WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика и техника полупроводников, 2006, том 40, вып. 11 Локализация электронно-дырочных комплексов на флуктуациях интерфейсов квантовых ям © М.А. Семина¶, Р.А. Сергеев, Р.А. Сурис Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия (Получена 15 марта 2006 г. Принята к печати 31 марта 2006 г.) Теоретически изучена локализация двумерных электронно-дырочных комплексов на потенциале притяжения произвольной формы. Предложен общий метод построения простых и наглядных вариационных функций для вычисления энергии связи основного состояния таких комплексов. Проанализированы предельные случаи, соответствующие различным соотношениям между параметрами, характеризующими изучаемую систему. Разработанный метод проиллюстрирован конкретными расчетами для экситона в двумерной квантовой яме с дополнительным латеральным потенциалом.

PACS: 73.21.Hb, 71.35.Gg 1. Введение связи электронно-дырочного комплекса, локализованного в плоскости квантовой ямы, пусть и с меньшей точноОптические свойства низкоразмерных полупроводни- стью, но простым и наглядным способом, применимым в ковых гетероструктур, вследствие их широкого практи- самом общем случае. Такой подход позволил бы понять ческого применения, активно исследуются теоретически строение комплекса и оценить величину его энергии и экспериментально. Особый интерес при этом представ- связи при произвольных параметрах локализующего ляют связанные состояния электронно-дырочных комп- потенциала без проведения трудоемкого расчета.

лексов (экситонов, X+- и X--трионов и т. д.), которые определяют особенности спектра структур вблизи ниж2. Выбор пробной волновой функции него края фундаментальной полосы поглощения. В узких квантовых ямах значительное влияние на эти комплексы Мы будем рассматривать узкие глубокие квантовые оказывают эффекты их локализации в плоскости квантоямы, движение носителей заряда в которых можно вой ямы на различных дефектах структуры — флуктуасчитать двумерным. Взаимодействие электронов и дыциях ширины ямы [1–5], неоднородностях состава [6–9], рок с дефектом будем характеризовать независимыми флуктуациях распределения встроенного заряда [10–12] двумерными одночастичными потенциалами притяжения и др. Так, например, энергия связи X-триона в узких произвольной формы для электронов Ue(re) и дырок глубоких квантовых ямах может оказаться даже больше, Uh(rh), где re и rh — двумерные координаты электрона чем в гипотетическом пределе двумерной структуры.

и дырки. Так, можно описывать, например, флуктуации Как правило, для вычисления энергии связи элект- ширины квантовой ямы [1,15] или ее состава [6,15].

ронно-дырочных комплексов применяются вариацион- Рассмотрим электронно-дырочный комплекс, состояные методы. В последнее время наиболее распростра- щий из Ne электронов и Nh дырок. Запишем в общем ненными из них являются методы, использующие проб- виде уравнение Шредингера для такой системы:

ные функции с большим количеством (порядка 1000) (re,..., re, rh,..., rh ) 1 Ne 1 Nh подгоночных параметров (см., например, [13,14]). С их помощью можно с очень высокой точностью найти не = E (re,..., re, rh,..., rh ), (1) 1 Ne 1 Nh только энергию комплекса, но и его волновую функгде гамильтониан цию. Однако большинство подобных методов отличается крайней громоздкостью, а физическая интерпретация = Te + Th + Vc + Ve + Vh. (2) полученных с их помощью результатов часто бывает Здесь Te и Th — оператор кинетической энергии элексильно затруднена. К тому же наибольшую эффектив тронной и дырочной подсистем; Vc — оператор полного ность эти методы проявляют при расчете конкретных кулоновского взаимодействия между носителями; Ve и структур с фиксированными параметрами. Если же тре Vh — потенциалы взаимодействия электронной и дырочбуется проследить зависимость энергии комплекса от ной подсистем с дефектом:

параметров структуры в широком диапазоне их значений Ne и выделить качественные закономерности, то точность Ve(re,..., re ) = Ue(re ), (3) 1 Ne i этих методов становится избыточной.

i=Поэтому было бы важно сконструировать пробную Nh волновую функцию, позволяющую вычислять энергию Vh(rh,..., rh ) = Uh(rh ).

1 Nh j ¶ E-mail: msemina@yahoo.com j=1374 М.А. Семина, Р.А. Сергеев, Р.А. Сурис Энергией связи электронно-дырочного комплекса будем составляющих его частиц, и в адиабатическом приблиназывать величину жении его волновая функция представляется в виде (0) (0) (R, 1,..., N +Nh-1) Eb = NeEe + NhEh - E, (4) e C.M. int (0) (0) = (R) (1,..., N +Nh-1), (7) e где Ee, Eh — энергии основного состояния изолированных электрона и дырки в потенциалах Ue(re) и Uh(rh), где R — координата центра масс, i а E — минимальная собственная энергия гамильто(i = 1... Ne + Nh - 1) — относительные координаты ниана (2), учитывающего кулоновское взаимодействие частиц в комплексе.

между носителями.

C.M.

Волновая функция центра масс комплекса, (R), Энергию связи Eb будем искать с помощью вариациявляется решением уравнения Шредингера с гамильтоонного метода. Для построения общего, но при этом нианом:

простого и наглядного метода необходимо сконструи C.M. = TC.M. + Ve(R) + Vh(R), (8) ровать пробную волновую функцию, удовлетворяющую следующим требованиям. Она должна:

где TC.M. — оператор кинетической энергии центра масс 1 — позволить вычислить энергию связи комплкекса комплекса. Потенциалы Ve(R) и Vh(R) суть потенциа с хорошей точностью при произвольных параметрах лы (3), взятые при rei, rhj R, так что Ve(R) =NeUe(R), потенциалов Ue,h(re,h);

Vh(R) =NhUh(R).

2 — обладать минимально возможным числом подго- Волновая функция относительного движения ночных параметров, которые должны иметь физический носителей в свободном двумерном комплексе, int прозрачный смысл; (1,..., N +Nh-1), является решением уравнения e 3 — иметь общий вид, не зависящий от конкретной Шредингера с гамильтонианом:

формы потенциалов Ue,h(re,h).

int = Tint + Vc(1,..., N +Nh-1), (9) Для построения пробной функции, отвечающей этим e требованиям, мы выделим предельные случаи соотно где Tint — оператор кинетической энергии относительшений между параметрами, характеризующими рассматного движения носителей.

риваемую систему, в которых вид волновой функции, Предельный случай 2. Выполнено хотя бы одно из описывающей комплекс с хорошей точностью, известен условий из общих соображений. Затем мы построим пробную функцию, обладающую минимальным числом подгоноч- We 1 (10) ных параметров и плавно переходящую между формами, или соответствующими выделенным предельным случаям.

Wh 1, (11) Введем следующие величины, характеризующие электронно-дырочный комплекс: Ec — типичная величит. е. либо взаимодействие электронов (выполнено (10)), на кулоновского взаимодействия между носителями; Ee либо дырок (выполнено (11)) с локализующим потенции Eh — характерные расстояния между уровнями разалом сильнее, чем кулоновское взаимодействие между мерного квантования невзаимодействующих электронов носителями.

и дырок в потенциалах Ue(re) и Uh(rh) соответственно.

Пусть выполнено условие (10), но не выполнено (11).

Соотношения между величинами Ec, Ee и Eh опреТогда электронная подсистема является „быстрой“ и деляют качественное строение комплекса. Для удобства описывается следующим гамильтонианом нулевого приобозначим их:

ближения:

Ee Ne We =, (5) Ec e = e1, (12) i i= Eh Wh =.

e1 = Te1 + Ue(re), (13) Ec Есть всего два качественно различных предельных слу- где Te1 — оператор кинетической энергии одиночного чая, в которых уравнение Шредингера (1) упрощается электрона. При этом волновая функция основного сои сводится к нескольким независимым уравнениям с стояния электронной подсистемы имеет следующий вид:

меньшим количеством частиц.

e e e (re,..., re ) = (re )... (re ), (14) Предельный случай 1. Выполнено условие 0 1 Ne 0 1 0 Ne e где (re) — собственная функция основного состояния We, Wh 1. (6) гамильтониана (13).

Тогда движение центра масс комплекса считается мед- Поскольку дырочная подсистема является „медленленным по сравнению с относительным движением ной“, ее эффективный гамильтониан получаем путем Физика и техника полупроводников, 2006, том 40, вып. Локализация электронно-дырочных комплексов на флуктуациях интерфейсов квантовых ям усреднения полного гамильтониана (2) по волновой Учитывая вышесказанное, мы вводим следующую функции (14): пробную функцию, которая с помощью всего одного подгоночного параметра позволяет осуществить плавNh e e ный переход между функциями (7) и (20) и объединить h = h1 + |Vc|, (15) i 0 предельные случаи 1 и 2 (нормировочную константу i=здесь и далее опускаем):

h1 = Th1 + Uh(rh). (16) (re,..., re, rh,..., rh ) 1 Ne 1 Nh Здесь Th1 — оператор кинетической энергии одиночной дырки.

C.M. int = (R) (1,..., N +Nh-1) e Отметим, что гамильтонианы (12) и (15) описывают электронную и дырочную подсистемы полностью неза- 1e h (re,..., re ) (rh,..., rh ). (21) 1 Ne 1 Hh висимо, так как волновая функция (14), входящая в гамильтониан (15), определяется исключительно харакЗдесь — подгоночный параметр, который имеет смысл теристиками одночастичного локализующего потенциамеры корреляции движения носителей различных типов:

ла Ue.

= 1 отвечает предельному случаю 1; = 0 соответВыполнение только условия (11) аналогичным обраствует предельному случаю 2.

зом позволяет разделить электронную и дырочную подОтметим, что, несмотря на то что волновые функсистемы. Тогда гамильтониан электронной подсистемы C.M. int e ции (R), (1,..., N +Nh-1), (re,..., re ) 1 Ne e Ne h и (rh,..., rh ) в общем случае нам неизвестны, 1 Hh h h e = e1 + |Vc|, (17) i 0 они не меняются при вариационной процедуре и при i=фиксированных параметрах системы вычисляются лишь где один раз. При этом эти функции являются решениh h h (rh,..., rh ) = (rh )... (rh ). (18) 0 1 Hh 0 1 0 Nh ем независимых друг от друга уравнений Шрединh гера для систем с меньшим, чем исходная, числом Здесь (rh) — собственная функция основного состочастиц. Следовательно, их нахождение является задаяния одночастичного гамильтониана (16). Гамильтониан чей принципиально меньшей сложности. Необходимым дырочной подсистемы будет следующим:

условием применимости пробной функции (21) слуNh жит существование локализованных волновых функh = h1. (19) C.M. int e i ций (R), (1,..., N +Nh-1), (re,..., re ) и 1 Ne e i=h (rh,..., rh ) при любых значениях параметров, ха1 Nh В случае, если условия (10) и (11) выполнены од- рактеризующих потенциалы Ue,h(re,h).

новременно, кулоновcким взаимодействием между ноСледующая пробная функция с четырьмя подгоночсителями можно пренебречь и координаты электронной ными параметрами, также обеспечивая плавный переход и дырочной подсистем снова разделяются. Тогда элекмежду предельными случаями 1 и 2, обладает значитронная подсистема описывается гамильтонианом (12), тельно более высокой точностью и будет использоваться а дырочная — гамильтонианом (19).

для проверки точности функции (21):

Покажем, что при выполнении условия (10) гамильтониан электронной подсистемы (17) переходит в (12).

(re,..., re, rh,..., rh ) 1 Ne 1 Nh Действительно, выполнение данного условия означает, R C.M. int что Ec мало по сравнению с Ee и вторымчленомв (17) = (R) (1,..., N +Nh-1) e можно пренебречь. Таким образом, гамильтониан (17) e h e h (re,..., re ) (rh,..., rh ). (22) описывает электронную подсистему как при выполне1 Ne 1 Nh нии (10), так и при выполнении (11). Аналогичным обраФункция (22) является удобной для сравнения зом дырочная подсистема в обоих случаях описывается с функцией (21), так как волновые функции гамильтонианом (15).

C.M. int e (R), (1,..., N +Nh-1), (re,..., re ) и В результате, если хотя бы одна из величин We или 1 Ne e h Wh 1, переменные в гамильтониане (2) можно эф- (rh,..., rh ), входящие в ее состав, уже найдены 1 Nh фективно разделить, а волновую функцию электронно- при расчете с функцией (21). Подгоночные параметры в функции (22) также имеют ясный физический смысл: e дырочного комплекса представить в виде и h характеризуют независимое квантование подсистем (re,..., re, rh,..., rh ) 1 Ne 1 Hh электронов и дырок, а и R — электронно-дырочный комплекс как целое.

e h = (re,..., re ) (rh,..., rh ), (20) 1 Ne 1 Nh Далее, в разд. 3 мы продемонстрируем применимость e где электронная функция (re,..., re ) — решение функций (21) и (22) на простейшем примере экси1 Ne уравнения Шредингера с гамильтонианом (17), а дыроч- тона, локализованного в параболическом потенциале.

h ная функция (rh,..., rh ) — с гамильтонианом (15). В разд. 4 обсудим, как зависит строение экситона от 1 Nh Физика и техника полупроводников, 2006, том 40, вып. 1376 М.А. Семина, Р.А. Сергеев, Р.А. Сурис C.M. int параметров локализующего потенциала. И в разд. 5 центра масс (R) и внутреннего движения () обсудим точность пробных функций (21) и (22) в случае соответственно равны локализующего потенциала непараболической формы.

( + 1)3/C.M.

(R) =exp - We2 + Wh R2, (28) 3. Экситон, локализованный int () =exp[-2]. (29) в параболическом потенциале e Волновая функция (re) является решением следующеРассмотрим двумерный экситон, локализованный в го уравнения Шредингера:

изотропном параболическом потенциале. Носители заряда будем рассматривать в приближении эффективe - + Ue(re) + ce(re) - Ee (re) =0, (30) ной массы, которая считается изотропной, а законы e + дисперсии электронов и дырок — параболическими.

В качестве единиц измерения энергии и длины выбегде эффективный кулоновский потенциал для электрорем энергию связи свободного трехмерного экситона нов Ry = µe4/22 и трехмерный эффективный боровский h h ce(re) = (rh) - (rh).

2 0 радиус aB = /µe2, где µ = memh/(me + mh) —при|re - rh| веденная масса, e — заряд электрона, — диэлекЗдесь волновая функция трическая постоянная, me и mh — эффективные массы электрона и дырки. В качестве Ec естественно выбрать 4 1 h энергию кулоновского взаимодействия между электро (rh) = 1 + Wh exp - 1 + Whr2 (31) 0 h ном и дыркой в свободном двумерном экситоне Ec = (например, [16]), а Ee и Eh выбираются равными есть функция основного состояния изолированной дыррасстояниям между уровнями размерного квантования ки в потенциале Uh(rh). Аналогичным образом волновая изолированных электронов и дырки в параболических h функция (rh) является решением следующего уравнепотенциалах Ue(re) и Uh(rh).

ния Шредингера:

Обезразмеренный гамильтониан (2) для двумерного экситона имеет следующий вид:

h - + Uh(rh) + ch(rh) - Eh (rh) =0, (32) h + 1 = - - e h + 1 + 1 |re - rh| e e ch(rh) = (re) - (re), 0 |re - rh| + Ue(re) +Uh(rh), (23) где где = me/mh — отношение масс электрона и дырки.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.