WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, № 12 Квантовые поправки к проводимости двумерной системы с антиточками © М.М. Махмудиан, М.В. Энтин Институт физики полупроводников Сибирского отделения Российской академии наук, 630090 Новосибирск, Россия (Получена 13 февраля 1998 г. Принята к печати 20 апреля 1998 г.) Исследуются квантовые поправки к проводимости двумерной электронной системы с антиточками в пределе малой плотности антиточек. Рассмотрены связанные с наличием антиточек поправки к проводимости и магнетопроводимости в магнитном поле, перпендикулярном плоскости системы. Предполагается, что длина свободного пробега электронов на примесях l гораздо меньше размера антиточек.

Введение антиточками описывается в основном с помощью кинетического уравнения. Мы будем учитывать наличие магВ последнее время в связи с успехами технологии нитного поля, перпендикулярного плоскости системы.

оказалось возможным создавать и исследовать искус- В задаче имеются несколько параметров: l — длиственные среды с масштабами, соизмеряемыми как с на свободного пробега электронов при рассеянии на длинами релаксации импульса электронов, так и с кванпримесях, L = D — длина сбоя (релаксации) товыми размерами (длиной волны электрона и магнитфазы электронов (D — коэффициент диффузии, — ной длиной). В этой области удалось создасть, например, время сбоя фазы), aH = c /2eH — магнитная длина, двумерные (2D) электронные системы с пространствен = /p — длина волны электрона (p — импульс но модулированной концентрацией электронов. Частным электрона), a — радиус антиточек и n — их конценслучаем таких систем являются так называемые ”квантрация. В рассматриваемом пределе имеются несколько товые точки” — области, в которых движение электросоотношений между этими параметрами. Чтобы имело нов ограничено в трех измерениях. Другим примером смысл описание электронов с помощью волнового пакеявляется система ”антиточек”, т. е. областей, вырезанных та, нужно, чтобы l. С другой стороны, в согласии с из 2D электронного газа, в которых концентрация 2D ранее сказанным, длину свободного пробега будем счиэлектронов равна 0.

тать малой по сравнению с радиусом антиточки, l a.

Хорошо известны магнитотранспортные свойства 2D Только в этом случае движение электрона вокруг антиэлектронных систем с периодической решеткой антитоточки носит диффузионный характер. Длина сбоя фазы чек, связанные с соизмеримостью циклотронного диамеL определяется неупругим рассеянием. Для того чтобы тра и периода решетки [1,2]. Эти особенности имеют интерференционные эффекты вообще имели место для классическую природу и определяются стохастическим диффундирующих электронов, необходимо выполнение характером движения электрона в этих системах.

условия l L, что имеет место при низких темпераОднако, кроме классических эффектов, эти системы турах (область остаточного сопротивления). Крометого, обнаруживают ряд интересных квантовых свойств, свябудем рассматривать предел малой плотности антиточек, 2 занных с интерференцией электронных волн [3–6]. В который требует малость параметра naa (naa 1), что частности, в работе [5] сообщалось о наблюдении отритакже означает малость радиуса антиточек по сравнению цательного магнетосопротивления в разупорядоченной с расстоянием между ними. Это условие обеспечивает решетке антиточек, и в работе [6] о наблюдении осциллявыполнение условия малости l по сравнению со средним ций Ааронова–Бома в периодической решетке антиточек, расстоянием между антиточками n-1/2 (l n-1/2), что a в слабых магнитных полях. Подобные периодические соответствует диффузионному характеру движения элекосцилляции были также обнаружены и в более сильных тронов между антиточками. В рассматриваемом пределе магнитных полях (2Rc d) [7,8]. Теоретически такие вклад антиточек является малой добавкой к квантовым системы изучались как классический объект — ”элекпоправкам к проводимости 2D системы.

тронный биллиард”, так и с квантовой точки зрения, в баллистическом режиме и в квантовом пределе. В основном, изученным является баллистический режим, когда Расчет квантовых поправок можно пренебречь рассеянием электронов на примесях.

В данной работе изучаются так называемые квантовые Обычная теория транспортных явлений базируется на (интерференционные) поправки к проводимости 2D си- классическом кинетическом уравнении для электронов стемы с антиточками в другом возможном пределе, когда проводимости. Это означает, что за время между двумя длина свободного пробега электрона при рассеянии на соударениями электрон двигается по классической трапримесях мала по сравнении с характерными размерами ектории. Это приближение верно, когда интерференция системы. В этом пределе движение электронов между двух волн, рассеянных различными центрами, пренебре1462 М.М. Махмудиан, М.В. Энтин жима, т. е. когда длина свободного пробега электрона влиянием антиточек друг на друга и сосчитать квантовые много больше его длины волны, l. Тогда между поправки в случае только одной антиточки. Полная двумя соударениями электрон может быть описан квази- поправка является суммой вкладов от всех антиточек, классически, что приводит к хорошо известной формуле т. е. сводится к умножению вклада в случае одной анДруде: титочки на количество антиточек. Таким образом, для nee2 вычисления квантовых поправок к проводимости 2D =, (1) системы нам нужно решать уравнение (3) для C(r, r ) me в магнитном поле для 2D круглого образца большого где ne — концентрация электронов, me — их масса.

радиуса, в центре которого находится одна антиточка, с Как было показано в [9], учет интерференции приводит граничным условием [10] к возникновению квантовых поправок к проводимости (1). Количественно квантовые поправки могут быть 2ie + (An) C(r, r ) = 0. (6) рассчитаны с помощью диаграммной техники Фейнмана, n c r=a путем учета диаграмм, описывающих проводимость электронов, взаимодействующих с примесями. Кратко изло- Условие (6) означает, что поток частиц через границы жим способ расчета квантовых поправок [10], которым антиточки равен нулю. Соотношение (2) для квантовых будем пользоваться в дальнейшем для 2D системы с поправок к проводимости в этом случае имеет вид антиточками.

2e2 dr Главные квантовые поправки к проводимости невзаи() =- D C(r, r). (7) S модействующих частиц происходят от учета куперовских диаграмм, описывающие интерференцию, происходящую Здесь S — площадь образца. Выражение для квантовых при многократном обратном рассеянии. Амплитудой поправок с учетом вкладов от всех антиточек получается этой интерференции, C(r, r), определяются квантовые из (7) с помощью (5), умножением на количество антипоправки к проводимости.

точек Na. Тогда, имея в виду, что Na/S = na, придем к Поправка к проводимости при частоте связана с следующему:

C(r, r) соотношением 2e2D () =-na. (8) 2e En -E () =- DC(r, r).

n В дальнейшем мы будем рассматривать статическую Здесь и далее мы полагаем = 1, восстанавливая его в проводимость. Квантовые поправки, обусловленные наконечных формулах. Величина C(r, r) в магнитном поле личием антиточек, которые обозначим через 2(H, a), удовлетворяет уравнению равны разности квантовых поправок к проводимости 2D системы с антиточками и без антиточек 2e 1 (r -r ) -i +D -i- A + C(r, r ) =, (3) 2(H, a) =(H, a)-(H, 0) c 2e2D 1 где A — вектор-потенциал магнитного поля, — часто= -na -, (9) та внешнего поля. Уравнение (3) формально совпадает En - E En - E n n с уравнением для функций Грина куперона, частицы где En — уровни энергии куперона в отсутствие антитос зарядом 2e и массой M = (2D)-1, двигающийся в -чек. Таким образом, для нахождения квантовых поправок магнитном поле. Величина E = i - соответствует нам достаточно определить уровни энергии куперона в энергии куперона.

постоянном магнитном поле для 2D системы с антиточРассмотрим 2D случай. Пусть En — собственные значения (”уровни энергии” куперона) и n(r) —нор- ками и без антиточек.

В полярных координатах, векторный потенцимированные собственные функции уравнения (3), а без ал однородного магнитного поля имеет компоненты:

правой части — уравнения Шредингера для куперона в A = H/2, A = 0 и уравнение Шредингера (4) примет магнитном поле вид 1 2e 1 1 1 -i- A n =Enn. (4) - + 2M c 2M 2 Тогда выражение для C(r, r ) примет вид iH MH + + 2 = E, (10) 2 1 n(r)n (r ) C(r, r ) =. (5) где H = 4DeH/c. Граничное условие (6) в полярных En -E n координатах имеет вид В случае 2D системы с антиточками, считая плотность 2 = 0. (11) антиточек малой (naa 1), мы можем пренебречь =a Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, № Квантовые поправки к проводимости двумерной системы с антиточками Ищем решение в виде 2D система с антиточками малого радиуса = eimR(), (12) Рассмотрим предел, когда размер антиточек мал и для радиальной части волновой функции получаем по сравнению с характерными размерами задачи, уравнение a min(aH, L). Этому соответствует a 1. Условие 1 1 m2 MH mH a 1 позволяет разложить (19) по малому параметру R + R - R + E - 2 + R = 0.

2M 2 8 2 a. Выделяя главные члены в разложении, находим (13) 1 Введя новую независимую переменную =(MH/2)2, - a (a) = при m = 0, 2 a переписываем уравнение в виде m(|m|!)R + R + - + - R = 0, (14) |m|(a-1)... (a-|m|)(-1)|m|-1(a) = при m = 0, | 4 am| (20) где введено обозначение = E/H + m/2. При искомая функция ведет себя как e-/2, а при 0 как где (a) = (a)/(a). Подставляя в (20) асимптоти|m|/2. Соответственно этому ищем решение в виде ку [11], получим R() =e-/2|m|/2w(), (15) (a) -, a-n a +n a-n и для w() получаем уравнения для вырожденной гипергеометрической функции где n — целое неотрицательное число. Используя связь = 1/2 +(|m| -m)/2-a, находим уровни энергии (в 1+|m| w +(1+|m| -)w - - w=0. (16) единицах H) Общее решение уравнения (16) может быть записано в n,m = n + (1 - an,m), (21) виде [11,12] w = AM(a, b; )+BU(a, b; ).

где n = n +(|m| -m)/2 — главное квантовое число, Здесь M(a, b; ) и U(a, b; ) — функции Куммера an,0 = -a, и Трикоми соответственно, где a = (1 + |m|)/- =(|m| -m)/2+1/2-, =E/H, b = 1 + |m|. A |m| |m| -m an,m =0 = n и B — произвольные постоянные.

n + При | |m| -m am| (b) +1... n- +|m|.

M(a, b; ) = ea-b 1 + O, 2 (|m|!)(a) Из a 1 следует, что an,m 1.

U(a, b; ) =-a 1 +O. Уровни куперона в отсутствие антиточек получаются приравниванием к нулю радиуса антиточек Из граничного условия на бесконечности R() = En,m = En,m a=0.

следует, что A = 0. Тогда решение (15) уравнения (14) примет вид Подставляя (21) в (9) и учитывая, что n,m 1, R() =Be-/2|m|/2U(a, b; ). (17) получаем Граничное условие (11) дает 2e2D n,m(n + ) 2(H, a) =-na. (22) H n,m 1 - )R() (n + = 0. (18) =a Отсюда видно, что основной вклад в сумму дают Подставляя (17) в (18), получаем уравнение для a m = -1, 0, 1. Тогда (22) сводится к 1 |m| 1+ U(a, 1+|m|; a)-U(a, 2+|m|; a) =0. (19) e2 a 2(H, a) =-naa Решение уравнения (19) относительно a определяет уровни энергии куперона и через выражение (9) — +. (23) 1 (n + -)2 n + квантовые поправки к проводимости.

2 n=Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, № 1464 М.М. Махмудиан, М.В. Энтин Сумму (23) можно переписать с помощью обобщенной Выражение (26) следует сравнить с квантовыми по правками, возникающими в микроскопической среде, содзета-функции (s, ) = (n + )-s, с s =1 и s =2.

держащей полости. Такую среду можно характеризовать n= Дзета-функция с s = 1 расходится, но эта расходи- некоторым усредненным коэффициентом диффузии D.

мость устраняется учетом предельного значения энергии Величину D можно рассчитать с помощью поправок к куперона, которая определяет верхний предел суммы, усредненной проводимости двумерной среды, содержа(n)max = D/Hl2. В результате с логарифмической щей круговые полости = (1 - 2naa), и поправок к точностью получаем средней концентрации ne = ne(1 - naa):

ne e2 1 D = D D(1 - naa). (27) 2(H, a) =-naa 2, - ne 2 Квантовые поправки к макроскопической проводимости 1 D - - + ln. (24) 2D системы в отсутствие магнитного поля имеют 2 Hlвид [10] e2 D Здесь (y) — логарифмическая производная гамма = - ln. (28) 22 lфункции. Переходя к переменной x = H = 4De В качестве коэффициента диффузии в (28) следует, каза H/c = -1/, имеем лось бы, подставлять эффективный коэффициент диффуe2 4DeH D зии (27). С учетом малости параметра naa получаем 2(H, a) =naa f1 - ln, (25) 2 c le2 2(a) = naa. (29) где 1 1 1 1 Формула (29) отличается от (26) как отсутствием больf1(x) = 2, + + + +ln x шого логарифма, так и знаком. Такое различие связано с x 2 x 2 x проявлением интерференционных эффектов, связанных с 1 - 5x2/24 при x 1, диффузионными траекториями, огибающими антиточки, = которые в (29) не учтены.

ln x при x 1.

Магнетопроводимость дается первым слагаемым в (25), которым определяется зависимость квантовых поВ (25) второе слагаемое не зависит от магнитного поля правок от магнитного поля и определяет величину квантовых поправок, обусловленных наличием антиточек, в нулевом магнитном поле:

3(H, a) =2(H, a)-2(0, a) e2 D 2(a) =-naa ln. (26) e2 4DeH 2 l2 =naa f1 - 1. (30) 2 c Ввыражения(24)–(26) входит длина свободного пробега Характерный множитель у квантовых поправок naa электронов l. Длина свободного пробега определяется равен отношению площали, занимаемой антиточками, к как примесным рассеянием, так и антиточками. Строго полной площади образца. Поведение квантовых поправок говоря, формулы (24)–(26) справедливы для изотропв магнитном поле задается функцией f1(x) - 1, которая ного примесного рассеяния. В случае анизотропии расприведена на рисунке. При больших полях у поправок сеяния для справедливости этих формул необходимо, такое же логарифмическое поведение, как в случае 2D чтобы характерные передачи импульса электрона при системы без антиточек [10], а в области малых полей рассеянии были больше характерного импульса куперона поведение поправок тоже квадратичное по полю, но с q (D)-1/2.

отрицательным знаком.

Наличие антиточек приводит к изменению l. Однако в пределе l a поправки к длине свободного пробега малы по параметру naal, и связанные с ними изменения в конечных формулах содержат малый параметр l/a. Действительно, только электроны, находящиеся в слое толщиной l около границы антиточек, испытывают влияние антиточки на релаксацию. В результате относительное увеличение частоты столкновений в двумерной среде, содержащей антиточки, определяется долей электронов, которые испытывают соударения с границей антиточек, имеющей порядок величины общего периметра антиточек в единице площади образца 2naa, умноженной на примесную длину свободного пробега l.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.