WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Локализующие потенциалы для электрона и дырки вво- e (rh) = (1 + )We exp -(1 + )Wer2 (33) 0 e дятся следующим образом:

есть волновая функция основного состояния изолироUe(re) =4(1 + )We2r2, (24) e ванного электрона в потенциале Ue(re). Волновые функ e h ции (re) и (rh) можно найти либо путем численного Uh(rh) =4 1 + Wh r2, (25) h решения одночастичных уравнений Шредингера (30) и (32) соответственно, либо вариационным методом.

где We и Wh определены согласно (5) и характеризуют Мы использовали второй подход со следующей пробной жесткость потенциалов. функцией:

В рассматриваемом случае пробные функции (21) e (re) =exp(-Aere - Ber2), (34) и (22) принимают следующий вид: e h 1 (rh) =exp(-Ahrh - Bhr2), (35) C.M. int e h h (re, rh) = (R) () (re) (rh) (26) где Ae,h, Be,h — подгоночные параметры.

и Зависимости энергии связи экситона Eb(Wh), полученные для различных We при расчете с функциями (26) R e h C.M. int e h (re, rh) = (R) () (re) (rh).

и (27), представлены на рис. 1, a ( = 1) и 1, b ( = 0.3).

(27) Как и следовало ожидать, при любых значениях параЗдесь = re - rh — координата относительного дви- метров We и Wh энергия связи Eb превышает энергию 2D жения электрона и дырки, а R =( re + rh)/( + 1) — связи свободного экситона Eb = 4, так как при дополрадиус-вектор центра масс экситона. Волновые функции нительной локализации увеличивается эффективность Физика и техника полупроводников, 2006, том 40, вып. Локализация электронно-дырочных комплексов на флуктуациях интерфейсов квантовых ям соответствующие зависимости Eb(Wh) даже теряют монотонность. Условные границы областей реализации предельных случаев 1 и 2 показаны на рис. 1, a и 1, b.

Граничными выбраны значения We и Wh, при которых различие результатов, полученных с использованием пробных функций (26) и (27), составляет 5%.

Одной из причин более высокой по сравнению с достигаемой при помощи функции (26) точности результата функции (27) есть то, что за счет большего количества параметров она позволяет значительно точнее описать асимптотическое поведение волновой функции экситона при переходе к предельным случаям 1 и 2. Так, отличие параметров e, h, и R пробной функции (27) от ожидаемых предельных значений (e = h = 0 и = R = 1 в предельном случае 1 и e = h = 1 и = R = 0 в предельном случае 2) позволяет учесть следующий порядок поправок к энергии по теории возмущений. Причем из-за различия C.M. int e масштабов волновых функций (R), (), (re) h и (rh), входящих в состав пробной функции (27), отличие подгоночных параметров от их ожидаемых предельных значений может оказаться большим. Так, в случае экситона, локализованного в параболическом потенциале, наибольшее отличие от предельного значения имеет подгоночный параметр, который описывает коррелированность относительного движения электрона и дырки вследствие кулоновского взаимодействия между ними. Например, если = 1 и We = Wh, то 0.65, вместо ожидаемого 0. Для учета этого мы добавили еще один параметр в пробную Рис. 1. Серия зависимостей энергии связи экситона Eb(Wh) функцию (26):

для разных значений We. За точку отсчета выбрана энергия 2D связи свободного двумерного экситона Eb. Рис. a и b соот 1C.M. int (re, rh) = (R) () (re) (rh).

e h ветствуют различным значениям отношения масс электрона (36) и дырки : a — 1, b — 0.3. Кривые 1–8 соответствуют Результаты расчета с пробной функцией (36) также значениям We: 1 — 0.0025, 2 — 0.01, 3 — 0.0625, 4 — 0.25, показаны на рис. 1. Отличие от результатов расчета с 5 — 1, 6 — 4, 7 — 25, 8 — 100. Сплошные, штриховые и штрихпунктирные линии соответствуют результатам рас- четырьмя параметрами составляет уже не более 4% при чета с пробными функциями с четырьмя (27), двумя (36) любых значениях We, Wh, а немонотонность исчезла.

и одним (26) подгоночными параметрами соответственно.

Специфическим свойством параболических потенциаРимскими цифрами обозначены области реализации различных лов (24) и (25) является возможность разделить перепредельных случаев: I — предельный случай 1 (выполнено менные R и в гамильтониане (23) при выполнении условие (6)), II — предельный случай 2 (выполнено услоусловия [17] вие (10) или (11)). III — промежуточная область. Жирными We = Wh = W. (37) пунктирными линиями показаны условные границы этих областей. При этом энергия связи экситона Eb перестает зависеть от отношения эффективных масс электрона и дырки, и зависимости Eb(W ) при различных сливаются в одну универсальную кривую.

кулоновского притяжения между электроном и дыркой.

На рис. 2, a мы сравнили зависимости Eb(W ), поПоэтому в качестве точки отсчета на графиках выбрана лученные с помощью функций (26) и (27), с точной энергия связи свободного двумерного экситона.

зависимостью для этого случая из работы [17]. На Максимальное различие значений энергии связи, порис. 2, b показаны относительные погрешности резульлученных с помощью простейшей пробной функции (26) татов функций (26) и (27). Заметим, что максимальная и функции (27), не превышает 20%. В предельных слупогрешность энергии связи, полученной с применением чаях 1 и 2 энергии связи экситона, вычисленные с по- простейшей однопараметровой пробной функции (26), мощью (26) и (27), практически совпадают. В промежу- составляет около 10%. В то время как погрешность точной области погрешность результатов функции (26) расчета с функцией (27) не превышает 0.5%, и зависидостигает наибольшего значения и при некоторых We мость Eb(W ), полученная с ее помощью, практически 7 Физика и техника полупроводников, 2006, том 40, вып. 1378 М.А. Семина, Р.А. Сергеев, Р.А. Сурис скоррелировано и экситон можно рассматривать как связанный комплекс в слабом внешнем потенциале.

Напротив, во втором случае носители движутся независимо, каждый — в своем эффективном потенциале.

В данном разделе мы проанализируем, как меняется корреляция движения носителей при изменении параметров локализующего потенциала.

В качестве меры корреляции движения электрона и дырки выберем следующее отношение:

Z(0)/Z(), (38) где Z() = | (re, rh)|2redrerhdrh. (39) 0 Здесь (re, rh) — волновая функция экситона, —угол между радиус-векторами электрона re и дырки rh.

Рис. 2. a — зависимости энергии связи от We = Wh = W.

1 — точная зависимость из [18], 2, 3, 4 — вариационные расчеты с пробными функциями с одним (26), двумя (36) и четырьмя (27) подгоночными параметрами соответственно.

1, 3 и 4 на рисунке практически совпадают. b — зависимости относительной погрешности расчета с использованием пробных функций (26), (36) и (27).

сливается с точной. Это оправдывает использование функции (27) для определения точности результатов функции (26).

Таким образом, мы показали, что волновые функции (26) и (27) позволяют с хорошей точностью вычислить энергию связи экситона, локализованного в параболическом потенциале, при произвольных значениях жесткости потенциалов для электронов и дырок.

Рис. 3. Серия зависимостей Z(0) =Z() для разных значений We. Рис. a и b соответствуют различным значениям 4. Зависимость строения экситона отношения масс электрона и дырки : a — 1, b —0.3.

от параметров локализующего Кривые 1-8 соответствуют значениям We: 1 — 0.0025, 2 — 0.01, 3 — 0.0625, 4 — 0.25, 5 — 1, 6 — 4, 7 — 25, потенциала 8 — 100. Римскими цифрами обозначены области реализации различных предельных случаев: I — предельный случай Предельные случаи 1 (выполнено (6)) и 2 (выпол(выполнено условие (6)), II —предельный случай 2 (выполнено (10) или (11)), рассмотренные в разд. 2, соответнено условие (10) или (11)), III — промежуточная область.

ствуют принципиально различной внутренней структуре Жирными пунктирными линиями показаны условные границы экситона. В первом случае движение электрона и дырки этих областей.

Физика и техника полупроводников, 2006, том 40, вып. Локализация электронно-дырочных комплексов на флуктуациях интерфейсов квантовых ям В предельном случае 1 угол между радиус-векторами будет минимальной. В таких потенциалах максимальная электрона и дырки может с равной вероятностью погрешность результата функции (21) будет ниже в принимать любые значения. Тогда Z() 1/, а параболическом. Напротив, в потенциалах, в которых Z(0)/Z() 1. В противоположном предельном слу- расстояние между уровнями размерного квантования чае 2 радиус-вектора электрона и дырки должны быть увеличивается с номером уровня, погрешность будет сонаправленными. Действительно, если локализующий выше.

потенциал является слабым по сравению со взаимо- Таким образом, зная качественную картину энергетидействием между электроном и дыркой, то размерами ческих уровней в одночастичных потенциалах Ue(re) и экситона можно пренебречь по сравнению с харак- Uh(rh), можно предсказать точность вычисления энергии терными размерами области, в которой локализован связи с помощью пробных функций (21) и (22). Наприего центр масс (R ), и re rh R. Тогда зави- мер, для класса локализующих потенциалов симость Z() должна иметь резкий максимум вблизи Ue,h(re,h) (re,h) (40) = 0 и Z(0)/Z().

Серия зависимостей величины Z(0)/Z() от We при максимальная погрешность расчета с пробными функразличных Wh, вычисленная с использованием функциями (21) и (22) монотонно возрастает с ростом ции (27), показана на рис. 3, a ( = 1) и 3, b ( = 0.3).

параметра. Таким образом, для всех потенциалов На рис. 3 также показаны границы областей реализации вида (40) при <2 погрешность результата расчета с предельных случаев 1 и 2, соответствующие изобрафункцией (21) не должна превысить 20% при любых женным на рис. 1. Заметим, что область реализации значениях параметров We и Wh, а при >2 — быть предельного случая 1 соответствует большим значени несколько большей.

ям отношения Z(0)/Z(), а область реализации предельного случая 2 соответствует Z(0)/Z() 1. Таким образом, есть прямая взаимосвязь между строением 6. Заключение экситона и областями реализцаии предельных случаев В данной работе предложен универсальный метод пои 2, определенными из анализа точности расчетов с строения вариационных волновых функций двумерных пробными функциями (26) и (27).

электронно-дырочных комплексов, локализованных на потенциале притяжения произвольной формы. Предло5. Точность вариационных расчетов жена пробная функция с одним подгоночным параметв случае локализующего ром, общий вид которой не зависит от конкретной форпотенциала произвольной формы мы локализующего потенциала, позволяющая с хорошей точностью получить энергию связи комплекса при Мы показали применимость пробных функций (21) произвольных значениях параметров, характеризующих и (22) в частном случае, когда одночастичные потенци- локализующий потенциал. На примере экситона, локаалы Ue(re) и Uh(rh) имеют параболическую форму. Дей- лизованного в параболическом изотропном потенциаствительно, для потенциалов данного вида погрешность ле притяжения, показана применимость предложенного вычисления энергии связи с помощью функции (21) не метода и проиллюстрировано изменение качественного превышает 20%. Посмотрим, что изменится в случае, строения комплекса при переходе между предельными если форма потенциалов Ue(re) и Uh(rh) произвольна.

случаями. Проведен анализ зависимости погрешности Согласно нашему методу, погрешность результата, полу- вариационного расчета от формы локализующего потенченного с помощью пробных функций (21) и (22), будет циала.

минимальной в любом из двух предельных случаев Работа поддержана грантом РФФИ № 05-02-16679 и (выполнено условие (6)) или 2 (выполнено условие (10) Федеральной программой поддержки ведущих научных или (11)) и будет достигать своего максимального школ.

значения в промежуточной области.

Поэтому лучше всего данные функции будут работать для локализующих потенциалов Ue(re) и Uh(rh), в Список литературы которых переходная область между двумя описанными [1] G. Bastard, C. Delalande, M.H. Meynadier, P.M. Frijlink, пределами минимальна. Это потенциалы, в которых M. Voos. Phys. Rev. B, 29, 7042 (1984).

расстояние между уровнями размерного квантования [2] C. Delalande, M.H. Meynadier, M. Voos. Phys. Rev. B, 31, изолированных носителей быстро уменьшается с ростом 2497 (1985).

номера уровня. В этом случае волновая функция со[3] R.A. Sergeev, R.A. Suris, G.V. Astakhov, W. Ossau, ответствующей частицы будет состоять либо исключиD.R. Yakovlev. Eur. Phys. J. B, 47, 541 (2005).

тельно из функции основного состояния (соответствую[4] A.S. Bracker, E.A. Stinaff, D. Gammon, M.E. Ware, щее We или Wh 1), либо сразу из большого пакета J.G. Tischler, D. Park, D. Gershoni, A.V. Filinov, M. Bonitz, функций, отвечающих возбужденным состояниям (соF. Peeters, C. Riva. Phys. Rev. B, 72, 035 332 (2005).

ответствующее We или Wh 1), и переходная область [5] Л.Е. Голуб. ФТТ, 39 (10), 1871 (1997).

7 Физика и техника полупроводников, 2006, том 40, вып. 1380 М.А. Семина, Р.А. Сергеев, Р.А. Сурис [6] С.Д. Барановский, А.Л. Эфрос. ФТП, 12, 2233 (1978).

[7] S.D. Baranovskii, U. Doerr, P. Thomas, A. Naumov, W. Gebhardt. Phys. Rev. B, 48, 17 149 (1995).

[8] J. Christen, D. Bimberg. Phys. Rev. B, 42, 7213 (1990).

[9] V.I. Litvinov, M. Razeghi. Phys. Rev. B, 59, 9783 (1998).

[10] J.R. Haynes. Phys. Rev. Lett., 4, 361 (1960).

[11] B.V. Shanabrook, J. Comas. Surf. Sci., 142, 504 (1984).

[12] C.I. Harris, H. Kalt, P.O. Holtz, M. Sundaram, J.L. Merz, A.C. Cossard. Phys. Rev. B, 51, 13 221 (1995).

[13] A.V. Filinov, C. Riva, F.M. Peeters, Yu.E. Lozovik, M. Bonitz.

Phys. Rev. B, 70, 035 323 (2004).

[14] L.C.O. Dacal, R. Ferreira, G. Bastard, J.A. Brum. Phys. Rev.

B, 65, 115 325 (2002).

[15] A.L. Efros, C. Wetzel, J.M. Worlock. Phys. Rev. B, 52, (1995).

[16] C.Y.-P. Chao, S.L. Chuang. Phys. Rev. B, 43, 6530 (1991).

[17] W. Que. Phys. Rev. B, 45, 11 036 (1992).

Редактор Л.В. Беляков Localization of Electron-Hole Complexes on Interface Fluctuations of Quantum Wells M.A. Semina, R.A. Sergeev, R.A. Suris Ioffe Physicotechnical Institute, Russian Academy of Sciences, 194021 St. Petersburg, Russia

Abstract

The localization of two-dimensional electron-hole complexes on the attraction potential of arbitrary shape is studied theoretically. A general method of the simple and clear trial function construction for calculation ground state binding energy of such complexes is suggested. Limiting cases corresponding to different relations between characteristic parameters are analyzed.

The developed method is illustrated by particular calculations for the case of an exciton in two-dimensional quantum wells with an additional lateral confinement potential.

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.