WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. 8 Структурная асимметрия крамерсовых кластеров как следствие симметрии относительно инверсии времени © И.И. Жеру Государственный университет Молдавии, MD 2009 Кишинев, Молдавия E-mail: geru@usm.md Обсуждается асимметрия крамерсовых магнитных кластеров, обусловленная структурой четырехцветных точечных групп магнитной симметрии. Проведено разложение оператора обращения времени для крамерсовых систем.

Структурные искажения с понижением симметрии нием систем с целым и полуцелым суммарным спивысокосимметричных многоатомных молекул, атомар- ном относительно обращения времени. Необходимость ных и молекулярных кластеров с орбитальным вы- использования группы 4 вместо 2 при расширении рождением основного электронного состояния проис- классических точечных групп симметрии до групп магходят вследствие эффекта Яна-Теллера [1]. Наряду с нитной симметрии в случае крамерсовых систем была этим возможны структурные искажения многоатомных обсуждена в [5,7]. В [5] показано, что с помощью систем, имеющие другию физическую природу. Такая группы 4 классические точечные группы симметрии возможность реализуется в многочастичных системах расширяются до четырех групп четырехцветной симмет z z z z с нечетным числом частиц со спином 1/2 (системы рии: 4(4 ), 4(4 ), 4(4 )/m(1) и 4(4 )/m(2), где черта сверху с крамерсовым вырождением энергетических уровней). означает зеркальный поворот, а штрих — антиповорот.

Крамерсовы системы принадлежат к группам магнитной Порождающими для первых двух групп являются соот симметрии, которые обычно получают путем расшире- ветственно группы 4 и 4, а для остальных двух — группа ния точечных групп симметрии с помощью циклической 4/m. Через m(1) и m(2) обозначены образующие элеz z группы второго порядка 2 : {K, K2 = e}, где K — менты групп 4(4 )/m(1) и 4(4 )/m(2), которые порождают оператор обращения времени, e — единичный элемент соответственно преобразования симметрии 4 z4m = em, группы [2,3]. Число черно-белых (или младших [4]) 4 z2m = 2zm и 4 zm, 4 z3m = 4 z2zm.

групп магнитной симметрии равно 58. Однако в случае Представим полную волновую функцию системы с крамерсовых систем такое расширение не является кор- суммарным спином S в виде разложения по спинорным (S) ректным. В этом случае вместо группы 2 необходимо базисным векторам использовать циклическую группу четвертого порядS ка 4 : {K, K2, K3, K4 = e}. Полученные таким способом (S) =, (1) группы магнитной симметрии являются не двухцвет =-S ными, как в предыдущем случае, а четырехцветными, где и их число равно не 58, а 4 [5]. При этом следует 1 иметь в виду, чтоприучете спина расширениюподлежат 0 двойные классические группы симметрии.

· · (S) (S) В настоящей работе показано, что специфическая S =, S-1 =,..., · · структура четырехцветных точечных групп магнитной · · симметрии, обусловленная наличием симметрии отно0 сительно инверсии времени, приводит к искажениям геометрической структуры крамерсовых молекул и кла0 стеров, которая была бы в отсутствие магнитных взаимо· · действий между атомами (или между магнитными ядра· · (S) =, (S) =.

-S+1 -S ми, если речь идет об ядерном магнитном упорядочении · · 1 в конденсированных средах [6]). В последнем разделе работы обсуждается вопрос о разложении оператора 0 обращения времени.

Под действием оператора обращения(инверсии) времени K волновая функция (1) преобразуется следующим образом [8]:

1. Группы магнитной симметрии S крамерсовых систем K = (-1)S (S).

=-S Неприменимость известных 58 точечных групп магнитной симметрии для описания магнитных свойств При полуцелом S действие операторов K, K2, K3 и крамерсовых систем обусловлена различным поведе- K4 = e на волновую функцию сводится к четырем Структурная асимметрия крамерсовых кластеров как следствие симметрии относительно инверсии... Таблица умножения элементов группы 4 m m Элементы iy K0 -e -iyK0 E x -x z K0 -z Kгруппы iyK0 -e -iyK0 e iyK0 z K0 -z K0 -x x -e -iyK0 e iyK0 -e -x x -z K0 z K-iyK0 e iyK0 -e -iyK0 -z K0 z K0 x -x e iy K0 -e -iyK0 e x -x z K0 -z Kx -z K0 -x z K0 x e -e -iyK0 iyK-x z K0 x -z K0 -x -e e iyK0 -iyKz K0 x -z K0 -x z K0 iy K0 -iyK0 e -e -z K0 -x z K0 x -z K0 -iyK0 iy K0 -e e последовательным антиповоротам точки, соответству- Если наряду с антиповоротами, образующими циклиющей состоянию, на угол 90 в функциональном ческую группу 4, учесть остальные четыре элемента (S) обобщенной симметрии квадрата с неэквивалентными пространстве с базисными векторами [5]. Ось антивращения проходит через начало координат перпенди- соседними вершинами (отражения m(i) относительно xy кулярно плоскости квадрата, вершинам которого соот- диагоналей и антиотражения m x(i) относительно прямых, ветствуют состояния K, K2 = -, K3 = -K и проходящих через центры противоположных сторон;

K4 =. Противоположные вершины квадрата попарно i = 1, 2), то расширение классических точечных групп симметрии необходимо выполнить с помощью группы эквивалентны (, - и K, -K ), а любые соседние 4 m m. Из всех 32 точечных групп симметрии расвершины не эквивалентны и окрашены разными цветами ширение с помощью группы 4 m m допускают только (см. рисунок, a, b).

группы 422, 4mm и 42m. В этом более общем случае В случае полуцелого спина окрашивание вершин квадсуществуют также четыре точечные младшие группы рата, соответствующих функциям K и K3 = -K, явобобщенной симметрии — группы четырехцветной симляется операцией антиотождествления, которая осущеxy xy xy z x z x z x метрии: 4(4 )2(m )2(m ), 4(4 )m(m )m(m ), 4(4 )2(m )m(m ) и ствляет переход от спинора к сопряженному спинору xy z xy 4(4 )2(m )m(m ) [5]. Порождающими для первых двух (S) +, (-1)S(S). В случае целого спина групп магнитной симметрии являются группы 422 и операцией антиотождествления является только окраши 4mm, а для остальных двух — группа 42m. В группе вание вершины (2S+1)-мерного куба, соответствующего симметрии 4 m m отражения m(i) и антиотражения m x(i) xy состоянию K.

(i = 1, 2) в спинорном базисе описываются операторами Соответствие операторов K, K2, K3 и K4 элементам x, -x и z K0, -z K0, где K0 — оператор комплекссимметрии 4 z, 4 z2, 4 z3 и 4 z4 = e квадрата с черно-белыми ного сопряжения. Таким образом, группа 4 m m обравершинами является наглядным в случае S = 1/зована операторами iy K0, -e, -iy K0, e, x, -x, z K(см. рисунок, a). При полуцелом S > 1/2 такая нагляди -z K0, правила умножения которых приведены в ность теряется из-за невозможности восприятия геотаблице.

метрических образов пространств с числом измерений Структуру группы 4 m m легко выявить, если через больше трех. Тем не менее свойства унитарной части gi и gk обозначить элементы подгруппы 4 (gi, gk 4 ), а оператора K позволяют установить, что и в этом случае через hi и hk — оставшиеся четыре элемента группы геометрическими образами элементов группы 4 явля- 4 m m, которые образуют множество H(hi, hk H).

ются четыре антивращения типа 4 z [5].

Тогда gigk 4, hihk = gl 4 ; gihk H, higk H. (2) Как видно из (2), все произведения элементов множества H принадлежат подгруппе 4.

2. Структурные искажения крамерсовых магнитных кластеров как следствие наличия симметрии относительно инверсии времени Среди элементов точечных групп магнитной симметрии, полученных при расширении классических точечДействие операторов K, K2, K3 и K4 на волновую функцию.

ных групп симметрии с помощью циклической групS = 1/2 (a) и 3/2 (b).

Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. 1434 И.И. Жеру пы 4, не содержатся повороты либо зеркальные пово- Поэтому справедливы следующие соотношения инварироты вокруг осей симметрии третьего, пятого и шестого антности:

порядков. Отсутствуют также и другие элементы сим-1 -KHK-1 = H, K1HK1 = H, K2HK2 = H.

метрии высокосимметричных фигур. Это означает, что локальная симметрия магнитных кластеров не может Операторы проекций спина Sx, Sy, Sz S = при быть высокой. В практически важном частном случае обращении времени, как известно, меняют знак. Одтримерных магнитных кластеров треугольник, в верновременное обращение знаков у всех операторов шинах которого расположены 3d- или 4f-ионы с полуSx, Sy, Sz под действием оператора K назовем полным целым спином в основном состоянии, не может быть обращением движения, а оператор K — оператором равносторонним. Данные рентгеноструктурного анализа, полного обращения времени. В отличие от этого, как магнитной восприимчивости, ЭПР-спектроскопии, списледует из сотношений новой теплоемкости, мессбaуэровской спектроскопии и нейтронографии, как правило, подтверждают этот вы- -1 -1 -K1SxK1 = -Sx, K1SyK1 = Sy, K1Sz K1 = Sz, (4) вод [9–13]. При этом во многих случаях эксперименталь-1 -1 -ные данные интерпретируются с привлечением модели K2SxK2 = Sx, K2SyK2 = -Sy, K2Sz K2 = -Sz, (5) антисимметричного обмена Дзялошинского–Мория [9].

оператор K1 обращает знак только у Sx, а оператор В тех случаях, когда в пределах точности эксперимента K2 — только у Sy и Sz. Поэтому K1 и K2 являются длины сторон треугольника (или константы обменного операторами „частичного“ обращения времени, удовлевзаимодействия между магнитными ионами) оказывают2 творяющими сотношениям (K1K2)2 = -e, K1 = K2 = e.

ся одинаковыми, неэквивалентность магнитных ионов При наличии внешнего магнитного поля инвариантпо-прежнему существует. Однако для ее выявления ность гамильтониана относительно операторов K1 и Kнеобходимы более точные измерения.

из (4) и (5) сохраняется, если изменить знаки x- и соотГруппы магнитной симметрии, полученные расширеветственно y- и z -проекций вектора напряженности магнием классических групп с помощью группы 4 m m нитного поля. Однако вопрос о K1- и K2-инвариантности (содержащей группу 4 в качестве подгруппы), также требует отдельного рассмотрения.

являются низкосимметричными. Среди элементов симметрии этих групп отсутствуют, в частности, повороты и зеркальные повороты вокруг осей симметрии третьего, Список литературы пятого и шестого порядков. Поэтому магнитные класте[1] H.A. Jahn, E. Teller. Proc. Roy. Soc. A161, 220 (1937);

ры и в этом случае являются низкосимметричными.

H.A. Jahn. Proc. Roy. Soc. A164, 117 (1938).

Таким образом, структурная асимметрия магнитных [2] Б.А. Тавгер, В.Н. Зайцев. ЖЭТФ 30, 3, 564 (1956).

кластеров с крамерсовым вырождением энергетических [3] М. Хамермеш. Теория групп и ее применение к физичеуровней обусловлена наличием симметрии относительским проблемам. Мир, М. (1966). 587 с.

но инверсии времени, приводящей в этом случае к спе[4] А.М. Заморзаев. Кристаллография 2, 1, 15 (1957).

цифической структуре четырехцветных групп магнитной [5] И.И. Жеру. ДАН СССР 268, 6, 1392 (1983).

симметрии.

[6] А. Абрагам. М. Гольдман. Ядерный магнетизм: порядок и беспорядок. Мир, М. (1984). Т. 1. 300 с.

[7] И.И. Жеру. В кн.: Всесоюз. симп. по теории симметрии и 3. О разложении оператора ее обобщениям. Тез. докл. Кишинев (1980). С. 42.

обращения времени [8] Е. Вингер. Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров. ИЛ, М. (1971).

443 с.

Оператор обращения времени K как элемент симмет[9] Б.С. Цукерблат, М.И. Белинский. Магнетохимия и радиории неабелевой группы 4 m m (K 4 m m) может быть спектроскопия обменных кластеров. Штиинца, Кишинев представлен в виде произведения элементов z K0 и x (1983). 279 с.

[10] Tagano Mikio. J. Phys. Soc. Jap. 33, 5, 1312 (1972).

K = iy K0 = z K0x, [11] J.F. Duncan, C.R. Kanekar, K.F. Mok. J. Chem. Phys. Soc. (A) 480 (1969).

которое является разложением оператора K по операто[12] J.J. Long, W.T. Robinson, W.P. Tappmeyer, D.L. Bridges. J.

рам K1 = z K0 и K2 = x, Chem. Phys. Soc. Dalton Trans. 6, 573 (1973).

[13] K.I. Turta, A.O. Solonenko, I.I. Bulgak, F.K. Jovmir, M. RoK = K1K2. (3) senberg, P. Stelmaszyk, G. Filoti. J. Radioаnal. Nucl. Chem.

Art. 190, 2, 347 (1995).

Поскольку операторы K1 и K2 (которые, так же как и оператор K, определены с точностью до несущественного постоянного множителя) сами являются элементами симметрии группы 4 m m (K1, K2 4 m m), они коммутируют по отдельности с гамильтонианом H системы.

Физика твердого тела, 2002, том 44, вып.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.