WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. 8 Экситоны в нанокристаллах Si © А.С. Москаленко, И.Н. Яссиевич Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия E-mail: Irina.Yassievich@mail.ioffe.ru (Поступила в Редакцию 16 декабря 2003 г.) Теоретически исследованы состояния электронно-дырочных пар в сферических нанокристаллах кремния в „многозонном“ приближении эффективной массы в пределе бесконечно высокого потенциального барьера на границе. Учитывались вырождение вершины валентной зоны в сферическом приближении, а также эллипсоидальный характер спектра электронов в зоне проводимости. Найдены поправки к энергии пары, вносимые кулоновским взаимодействием.

Работа поддержана грантами Российского фонда фундаментальных исследований, Российской академии наук, грантом президента РФ для поддержки ведущих научных школ (НШ-2192.2003.2), INTAS (03-51-6486) и NATO Linkage Grant.

1. Введение расщепления составляет 0.04 eV. В работе [25] спектр электронов и дырок без учета кулоновского взаимоКремний является основным материалом для микро- действия исследовался в „многозонном“ приближении электроники, однако его использование в оптоэлектрон- эффективной массы, учитывающем сложную структуру ных приложениях затруднено в силу его непрямозонно- вершины валентной зоны кремния в пределе слабого сти [1]. Преодоление этого фундаментального недостат- спин-орбитального взаимодействия. Однако эффекты перемешивания зон учитывались по теории возмущений.

ка заманчиво, поскольку открывает возможности для Следует заметить, что при этом пренебрегалось анизоинтегрирования электронных и оптических приборов на тропией спектра дырок [25,30]. Для расчета энергетичеоснове кремния. Один из возможных вариантов — исского спектра электронов использовался гамильтониан пользование нанокристаллического кремния. При этом из работ [31,32], учитывающий, что минимум зоны нанокристаллы могут сами являться источниками излупроводимости лежит вблизи точки X, где имеют место чения [2] в силу снятия закона сохранения квазиимпульэффекты перемешивания двух зон. В качестве нулевоса при оптических переходах из-за нарушения трансго приближения использовалось простое приближение ляционной симметрии [3,4], а также и быть хорошими эффективной массы, а анизотропия и эффекты перемесенситизаторaми для излучения оптически активных шивания двух нижних зон проводимости учитывались примесей, например ионов эрбия Er3+ [5–7]. Кроме того, по теории возмущения. В последующей работе [26] учииспользование кремниевых нанокристаллов как фототывалось влияние конечности потенциального барьера чувствительного катализатора электронных переходов в на границе для случая Si нанокристаллов в диоксиде молекулах имеет самостоятельное значение для новых кремния и было получено, что это может сказаться приложений в химии и биологии [8]. Для понимания на уровнях размерного квантования для наноточек с физических процессов с участием электронов и дырок, радиусом, меньшим 2.5 nm. В [19,25,26] не учитывасвязанных в нанокристаллах, важно знать, как устроен лось влияние кулоновского взаимодействия на энергию их энергетический спектр и волновые функции.

электронно-дырочной пары.

На данный момент существует большое число теореВ настоящей работе также применяется „многозонтических работ, в которых исследовались состояния ное“ приближение эффективной массы для вычислеэлектронно-дырочных пар (экситонов) в нанокристаллах ния энергий и волновых функций электронов и дырок кремния: при помощи метода псевдопотенциала [9–11], в сферических нанокристаллах. Для описания дырочметода локальной плотности [12–14], приближения сильных состояний используется обобщение гамильтониана ной связи [15–20], приближения эффективной масЛаттинжера в сферическом приближении в пределе сы [19,21–26] и других [27,28].

малого спин-орбитального взаимодействия [29]. ОднаВ ряде работ по описанию электронно-дырочных ко в отличие от [25,26] мы не пользуемся теорией состояний в нанокристаллах [21,23,24], выполненных возмущений для описания спектра дырок, а находим в приближении эффективной массы, использовалось точное решение. Мы учитываем сильно несферичный слишком упрощенное описание структуры вершины ва(эллипсоидальный) характер энергетической дисперсии лентной зоны Si. „Многозонное“ приближение эффекэлектронов без использования теории возмущений и тивной массы (kp-метод), учитывающее вырождение показываем, что эффектом подмешивания вышележащей валентной зоны Si, впервые было применено в [22].

зоны проводимости на электронный спектр в наноточках Однако авторы рассматривали предельный случай силь- можно пренебречь. Мы находим поправку, вызванную ного спин-орбитального взаимодействия [29], что не кулоновским взаимодействием между электроном и дыроправдано для Si, в котором энергия спин-орбитального кой в нанокристалле, пользуясь теорией возмущения.

1466 А.С. Москаленко, И.Н. Яссиевич При этом учитывается скачок диэлектрической прони- где операторы H1, H2 и H12 задаются следующими цаемости на границе между нанокристаллом и окружа- выражениями:

ющей средой. Поскольку спин-орбитальное взаимодей2 2 2 ствие в Si мало, при описании электронных и дырочных H1 = - z - (x + y ), (3) 2m 2m состояний мы пренебрегаем эффектами, связанными со спином. 2 2 2 H2 = - (z - 4ikXz ) - (x + y ), (4) c 2m 2m 2. Эффект размерного квантования H12 = - x y. (5) для электронных состояний m Параметр определяет расстояние между зонами проc водимости по энергии в точке минимума нижней зоны Si имеет решетку типа алмаза и является непрямопроводимости и равен зонным полупроводником, минимум зоны проводимости которого находится в точке вблизи точки X зоны = 2 k2. (6) Бриллюэна. Пространственная группа симметрии Si Oc h m X принадлежит к классу Oh и является несимморфной, так как содержит элементы с нетривиальными транс- Отсюда для параметров Si получаем = 0.5 eV. Исc ляциями (на долю от базисного вектора решетки). Это пользуя гамильтониан (2), можно получить оценку снизу ведет к обязательному двойному вырождению зоны в для неизвестной массы m 0.1m из условия, что в точке X [33]. Известно также, что две нижние зоны про- объемном кремнии не наблюдается гофрированности зоны проводимости вплоть до концентраций 1019 cm-3.

водимости в Si невырождены в точке и соответствуют Для нахождения нескольких наиболее низколежащих представлениям и соответственно [1,33]. При вы1 энергетических уровней электронов в нанокристалле и ходе на поверхность зоны Бриллюэна точка переходит их волновых функций будем пренебрегать подмешивав точку X, где представления и переходят в 1 нием состояний вышележащей зоны c2 к состояниям двукратно вырожденное представление X2 или в двукратзоны c1, полагая, что матричный элемент оператора H12, но вырожденное представление X4 в обозначениях [33], вследствие условий совместности. Представления X2 вычисленный на волновых функциях, соответствующих этим состояниям, много меньше энергетической разнии X4 имеют ненулевую проекцию матричного элемента цы между ними. Тогда для нижней зоны проводимоимпульса на ось -X, что приводит к ненулевому сти c1 имеем следующее уравнение:

наклону зон в точке X и смещению минимума нижней 2 зоны проводимости c1 из точки X в сторону точки 2 2 (x, y, z ) + + (x, y, z ) на расстояние kX = 0.15 · 2/aSi, где aSi = 0.543 nm — 2m z 2m x2 yпостоянная решетки для Si. Всего в зоне Бриллюэна находятся шесть эквивалентных точек, соответствующих + E(x, y, z ) =0, (7) минимуму зоны проводимости. Рассмотрим детально где — волновая функция, а E — соответствующая случай, когда точка X находится на оси (001). Соответэнергия. В приближении бесконечно высокого энерственно минимум зоны проводимости c1 находится на гетического барьера на границе нанокристалла имеем расстоянии k0 = 0.85 · 2/aSi от точки. Таким образом, граничное условие x +y2+z =a2= 0, где a — радиус 2 он лежит вблизи точки X и для описания зонной нанокристалла.

структуры можно воспользоваться гамильтонианом для Поскольку уравнение (7) обладает цилиндрической представлений X2 и X4 (см. [33], 30.51) симметрией, удобно ввести безразмерные цилиндрические координаты 2 2 H = - A1z + A2(x + y ) I - A3x x y - iA4z z, (1) x2 + y2 y z =, = arctan, z =, (8) где x, z — матрицы Паули, I — единичная матриa x a ца 2 2. Параметры A1 и A2 находятся через эксперив которых уравнение (7) можно переписать следующим 2 ментальные массы m, m: A1 = /2m, A2 = /2m.

образом:

Значение константы A4 определяется из соотношения:

m 1 1 |A4| = 2A1kX. Константу A3 удобно выразить через неиз- ) (,, z) + + (,, z z m 2 2 вестную массу m : A3 = /m. Заметим, что, так как мы пренебрегли релятивистскими эффектами, с учетом + (,, z) =0, спина зона четырехкратно вырождена в точке X. Пере(9) писывая гамильтониан (1) для точки зоны Бриллюэна, где соответствующей минимуму зоны проводимости, полу2m aчаем ) ), (,, z =(a,, az = E. (10) H1 HHc1,c2 =, (2) H12 HФизика твердого тела, 2004, том 46, вып. Экситоны в нанокристаллах Si Рис. 1. Волновые функции, соответствующие четырем нижним электронным состояниям. a — 0 = 34.30, m = 0; b — 1 = 49.00, m = 0; c — 2 = 67.49, m = 0; d — 3 = 80.32, m = ±1.

Граничные условия к уравнению (9) переписываются в 2.1. Численное решение. Учитывая соотношение виде между продольной и поперечными массами для зоны проводимости в Si = 0 ( 0), 2+z 2=m 0. = = 4.82, (14) m 0.= 0, =0= =2. (11) = мы нашли четыре нижних собственных значения энерРешения уравнения (9) с граничными условиями (11) гии и соответствующие им волновые функции для можно искать в виде уравнения (9) с граничными условиями (11). Результаты представлены на рис. 1.

) ) (,, z = f (, z exp(m), (12) Для нахождения ненормированных энергий и волновых функций в ненормированных координатах необхо ) где f (, z представляeт собой решение уравнения димо проделать следующие преобразования:

m 1 m z ) ) f (, z + - f (, z E =, (,, z ) =,,.

z m 2 2m a2/ 2 a a ) + f (, z =0 (13) Также для дальнейших вычислений удобно нормировать амплитуды волновых функций.

с граничными условиями f = 0, f / =0= 0.

2.2. А д и а б а т и ч е с к о е п р и б л и ж е н и е. Прини2+z 2=Здесь квантовое число m может принимать произволь- мая во внимание большое различие между поперечные целые значения. ной и продольной электронными массами (см. (14)), Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. 1468 А.С. Москаленко, И.Н. Яссиевич Отсюда следует n (z =, (19) ) 1 - z где n — n-й корень функции J0(x), n = 0, 1, 2,....

Подставляя уравнение (19) в уравнение (16), получаем m n - Z(z + Z(z = Z(z (20) ) ) ) z 2 m 1 - zс граничными условиями Z z = 0. Рис. 2 демонстриру±ет, в каком одномерном потенциале движется частица, согласно (20). Уравнение (20) не решается аналитически. Поэтому для его решения воспользуемся квази классическим приближением. Пусть Z(z =exp i (z, ) ) где (z — вещественная фаза. Тогда для (z из ) ) уравнения (20) в квазиклассическом пределе можно получить m n = ± dz -. (21) m 1 - zРис. 2. Движение частицы, обладающей энергией, в поУсловия квантования при отражении от потенциального m n тенциале V (z =. Здесь z — точка поворота для барьера дают (см. [34]) ) m 1-z классического движения.

z m n 2 dz - = + N. (22) m 1 - z2 можно воспользоваться адиабатическим приближением, т. е. считать, что движение электрона в поперечном Здесь z — точка поворота (рис. 2), а целое неотринаправлении происходит на более коротком временном цательное число N обозначает номер уровня. Вводя масштабе, чем движение в продольном направлении. обозначение Это альтернативный независимый путь определения = (23) m электронных состояний, поэтому воспользуемся им - n m для контроля и более детального понимания полуm ченных численно результатов. Здесь мы ограничимся ( = - n2/(1 - 2)) и вычисляя интеграл в уравm случаем m = 0. В адиабатическом приближении волнении (22), получаем следующее уравнение, определяюновая функция представляется в виде произведения щее значения энергии:

) ), f (, z = (, z)Z(z а уравнение (13) при m = 0 переписывается в виде 1/ 1 - 2zdz = 2 - 1. (24) 1 - z2 4 m n ) + 2(z (, z) =0, (15) m Решая уравнение (24) численно, находим значения энергде связь (z c определяется уравнением ) гии для трех нижних электронных уровней: 0 = 33.54, m 1 = 47.31, 2 = 64.64. Видно, что полученные таким Z(z = 2(z - Z(z ) ) ). (16) методом решения хорошо согласуются с точными чисz m ленными решениями (подпись к рис. 1).

Преобразуя уравнение (15) и вводя новую координату =, приходим к следующему уравнению:

3. Эффект размерного квантования для дырок 2 + + 1 = 0. (17) Для описания структуры валентной зоны в кремнии Решениями этого уравнения, ограниченными в ну- воспользуемся обобщением гамильтониана Латтинжера ле, являются функции Бесселя нулевого порядка в сферическом приближении [35] ) = J0() =J0 (z. Граничное условие 2+z = 2=1 2 H = - (A + 2B) 2 + 3B ( · )приводит к следующему уравнению:

1 J0 1 - z2 (z = 0. (18) + -. (25) ) 3 Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. Экситоны в нанокристаллах Si P SD P Здесь — оператор единичного углового момента, Ранее функции 00, 1M и 1M(r,, ) уже использова — оператор момента 1/2, — спин-орбитальное лись для описания примесных состояний в полупроводрасщепление и никах [29]. Общий вид таких функций легко находится, если переписать результат работы [37] для случая J = 1.

1 mh + ml 1 mh - ml Заметим, что только функции (31) состоят частичA = -, B = -, (26) 4 mhml 4 mhml но из функций s-симметрии. Дырочное состояние с наименьшей энергией размерного квантования описыгде вается именно такой функцией (далее будет показано, m0 mmh =, ml =, (27) что подмешивание d-состояний для верхнего дырочного 1 - 2 1 + уровня в рассматриваемом случае мало). Уравнение SD SD Шредингера для этих функций H1M = E1M приводит = (33 + 22). (28) 5 к следующей системе уравнений для радиальных функций RS(r), RD (r):

Значения констант 1, 2 и 3 для Si равны 4.22, 0.53, 1 1M 1.38 соответственно [36]. В пределе бесконечно малого d2 2 d спин-орбитального расщепления 0, который может A + RS(r) - 2 B d2r r dr быть использован для Si, можно записать гамильтониан (25) на сферических компонент [37] u0 = Z, базисе d2 5 d u±1 = 1/ 2 (X ± iY ) функций X, Y, Z представле- + + RD(r) =-ERS(r), (33) d2r r dr r2 ния в следующем виде:

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.