WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

щем виде требует численных расчетов. Простой анали- Что касается предела 0, то его легче всего тический результат можно получить в пределе малого получить из (16) прямой подстановкой = 0. Точный Физика твердого тела, 1998, том 40, № 1454 В.В. Брыксин, М.П. Петров результат, справедливый и при наличии диффузии, имеет линейным приближением по E(z) (т. е. по ), получаем вид T (x, t) = (Bp + ibp) exp(ipz), ( Ep = ipEp0), (28) p==(0) где Ep — Фурье-компонента стационарного поля (14), Bp = dz exp -ipz + iQE(0)(z), p -m (0) Ep = (E0 + iED). (29) 1 + 1 - m2 Q bp = dz exp -ipz + iQE(0)(z) Re [E(z)eit]. (30) В (29) p > 0. При p < 0 следует воспользоваться (0) (0) (0) С учетом того, что дифракционная эффективность 1, соотношением Ep = E-p и E0 = 0. Интересно в (30) можно ограничиться наинизшим приближением отметить, что соотношение (28) справедливо не только по Q. В результате имеем для рассматриваемой здесь модели, когда стационарные (0) Фурье-компоненты определяются соотношением (29), но Bp = p,0 + iQEp, (31) и в самом общем случае. Действительно, при = 0, Q Q согласно (1), мы имеем связь точного стационарного bp(t) = Ep()eit + Ep(-)e-it. (32) 2 решения E(z) при произвольной величине с решением (0) Фурье-компоненты Ep и Ep определены в предыдущем при =0: E(z) =E(0)(z +). Для Фурье-компонент (0) разделе. Выражения (31) и (32) описывают дифракцию это означает, что Ep = Ep exp(ip). Отсюда в линейсвета первого порядка на фазовых решетках с пространном приближении по следует соотношение (28).

ственными частотами pk. Всеми высшими порядками Теперь можно приступить к исследованию характерисдифракции для какой-либо отдельной решетки мы претик дифрагированного света.

небрегаем, поскольку ограничиваемся малой дифракционной эффективностью.

Теперь найдем амплитуды и интенсивности света, 3. Дифрация на осциллирующей продифрагировавшего на этих решетках. Заметим, что при нумерации дифракционных порядков возникает некорешетке торая неоднозначность. Например, нулевой порядок для луча AR совпадает с минус первым порядком для луРассмотрим дифракцию света на тонкой голограмча AS, и наоборот. Условимся нумеровать наблюдаемые ме, которая записывается двумя лучами AS и AR, дифракционные лучи индексом p, который соответствует AS = AS0 exp(ikSx), AR = AR0 exp(ikRx + i cos t).

первому дифракционному порядку луча AR на решетке Голограмма считается тонкой, если ее толщина h удос волновым вектором pk. Соответственно соотношение влетворяет условию h 2n0/, где n0 — показамежду kR и kS определим как kS = kR - k, причем k >0.

тель преломления света. Для тонкой голограммы можно Полагая, как и прежде, 1, запишем выражение для ввести коэффициент пропускания T (x, t) =exp[i(x, t)], амплитуды луча с номером p в виде который связывает между собой амплитуду света Aout не посредственно за голограммой с амплитудой падающего Ap = AR0 Bp +iBp cos t + ibp(t) света Ain, т. е. Aout(x, t) =T(x, t)Ain(x, t). В нашем случае (x, t) =QE(x, t) есть приращение фазы луча, проходя+ AS0 Bp+1 + ibp+1(t) exp i(kR + pk)x.

щего через голограмму, за счет модуляции показателя Соответственно для интенсивности преломления. При этом Q — параметр, зависящий от электрооптических свойств кристалла. Для кристаллов с Ip(t) =|Ap|2 = AR0 Bp +iBp cos t + ibp(t) точечной группой 23 и 43m, например при срезе 110, направлении волнового вектора решетки вдоль оси [001] + AS0 Bp+1 + ibp+1(t).

и поляризации падающего света параллельно оси [110], Q = r41n3h/, где r41 — электрооптический коэфОпуская в (30) вклад, квадратичный по, получаем фициент. Заметим, что дифракционная эффективность вид осциллирующей части интенсивности света в p-м голограммы при m 1 и =0 связана с Q соотношедифракционном пучке (0) ( нием =(QE1 )2, а E10) — первая Фурье-компонента стационарного поля (29). Ip(t) =2Re icos tAS0AR0B Bp p+Разложим T (x, t) в ряд Фурье по пространствен+ i(AR0B + AS0B ) ным гармоникам с учетом того, что E(x, t) = p p+E(0)(z) +Re E(z) exp(it) (см. (10)) (мы перешли к AR0bp(t) +AS0bp+1(t). (33) безразмерной координате z = kx). Ограничиваясь Физика твердого тела, 1998, том 40, № Теория фоторефрактивного резонанса Брэгговские пики с p = 0, -1 при малых Q пропор- что учет поля Eq может привести к появлению разности циональны первой степени этого параметра, в то время фаз =arctg (E0/Eq) между гармониками постоянного (0) (0) как остальные пропорциональны Q2. Поэтому сначала поля, т. е. Im Ep Ep = 0. В результате в выражении рассмотрим отдельно случай p = 0. Используя (31) и для интенсивности пиков с p = 0, -1 (40) появляется (32), из (33) получаем дополнительный вклад, амплитуда которого не зависит от частоты и дается выражением (см. (33)) (0) I0 = AS0AR0Q Re 2E1 +iE1()+iE1(-) cos t (0) (0) Ip = -2Q2AS0AR0 cos t Im Ep Ep+1. (39) - E1() - E1(-) sin t. (34) В предельном случае величины bp обращаются Как отмечалось выше, при величины Ep в нуль, и соотношение (39) описывает высокочастотное плато для небрэгговских пиков. Это означает, что изобращаются в нуль. Поэтому в области высоких частот мерения высокочастотного плато дают информацию о зависимость I1() выходит на плато. Согласно (29), величине поля Eq. Что касается статического предела 0, то, согласно (32) и (28), в этом случае mEI0 = -2QAS0AR0 cos t. (35) ( bp = ipEp0) cos t. Подстановка такого значения bp 1 + 1 - mв (33) дает результат Ip =0 = 0 при любом виде В пределе же 0, согласно (34) и (28), величина I0 Фурье-компонент Ep.

(0) обращается в нуль.

Кроме того, при учете Eq появляется сдвиг решетПри произвольной частоте в предыдущем разделе (0) ки статического поля, и компоненты Ep становятся были получены выражения для величин E1 лишь для комплексными величинами даже в отсутствие диффузии.

слабой модуляции (см. (25)), поэтому здесь мы можем Согласно (38), появляется вклад в интенсивность пиков, привести полную зависимость I0() только при m пропорциональный Im bp и сильно отличающийся от вклада, пропорционального Re bp, описывающего интенI0 = -AS0AR0QmEсивность при Eq. Таким образом, появляется несколько экспериментальных возможностей для реги1+2(3+d4)+4(1+d2)2(3-2d2)+6(1+d2) страции эффектов, связанных с полем Eq, а следователь1 + 22(1 - d2) +4(1+d2)но, и для измерения этой величины (а вместе с тем и cos(t + 0), (36) концентрации акцепторов NA).

Отметим здесь также, что в пределе сильной контрастгде фаза определена соотношением ности и в пределе высоких частот, когда справедливо соотношение (27a), величина bp чисто мнимая. Поэтому 1 + 2(1 + d2) tg 0 =. (37) в отсутствие диффузии, когда Фурье-компоненты ста 1 - d2 + 2(1 + d2)(0) тического поля Ep действительны, высокочастотные асимптотики при сильной контрастности уже не имеют Пик с p = -1 определяется соотношением I-1 = -I0.

характера -1, как это имело место в условиях слабой Для пиков с p = 0, -1 из (33) получаем контрастности.

(0) (0) Вернемся теперь к исследуемому здесь случаю слабой Ip = Q Re AR0Ep + AS0Ep+1 AR0bp + AS0bp+1. (38) контрастности в условиях Eq. В пределе слабой При получении (38) было учтено, что, согласно (29), модуляции m 1 соотношение (40) упрощается, так (0) (0) (0) величина Ep Ep+1 действительна. В силу этого обсто- как Ep, bp mp и быстро убывают с ростом p. Без (0) ятельства при интенсивности Ip, p = 0, -1, учета диффузионного вклада в Ep имеем для p обращаются в нуль по закону -1 (см. (27)) и не имеют высокочастотного плато, характерного для брэгговских Ip = Q2(-2)-pmpA2 E0Cp cos(t + p), (40) Rпиков.

где амплитуда Cp и фаза p определяются соотношениЭтот результат тесно связан с тем, что в настоящей ями работе мы пренебрегаем всеми эффектами, связанными с Cp = Re (Ep() +Ep(-)) конечной концентрацией акцепторов NA и соответственно с конечным значением поля Eq (см. раздел 1). Во 1/многих случаях это оправдано; например, в Bi12SiO+ Im (Ep() - Ep(-)), поле Eq достигает значений порядка 100 kV/cm при пери оде решетки 10 µm [13] и еще более увеличивается Im Ep() - Ep(-) tg p =. (41) с ростом. Однако в других материалах, например в Re Ep() +Ep(-) Bi12TiO20, поле Eq приблизительно на порядок (или по крайней мере в несколько раз) меньше [14] и его учет В дальнейшем рассматриваются пики с p 1. Выражеможет оказаться важным. Есть основания предположить, ния для пиков с p -2 можно получить из соотношения Физика твердого тела, 1998, том 40, № 1456 В.В. Брыксин, М.П. Петров ренции между дифрагированным и недифрагированным лучами не происходит. Это имеет место, например, при внешнем поле вдоль оси [110] и поляризации света, параллельной оси [001], в кристаллах классов 23 и 43m.

В этом случае переменная составляющая сигнала I0, пропорциональная Q2, описывается соотношением (38), полученным выше для небрэгговских пиков, при подстановке туда p = I0 = QA2 Re E(0)b1. (43) RЭто означает, что в такой ситуации пик с p = описывается теми же формулами, что и пик с p = (см. (40)–(42)) с заменой A2 A2.

S0 RДля пика с p = 2 соответствующие выражения имеют очень громоздкий вид 3m2E0d C2 = D(d)D(2d) 4 - (3 + 40d2)2 - (19 + 50d2 - 132d4)+(4+110d2 + 309d4 - 160d6)+(30 + 200d2 + 303d4 - 200d6 + 64d8)+(17 + 100d2 + 279d4 + 360d6 - 240d8)+(1+d2)2(1+4d2)212, tg 2 = 2 - 2(1 + 10d2) - 4(4 + 15d2 - 8d4) Рис. 2. Зависимость сигналов I1 (a) и I0 (b) (в относительных единицах) от частоты /2, M = 3 · 10-4 s. d = 2 (1) - 6(1 + d2)(1 + 4d2) -1 1 - 2(2 + 5d2) и 0.2 (2).

-- 4(3 + 5d2 - 4d4), (44) где I-p-1 =(AS0/AR0)2Ip. Из (41) с учетом (25) для пика D(d) =1 +22(1 -d2) +4(1+d2)2.

с p = 1 имеем Эти сложные выражения сильно упрощаются в физичеd C1 = mE0, ски наиболее интересном предельном случае 1, но 1 + 22(1 - d2) +4(1+d2)произвольных d 1 - 2(1 + d2) 6m2E0d tg 1 =. (42) C2, tg 2. (45) = = 1 - 2d2 1 - 42dНа рис. 2 показаны расчетные зависимости для I0 и Iпо формулам (36) и (42). Выражение для C2 имеет полюса при частотах Теперь заметим, что при получении выражения (34) = d-1, (2d)-1 ( = (kL0M)-1, (2kL0M)-1). Соотдля интенсивности брэгговского пика с p = 0 были ветствующие выражения для пиков с p = 0, 1, -1, -опущены члены, пропорциональные Q2. Однако возмож- имеют полюс только на одной частоте = d-на ситуация, когда такой вклад играет преобладающую (см. (36),(42)). Наличие такой полюсной структуры роль. Это имеет место в случае анизотропной дифрак- при 0, но конечных значениях d хорошо видции, если на выходе установлен анализатор поляриза- но из общего выражения (23), которое обнаруживации, направленный по оси, ортогональной поляризации ет при произвольных значениях m полюса в точках падающего на кристалл света. Дело в том, что при =(1 +m2/2)/pd, где p — целое число. Прежде чем анизотропной дифракции лучи, дифрагирующие в первый обсуждать физическую природу этих резонансных пиков, порядок, имеют направление поляризации, перпендику- обратим внимание на еще одну особенность дифракционлярные поляризации падающего луча. Поэтому интерфе- ной картины.

Физика твердого тела, 1998, том 40, № Теория фоторефрактивного резонанса До сих пор рассматривался случай, когда не уточ- ний системы (электронной плотности и электрическонялась связь между интенсивностями лучей R и S и го поля) контрастом m. Если в эксперименте дополнитель- 4en(0) =(qL0M)-1 =. (50) ная подсветка отсутствует, то интенсивности AS0 и qEAR0 связаны с глубиной модуляции m соотношением Время жизни этих колебаний велико, если выполнен m = 2AR0AS0/(A2 + A2 ), т. е.

R0 Sцелый ряд условий: 1, M 1, а волновой вектор eE находится в интервале (µE0 )-1 = L-1 q. Соб0 kBT AR0 1 ± 1 - m=. (46) ственные колебания электрического заряда такого типа AS0 m в полупроводниках впервые были исследованы в [8,9] и получили там название волн перезарядки ловушек. В С помощью (46) и (29) соотношение (38) для дифракфоторефрактивных кристаллах через механизм эффекта ционных пиков с p = 0, -1 преобразуется к виду Поккельса волны заряда трансформируются в колебания диэлектрической проницаемости. Такие колебания, как 1 ± 1 - m(0) Ip = Q2A2 Re Ep+1 1 - уже указывалось выше, мы называем фоторефрактивныS1 + 1 - mми волнами.

До сих пор рассматривались пространственно од1 ± 1 - mнородные среды. В условиях же голографической за bp+1 + bp. (47) m писи среда не пространственно однородна, но периодически модулирована, так что n(0) = n(0)(kx) и Знак плюс выбирается при AR0 > AS0, а знак минус —в n(0)(kx) = n(0)(kx + 2). При этом уравнения (48) противоположном случае. Отсюда следует, что в отсутв условиях выполнения вышеприведенных неравенств ствие дополнительной подстветки осциллирующая часть принимают вид небрэгговских дифракционных максимумов с положительными p полностью гасится, если AR0 > AS0 (осцил- n 2E n(0)(kx)E + nE0 = 0, = -.

лируют лишь пики с отрицательными p). И наоборот, 4e xt при AR0 < AS0 полностью гаснет осциллирующая часть Подставляя решение в виде E(x, t) = E(x) exp(-it), небрэгговских пиков с отрицательными p.

n(x, t) =(x) exp(-it), получаем dE 4ien(0)(kx) 4. Фоторефрактивные волны = E.

dx Eи резонансный характер дифракции Из этого уравнения, используя условие периодичности Теперь обратимся к выяснению физической природы в пространстве для поля E(x), получаем дисперсионное резонансного характера дифракции в условиях, когда соотношение d 1 (т. е. kL0 1), выявленного в предыдущем разделе. Для этого рассмотрим фотопроводник, описываемый 2e 4en(0) уравнениями (3), (5), (7) в условиях однородной засвет = dzn(0)(z) =, (51) lkE0 lkE0 l ки, g(x, t) =g0. В этом случае указанная система уравнений имеет тривиальное решение n(x, t) =g0 n(0), j(x, t) = j0 =eµn(0)E0, E(x, t) =0. Рассмотрим малые где l = 1, 2, 3..., а n(0) = n0 = g0 — нулевая поправки к этому решению: n(x, t) = n(0) + n(x, t), Фурье-компонента плотности фотоэлектронов (см. также j(x, t) = j0 + j(x, t). В результате получим линеарираздел 1). Соотношение (51) есть дискретный аналог зованную систему уравнений дисперсионного уравнения (50). Оно показывает, что в периодически модулированной среде спектр фоторе E n + eµ n(0)E + nE0 + eD = 0, фрактивных волн имеет дискретный характер: распро4 t x страняются фоторефрактоны с волновыми векторами k и с частотами = 0/l. При этом собственные моды n n 2E = - -. (48) уже не являются плоскими волнами, но модулированы в t 4e xt пространстве по фазе. При малых значениях m брэгговПроизводя подстановку E(x, t) = E exp(iqx - it), ские пики (p = 0, -1) формируются за счет рассеяния на n(x, t) = exp(iqx - it), получаем соотношение одном фоторефрактоне с l = 1, а резонанс наступает при =0. Дифракционные пики с p = 1, -2 формируются (1 - iM)(1 - i ) =qL0 + i(qLD)2. (49) при рассеянии на фоторефрактоне с l = 2 (резонанс при M = 0/2) или на фоторефрактоне с l = 1 (резонанс В пределе низких частот 1, M 1, пренебрегая при = 0) и т. д.

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.