( = 1) cos 1 + uR( = 1) sin 1 = R sin 1, (14) N N где —мощность дефекта;

u =(/2-) akk(-)k, uR = bmm(-)m.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.