WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

R(1) = r1 R(1)rk, R(2) = r2 R(2)rk, (17) k k 0(1)R1,2 = 0, k=0 k=k(1)R1,2 + q1R1,2 + q2R1,2 = 0, k k-1 k-где 1 = 2 = 1. Коэффициенты R(1,2) определяются из k k = 1, 2,... (Rl =0, l <0); (14а) рекуррентных соотношений 0(3)R(3) =0, 0 0(1)R(1,2) = 0, k(1)R(1,2) + q1R(1,2) + q2R(1,2) = 0, 1(3)R(3) +q1R(3) = 0, k k-1 k-1 k = 1, 2,... (Rl =0, l < 0), (18) k(3)R(3) + q1R(3) + q2R(3) + {2(3 + k)+q0 -1} k k-1 k-в которых выбираются два линейно-независимых реше(K1R(1) +K2R(2) ) =0, k 1. (14б) k-1+3 k-1+ния первого из уравнений (18).

Как доказано нами в [21], степенные ряды в (13), Отметим, что рекуррентные соотношения для коэффи(15) и (17) имеют бесконечный радиус сходимости и, циентов R(1) и R(2) одинаковы, но решения R(1,2) первого k k следовательно, выражения (13)–(18) полностью опредеиз уравнений (14а) выбираются линейно-независимыми.

ляют волновые функции всех состояний гамильтониана б) L1 = F - 1/2, L2 = L1. В этом случае совпадают с (1), причем как в объеме полупроводника (см. [20]), точностью до константы операторы (12), действующие так и в квантовой точке, и для того чтобы вычислить на RL1J1 и RL2J2. Регулярным при r = 0 решениям энергии уровней и волновые функции акцептора, необуравнений (3) соответствуют корни (11) 1 = L1 + 2, ходимо только удовлетворить соответствующим гранич2 = 3 = L1, а решения имеют вид ным условиям. Отметим, что эти выражения определяют волновые функции акцептора не только в сферическом R(1) = r1 R(1)rk, приближении, но и при учете гофрировки валентных k k=зон в первом порядке по ”гофрировочному” параметру = (3 - 2)/1, которому пропорциональны слага емые кубической симметрии, добавляемые к (1) при R(2) = r2 R(2)rk + K2R(1) ln r, k ее учете [18,22]. Действительно, в этом приближении k=гофрировка вообще не влияет на состояния с F < 5/ и приводит к расщеплению состояний с F = 5/R(3) = r3 R(3)rk + K3R(1) ln r, (15) k (поскольку дипольные переходы из основного состояния k=в состояния с F > 5/2 запрещены [18], мы их не будем рассматривать). Волновые функции теперь харакгде коэффициенты R(i) и константыK2,3 определяются из k теризуются по одному из представлений = ±, ± рекуррентных соотношений 8 и ± группы Td Ci гамильтониана, а интересующее нас состояние 2P5/2 расщепляется на состояния 2- и 0(1)R(1) = 0, 1-. Однако уравнения для радиальных функций этих k(1)R(1) + q1R(1) + q2R(1) = 0, k k-1 k-состояний имеют прежний вид (3), только с другими k = 1, 2,... (Rl = 0, l < 0); (16а) постоянными коэффициентами перед операторами типа Физика и техника полупроводников, 1997, том 31, № Влияние спин-орбитального взаимодействия на оптические спектры акцептора... (12), а их решения, как и для состояния 2P5/2, даются и равен единице, если измерять энергии и расстояния формулами (13), (14). соответственно в единицах Ra и a, как в (1). Тогда, В случае акцептора в квантовой точке необходимо подставляя в (19) выражение (2) для волновых функций, удовлетворить граничным условиям при r = R0, т. е. используя теорему Вигнера–Эккарта и свойство ортогонайти такие значения энергий E и линейные комбинации нальности 3 j-символов, имеем решений, для которых выполняется условие (R)r=R0 = 0.

Удобнее всего это сделать следующим образом. ОбразуEb -Ea f (a b) = (LaJaFa||r||LbJbFb), (20) ем из решений (13) или (15) (в зависимости от рассма3ga JL триваемого состояния) в точке R0 матрицу A размером 3 3:

где приведенный матричный элемент равен A(E) = R(1), R(2), R(3).

r=R(LaJaFa||r||LbJbFb) =JaJb(-1)Fb+J+La+Тогда процедура вычисления энергий уровней на некото[(2Fa + 1)(2Fb + 1)]1/ром интервале [E, E ] сводится к численному решению ”стрельбой” уравнения det A(E) =0. Если при некотоLb J Fb (La||r||Lb). (21) ром E = E0 выполняется условие det A(E0) =0, то Fa 1 La R(1) = 1 R(2) + 2 R(3), Поскольку при 0 некоторые различные возбуr=R0 r=R0 r=Rжденные состояния становятся вырожденными (они опигде константы 1,2 соответствуют собственному зна- сываются одинаковыми уравнениями, см. п. 2), интересно чению E0. Тогда нормированное решение, соответ- определить, как распределяется сила осциллятора, соотствующее этой энергии и удовлетворяющее граничным ветствующая при =0 переходу в данное вырожденное условиям, имеет вид состояние, между переходами в возбужденные состоя ния, которые его образуют при 0. Непосредствен(r) =C R(1) -1R(2) -2R(3), ный расчет по формулам (20), (21) показывает, что сила осциллятора перехода из основного состояния (1S1 в а константа C определяется из условия нормировки обозначениях [22], =0) в возбужденное состояние 2Pделится между переходами 1S3/2(1+) 2P3/2(1-) R0 8 и 1S3/2(1+) 2P1/2(1-) при 0 в отношении 8 (T )dr = 1.

5 : 1, а сила осциллятора перехода в состояние 2P2 — между переходами 1S3/2(1+) 2P5/2(2- + 1-) и 8 8 1S3/2(1+) 3P3/2(3-) в отношении 9 : 1. Здесь Отметим, что в рамках используемого подхода со8 в скобках указаны обозначения состояний, в которые вершенно аналогично вычисляются уровни энергии и переходят данные состояния при учете гофрировки.

волновые функции ”свободной” дырки в квантовой точке, 5. Результаты расчета зависимости энергий уровней и т. е. дырки в отсутствие акцептора в яме. При этом нужно сил осцилляторов дипольных оптических переходов из просто положить Z = 0 в уравнении (3), выражения основного в возбужденные нечетные состояния мелкого (13)–(18), как и прежде, являются точными решениями акцептора в сферической квантовой точке от энергии (3), а коэффициенты перед логарифмическими членами спин-орбитального расщепления валентных зон привев (13), (15) обращаются в нуль — они пропорциональны дены в табл. 1–4. Здесь же представлена зависимость от Z [20].

энергии нижнего уровня свободной дырки E (Z = 0) 4. Зная волновые функции акцептора, легко вычи(вторая колонка в таблицах). В таблицах энергии укаслить силы осцилляторов внутрипримесных переходов.

заны в единицах Ra, силы осцилляторов в 10-2. Мы Поскольку симметрия рассматриваемой системы сферивычислили эти величины при различных значениях раческая, силы осцилляторов дипольных оптических передиуса точки и различных значениях параметра µ, что ходов между связанными состояниями a и b акцептора позволяет оценить их для акцепторов в квантовых точках в квантовой точке даются известным выражением для из разных материалов. Действительно, в сферическом объема полупроводника [23]:

приближении при использовании безразмерных единиц ga gb 2m0 Eb -Ea параметры µ и полностью характеризуют валентf (a b) = |(e · r)mn|2. (19) ную зону полупроводника, что видно, в частности, из 1 ga m=1 n=уравнений (1), (3). Следует отметить, что отношение Здесь Ea, Eb и ga, gb — соответственно энергии и эффективных масс тяжелых и легких дырок (зона +) кратности вырождения уровней a и b, e — единич- выражается только через µ: =(1 +µ)/(1 -µ). В ный вектор поляризации излучения. Коэффициент перед таблицах представлены наиболее интересные результаты двойной суммой в (19) определяется правилом сумм сил расчетов при значениях µ = 0.8, 0.5, характерных для осцилляторов для акцепторных примесей, которое зави- многих полупроводников, и при R0 = 1.3. Здесь же присит лишь от одного параметра Латтинджера 1 [23,18] ведены соответствующие данные, полученные в пределе 7 Физика и техника полупроводников, 1997, том 31, № 1380 А.Ф. Полупанов, В.И. Галиев, М.Г. Новак Таблица 1. Энергии уровней E и силы осцилляторов f оптических переходов из основного в возбужденные состояния мелкого акцептора в квантовой точке как функции спин-орбитального расщепления. µ = 0.8, R0 = E(Z = 0) E(1S3/2) E(2P3/2) f E(3P3/2) f E(2P5/2) f E(2P1/2) f 0 0.449 -3.22 -1.25 0.041 -0.663 1.75 -0.663 15.8 -1.25 0.0.1 0.464 -3.21 -1.23 0.065 -0.607 1.79 -0.646 15.8 -1.18 0.0.5 0.511 -3.17 -1.19 0.151 -0.371 2.53 -0.595 15.8 -0.921 0.1 0.548 -3.12 -1.17 0.217 -0.255 2.52 -0.558 15.7 -0.608 0.2 0.592 -3.05 -1.14 0.265 -0.205 2.31 -0.520 15.9 -0.028 1.3 0.616 -3.00 -1.13 0.274 -0.177 2.34 -0.502 16.2 0.476 2.5 0.644 -2.92 -1.12 0.269 -0.147 2.42 -0.485 16.9 1.22 6.10 0.672 -2.81 -1.11 0.245 -0.117 2.56 -0.469 18.1 2.01 13. 0.677 -2.57 -1.10 0.21 -0.073 2.90 -0.450 20.5 2.78 21.Таблица 2. Энергии уровней E и силы осцилляторов f оптических переходов из основного в возбужденные состояния мелкого акцептора в квантовой точке как функции спин-орбитального расщепления. µ = 0.8, R0 = E(Z = 0) E(1S3/2) E(2P3/2) f E(3P3/2) f E(2P5/2) f E(2P1/2) f 0 4.04 -1.52 0.076 1 · 10-4 4.76 1.79 4.76 16.1 0.076 2 · 10-1 4.19 -1.42 0.228 3 · 10-6 5.30 2.50 4.92 16.2 0.738 0.5 4.64 -1.16 0.639 0.001 6.79 7.26 5.15 16.5 3.29 0.10 4.99 -0.999 0.927 0.004 7.31 8.30 5.24 17.1 6.27 1.20 5.38 -0.854 1.23 0.010 7.72 8.65 5.29 17.8 11.4 6.50 5.84 -0.720 1.55 0.023 8.15 9.09 5.32 18.5 21.0 21.100 6.08 -0.659 1.72 0.034 8.37 9.33 5.33 18.8 26.8 34. 6.09 -0.58 1.95 0.05 8.69 9.66 5.35 19.1 32.6 45.Таблица 3. Энергии уровней E и силы осцилляторов f оптических переходов из основного в возбужденные состояния мелкого акцептора в квантовой точке как функции спин-орбитального расщепления. µ = 0.5, R0 = E(Z = 0) E(1S3/2) E(2P3/2) f E(3P3/2) f E(2P5/2) f E(2P1/2) f 0 1.03 -1.35 -0.222 3.20 0.621 4.32 0.621 38.9 -0.222 0.0.1 1.03 -1.34 -0.207 3.46 0.692 4.09 0.629 39.0 -0.156 0.0.5 1.04 -1.33 -0.165 4.19 0.989 3.56 0.654 39.4 0.095 1.1 1.04 -1.31 -0.136 4.67 1.35 3.85 0.675 40.0 0.377 3.2 1.04 -1.29 -0.108 5.06 1.71 4.72 0.701 40.8 0.829 8.3 1.04 -1.28 -0.095 5.20 1.75 4.06 0.715 41.5 1.14 14.5 1.05 -1.26 -0.081 5.30 1.78 3.70 0.730 42.4 1.50 22.10 1.05 -1.23 -0.069 5.32 1.79 3.48 0.745 43.6 1.81 30. 1.05 -1.19 -0.054 5.3 1.81 3.22 0.76 45.6 2.10 37.Таблица 4. Энергии уровней E и силы осцилляторов f оптических переходов из основного в возбужденные состояния мелкого акцептора в квантовой точке как функции спин-орбитального расщепления. µ = 0.5, R0 = E(Z = 0) E(1S3/2) E(2P3/2) f E(3P3/2) f E(2P5/2) f E(2P1/2) f 0 9.29 3.49 6.30 2.85 14.6 4.36 14.6 39.3 6.30 0.1 9.30 3.51 6.46 3.13 15.3 4.04 14.7 39.6 6.96 0.5 9.34 3.58 6.87 3.92 18.3 3.23 14.9 40.5 9.46 2.10 9.36 3.63 7.16 4.43 21.8 3.01 15.0 41.2 12.2 5.20 9.38 3.69 7.43 4.87 24.7 2.33 15.1 42.1 16.3 12.50 9.41 3.76 7.70 5.20 25.2 1.66 15.3 43.1 22.0 28.100 9.42 3.79 7.82 5.32 25.4 1.54 15.4 43.6 24.3 35. 9.44 3.84 7.98 5.4 25.4 1.46 15.4 44.3 26.6 41.Физика и техника полупроводников, 1997, том 31, № Влияние спин-орбитального взаимодействия на оптические спектры акцептора... оказывает как на энергию, так и на силу осциллятора перхода в нижнее состояние симметрии - (в сферическом приближении его обозначают как 2P1/2), поскольку его характер изменяется от тяжелодырочного (при = 0) до легкодырочного (при = ).

Действительно, как видно из уравнений (6) и (8), в сферическом приближении и в первом порядке теории возмущений по параметру, которому пропорциональны слагаемые, описывающие гофрировку валентных зон, соответствующее уравнение имеет в этих пределах чисто ”водородоподобный” вид с L = 1 и с сильно отличающимися массами, пропорциональными соответственно 1/(1-µ) и1/(1+µ). Именно поэтому при малых радиусах квантовой точки широко используемое при расчетах приближение бесконечно большого спин-орбитального Зависимость энергий нижних уровней свободной дырки и акциптора (E) от квадрата обратного радиуса квантовой точки расщепления валентных зон становится применимым (R0). µ = 0.8, = 0. 1 — S1(Z = 0), 2 — P1(Z = 0), для этих состояний лишь при очень больших.

3 —1S1, 4 —2P1,5 —2P2. Энергия E приведена в единицах Работа выполнена при частичной финансовой подRa, радиус квантовой точки R0 в единицах a.

держке Российского фонда фундаментальных исследований.

=в [16]. Состояния в таблицах обозначены так, как это принято в сферическом приближении [22]. Следует Список литературы отметить, что, как показано в работе [14], в квантовых точках малого радиуса в случае больших величин и [1] S. Fraizzoli, A. Pasquarello. Physica Scripta, T39, 182 (1991).

при достаточно малых может происходить инверсия [2] G. Bastard. Phys. Rev. B, 24, 4714 (1981).

порядка состояний свободной дырки s- и p-типа. Дей[3] C. Mailhiot, Y.-C. Chang, T.C. McGill. Phys. Rev. B, 26, ствительно, в нашем расчете при µ = 0.8 в квантовой (1982).

[4] R.L. Green, K.K. Bajaj. Phys. Rev. B, 34, 961 (1986).

точке радиуса R0 = 3 при 0 12, а в точке радиуса [5] W.T. Masselink, Y.-C. Chang, H. Morkoc. Phys. Rev. B, 32, R0 = 1 при 0 103 нижним уровнем размерного 5190 (1985).

квантования свободной дырки является состояние P3/2, в [6] S. Fraizzoli, A. Pasquarello. Phys. Rev. B, 44, 1118 (1991).

то время как при больших, а в случае µ = 0.5 при [7] G.W. Bryant. Phys. Rev. B, 29, 6632 (1984).

всех 0, — состояние S3/2. При этом инверсии [8] J. Lee, H.N. Spector. J. Vac. Sci. Technol. B, 16, (1984).

акцепторных состояний не происходит ни при каких из [9] D.S. Chuu, C.M. Hsiao, W.N. Mei. Phys. Rev. B, 46, исследованных параметров, что видно как из таблиц, (1992).

так и из рисунка, на котором изображены результаты [10] Ал.Л. Эфрос. А.Л. Эфрос. ФТП, 16, 1209 (1982).

расчета зависимости энергий нижних уровней свободной [11] L.E. Brus. J. Chem. Phys., 80, 4403 (1984).

дырки и акцепторных уровней от квадрата обратного [12] А.И. Екимов, А.А. Онущенко, А.Г. Плюхин, Ал.Л. Эфрос.

ЖЭТФ, 88, 1490 (1985).

радиуса квантовой точки при ”критических” значениях [13] M. Sweeny, J. Xu. Sol. St. Commun., 72, 301 (1989).

= 0, µ = 0.8, когда инверсия порядка состояний [14] Г.Б. Григорян, Э.М. Казарян, Ал.Л. Эфрос, Т.В. Язева. ФТТ, свободной дырки s- и p-типа имеет место при всех конеч32, 1772 (1990).

ных радиусах точки. Из таблиц видно, что полученные [15] J.-L. Zhu. Phys. Rev. B, 39, 8780 (1989); J.-L. Zhu, J.-J. Xiong, выше (п. 4) соотношения между силами осцилляторов B.-L. Gu. Phys. Rev. B, 41, 6001 (1990).

при 0 выполняются в численном расчете точно.

[16] В.И. Галиев, А.Ф. Полупанов. ФТП, 27, 663 (1993).

Видно также, что энергии как основного, так и ряда [17] J.-L. Zhu, X. Chen. J. Phys.: Condens. Matter., 6, L123 (1994).

возбужденных состояний акцептора слабо зависят от [18] Ш.М. Коган, А.Ф. Полупанов. ЖЭТФ, 80, 394 (1981).

даже при малых радиусах квантовой точки, но при [19] А.Ф. Полупанов, Ш.М. Коган. ФТП, 13, 2338 (1979).

этом силы осцилляторов переходов могут изменяться [20] В.И. Галиев, А.Ф. Полупанов. Препринт N 18(519) ИРЭ АН СССР (М., 1989).

значительно — на порядки величин. Результаты расчетов [21] V.I. Galiev, A.F. Polupanov, I.E. Shparlinski. J. Comput. Appl.

показывают, что наиболее существенное влияние спинMath., 39, 151 (1992).

орбитальное взаимодействие оказывает на спектры энер[22] A. Baldereschi, N.O. Lipari. Phys. Rev. B, 8, 1525 (1973);

гий и силы осцилляторов оптических переходов при Phys. Rev. B, 9, 1525 (1974).

достаточно больших величинах и достаточно малых [23] Sh.M. Kogan, A.F. Polupanov. Sol. St. Commun., 27, радиусах точки. Понятно, что при малых величинах, (1978).

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.