WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика и техника полупроводников, 2000, том 34, вып. 11 Нелинейная теория когерентной генерации резонансно-туннельного диода в широком интервале частот © В.Ф. Елесин, И.Ю. Катеев, А.И. Подливаев Московский государственный инженерно-физический институт (Технический университет), 115409 Москва, Россия (Получена 25 февраля 2000 г. Принята к печати 17 мая 2000 г.) Найдены численные решения уравнения Шредингера с открытыми граничными условиями, позволяющие описать когерентную генерацию резонансно-туннельного диода в широком интервале частоты и амплитуды полей. В линейном по полю приближении и адиабатическом пределе численные результаты совпадают с аналитическими результатами с высокой точностью. Найдена мощность генерации в зависимости от тока и параметров резонансно-туннельного диода. Показано, что в квантовом режиме возможна генерация большой мощности на частотах, превышающих ширину уровня, т. е. в терагерцовом диапазоне.

1. Введение электрическое поле E(t) с потенциалом v(x, t):

v(x, t) =v(x) cos t, (1) Высокочастотные генераторы на резонансно-туннельных диодах (РТД) считаются перспективными. В раeE0x(x), x < a, v(x) = (2) боте [1] была достигнута генерация вплоть до частот eE0a, x > a.

712 ГГц. Однако широкое применение генераторов на Волновая функция (x, t) подчиняется уравнению РТД задерживается сравнительно низкими достигнутыми Шредингера мощностями и частотами. Пути повышения мощности и частоты генерации остаются неясными, что связано, 2 2 i = - +[(x) +(x - a)](x, t) в частности, с проблемами теоретического описания.

t 2m x2 Несмотря на сравнительно небольшое число работ, оста+ v(x, t)(x, t). (3) ются нерешенными вопросы описания зависимости мощности генерации от частоты и параметров РТД.

Переменное поле вызывает ток поляризации В работе [2] в рамках простой аналитической модели было найдено точное выражение для зависимости коэфie (x, t) (x, t) Jc(x, t) =- (x, t) - (x, t) фициента усиления от частоты, но в линейном по полю x x приближении. В этой же работе проведен анализ полу Jc(x) cos t + Jk cos kt. (4) ченных результатов в ранее опубликованных статьях (см.

k=также обзор [3]).

Цель настоящей работы — описать когерентную геПриведенный ток вычисляется согласно [5] как нерацию РТД в широком интервале частот и амплитуд a полей с помощью численного решения уравнения Шре- Jc = Jc(x)dx. (5) дингера с открытыми граничными условиями.

a Граничные условия к уравнению получим, следуя [2].

2. Постановка задачи. Основные В предположении малости частоты и амплитуды поуравнения. Методика численного решения Разработанная программа позволяет в принципе рассмотреть широкий спектр моделей когерентной генерации РТД. В настоящей работе мы изучим простую модель, использованную в [2]. Это позволит провести тестирование программ, сравнение с точными аналитическими результатами [2,4], а также получить новые данные, которые наиболее просто интерпретировать.

Итак, следуя [2], рассмотрим одномерную квантовую яму (КЯ) с барьерами в виде -функции в точках x = и x = a (см. рис. 1). Слева (x = -) к КЯ подводится стационарный поток электронов, пропорциональный q2, с энергией, приблизительно равной энергии резонансРис. 1. Квантовая структура с -барьерами в точках x = 0 и ного уровня R. В области КЯ действует переменное x = a.

1374 В.Ф. Елесин, И.Ю. Катеев, А.И. Подливаев тенциала eEa по сравнению с энергией электрона R получим (0, t) it (0, t) 1 - + = q exp -, ip ip (a, t) (a, t) 1 - - = 0, p2 =. (6) ip ip Граничное условие (6) описывает поток электронов слева, пропорциональный q2, их отражение и уход в область x > a. Следует отметить, что параметры КЯ выбираются так, чтобы полуширина резонансного уровня была мала по сравнению с R.

Основным фактором, определяющим накопление ошибки численного решения задачи (1), является наличие двух процессов, протекающих с принципиально различными характерными временами — временем изменения фазы волновой функции и временем изменения внешнего потенциала. В нашем алгоритме задача нормализуется следующей заменой искомой волновой Рис. 2. Зависимость динамической проводимости Jc/eEa от функции на функцию : (x, t) =(x, t) exp(-it/ ).

частоты при оптимальном режиме генерации. Сплошная лиРешение задачи для ищется методом прогонки (станния — численный расчет, штриховая — аналитическая теория.

дартным методом решения уравнения Шредингера [6]) на дискретной сетке с шагом по координате dx = L/и шагом по времени dt 2/200.

3. Линейная теория когерентной генерации В [2] было найдено решение уравнения (3) с граничными условиями (6) в линейном по полю приближении, а также выражение для тока Jc 4Jc Jc(, ) = e2EaQ = -, (7) [( - )2 +2][( + )2 +2] 4p = - R, =, Q = q2p.

2a Здесь — полуширина резонансного уровня, Q —ток накачки моноэнергетических электронов. С помощью (7) в [2] был сделан анализ зависимости коэффициента усиления (поглощения) Jc от частоты и расстройки Рис. 3. Зависимость динамической проводимости Jc/eEa от. Было показано, что в зависимости от отношения частоты при квантовом и классическом режиме генерации.

/ возможны два режима генерации: классический и Сплошная линия — численный расчет, штриховая — аналиквантовый. При / < 1 (классический режим) Jc имеет тическая теория.

максимум при = 0, причем наибольшее усиление достигается, если =/ 3 (см. рис. 2). В квантовом режиме (/ > 1) усиление максимально при частоте Следовательно, если выбрать расстройку =, т. е.

(рис. 2) вне области максимальной отрицательной дифференциm = 2 - 2. (8) альной проводимости (ОДП), то возможна генерация на Новый максимум Jc соответствует квазирезонансным частоте, превосходящей. На рис. 2 и 3 приведены зави переходам между состояниями R и, так как при симости Jc(/) для = 4, = 0.9 и =(1/ 3), равенство (8) дает условие ”квазирезонанса” = -R. найденные аналитически с помощью (7) и численно.

Физика и техника полупроводников, 2000, том 34, вып. Нелинейная теория когерентной генерации резонансно-туннельного диода... Рис. 4. Зависимость динамической проводимости Jc/eEa от амплитуды переменного электрического поля: a — при классическом режиме генерации, b — при квантовом режиме генерации. Сплошная линия — численное решение, штриховая линия — аналитическое решение.

Рис. 5. Зависимость генерируемого поля eEa/ от безразмерного тока накачки Q: a — при классическом режиме генерации, b — при квантовом режиме генерации. Qc1 и Qc2 — токи возникновения и срыва генерации соответственно. Сплошная линия — численное решение, штриховая — аналитическое решение.

Физика и техника полупроводников, 2000, том 34, вып. 1376 В.Ф. Елесин, И.Ю. Катеев, А.И. Подливаев Рис. 6. Зависимость динамической проводимости Jc/eEa от амплитуды переменного электрического поля: a — при классическом режиме генерации, b — при квантовом режиме генерации.

Нетрудно видеть, что аналитические и численные резуль- Для нахождения поля генерации РТД нужно вырататы совпадают с высокой точностью. Сравнение было жение для тока (9) подставить в уравнение для поля выполнено также для целого ряда других зависимостей. (см. [2,4]):

Оно продемонстрировало отличное согласие. Очевидно, E0 можно считать совпадение результатов хорошим тестом = Jc, (11) правильности численной программы.

где 0 — время, характеризующее потери в резонаторе, — диэлектрическая проницаемость.

4. Нелинейная теория генерации в адиабатическом пределе В работе [4] одного из авторов удалось построить нелинейную теорию когерентной генерации РТД в адиабатическом пределе. В этом случае усиление Jc имеет вид [4] x2 + y2 - x Jc = -, (9) 22 x2 + yгде 2(2 - 2) 22 eEa x = 1 +, y =, =. (10) (2 + 2)2 (2 + 2)2 Зависимости Jc от безразмерного поля eEa/ изображены на рис. 4, a ( = 0.9) и 4, b ( = 4). Видно, что ход зависимости Jc принципиально различается для классического (/ < 1) и квантового (/ > 1) режимов.

В первом случае усиление монотонно падает с ростом поля. В квантовом режиме вначале наблюдается рост Jc, а после достижения максимума — падение усиления.

Такое поведение приводит к радикальным особенностям Рис. 7. Зависимость поля, при котором существует генерация, генерации РТД в квантовом режиме (см. далее).

от тока накачки.

Физика и техника полупроводников, 2000, том 34, вып. Нелинейная теория когерентной генерации резонансно-туннельного диода... Рис. 8. Зависимость поля, при котором существует генерация, от тока накачки. a — при малых значениях частоты и параметра расстройки, b — при больших значениях частоты и параметра расстройки.

Уравнение (11) дает возможность найти поле (и мощ- отчетливо следует из рис. 7. Действительно, видно, что ность) генерации в зависимости от Q = -1/Jc, при Q 0.1 поле в квантовом режиме ( = = 4) Q = 40eaQ/ и параметров РТД. На рис. 5, a значительно превосходит поле в классическом режиме ( = 0.9) и5, b ( = 4) приведена зависимость eEa/ ( = 0.9, = 0.17). Таким образом, квантовый от Q. Видно, что в классическом случае РТД проявляет режим позволяет получать большие мощности на вымягкий режим генерации. Если / > 1, то наблюдается соких частотах. Зависимости поля от Q для широкого жесткий режим, когда генерация начинается скачком при набора параметров приведены на рис. 8, a и b. Их анализ некотором критическом значении Qc1. При уменьшении позволяет провести оптимизацию режимов генерации, Q генерация срывается при Qc2 < Qc1, т. е. имеет место гистерезис. На рис. 4, 5 приведены также результаты численных решений для адиабатического предела при = 0.17. Видим снова совпадение аналитических и численных зависимостей с высокой точностью, демонстрирующей правильность программы и в нелинейной теории.

5. Нелинейная теория генерации в широком интервале частот В наиболее интересном интервале частот R нам неизвестны как аналитические, так и численные данные о зависимости усиления Jc от амплитуды поля.

Разработанная нами программа позволяет получить эти данные. На рис. 6, a и b приведены типичные зависимости усиления Jc от поля при добавочном условии квазирезонанса =. Видны две особенности этого набора кривых. Во-первых, монотонное падение Jc с полем. Во-вторых, скорость падения усиления с полем уменьшается с ростом частоты. Отмеченный принципиальный результат означает, что в квантовом режиме при выполнении условия квазирезонанса достигаются Рис. 9. Зависимость второй гармоники тока от амплитуды гораздо большие поля, чем в классическом режиме. Это поля.

7 Физика и техника полупроводников, 2000, том 34, вып. 1378 В.Ф. Елесин, И.Ю. Катеев, А.И. Подливаев Важный вывод состоит в том, что в квантовом режиме возможна генерация большой мощности на частотах, превышающих ширину уровня, т. е. в терагерцовом диапазоне.

Программа допускает обобщение на более реалистические модели, учитывающие, в частности, реальные барьеры, энергетическое распределение электронов, эффекты накопления заряда, учет постоянного внешнего поля и др.

Авторы благодарны Ю.В. Копаеву за полезное обсуждение работы. Работа выполнена в рамках Федеральной целевой программы ”Интеграция” (проект № АО133) и при поддержке Министерства науки РФ, программа ”Физика твердотельных наноструктур” (проект № 991140).

Приложение Калибровка на модельной задаче Программа проверялась сравнением численных результатов с точным аналитическим решением модельной Рис. 10. Зависимость третьей гармоники тока от амплитуды задачи с потенциалом v(x, t). Пусть потенциал v(x, t) поля.

имеет следующий вид:

U1 + U2, x (0, L), v(x, t) = U3 (П1) находя наиболее подходящие соотношения между поро0, x (0, L), / гом, полем и частотой генерации.

где 6. Поведение высших гармоник dB x U1 = i cos2 exp(-ikx) dt 2L Из-за присущей РТД нелинейности возможна генеdC x рация высших гармоник, т. е. появление токов, изме+ sin2 exp(ikx), няющихся с частотами, кратными k, k = 2, 3....

dt 2L Представляется интересным рассчитать величину и знак соответствующих токов. 2 1 x U2 = - sin На рис. 9 и 10 приведены зависимости второй (J2) и 2m L t t L третьей (J3) гармоник от поля для набора параметров.

Интересно отметить, что ток J3 для низкой частоты x + (2 - 1) cos, всегда положителен, в то время как J2 изменяет знак с 2L L полем и становится отрицательным. На рисунках отложеx x ны также аналитические результаты для адиабатического U3 = 1 cos2 + 2 sin2, предела [4]. В квантовом режиме J2 и J3 отрицательны, 2L 2L но невелики по абсолютной величине.

A C(t) = 1 + cos2(0t) exp(-0t), 7. Заключение B(t) =A - C(t), Таким образом, разработанная программа решения 1 = A exp(ikx) +B(t) exp(-ikx), уравнения Шредингера с открытыми граничными условиями позволила описать когерентную генерацию РТД 2 = C(t) exp(ikx), 0(x) =A exp(ikx), в широком интервале частоты и амплитуды полей.

2mE В линейном приближении и адиабатическом пределе k =, A = 1, численные результаты совпадают с высокой точностью с точными аналитическими результатами работ [2,4].

E = 82 мэВ, L = 40, m = 0.042me, В нелинейном приближении и для широкого интервала частот получены новые данные, позволяющие установить где me — масса свободного электрона. Решение уравзависимость поля генерации от тока и параметров РТД. нения (3) с потенциалом (П1) при 0(x) = A exp(ikx) Физика и техника полупроводников, 2000, том 34, вып. Нелинейная теория когерентной генерации резонансно-туннельного диода... Рис. 11. Зависимость модуля волновой функции || от времени t (a) и координаты x (b) ( t0 = 5 · 1013 с — время, при котором максимально) для = 1013 Гц (max = 3 · 10-3). Штриховая линия — численный расчет, сплошная — аналитическая теория.

определяется следующим выражением: [4] V.F. Elesin. Phys. Low-Dim. Structur. (1999) (в печати).

[5] В.И. Сафорев. Радиоприемные устройства (М., Наука, 1954).

x < 0, 1 exp(-it), [6] А.А. Самарский, Е.С. Николаев. Методы решения сеточ 1 cos2 (x/2L) ных уравнений (М., Наука, 1978) с. 83.

teor(x, t) = + sin2 (x/2L) exp(-it), 0 x L, Редактор В.В. Чалдышев 2 exp(-it), x > L, A nonlinear theory of a coherent E generation in the resonant tunneling =.

diodes within a broad frequency range Аналитически и численно определенные зависимости V.F. Elesin, I.Yu. Kateev, A.I. Podlivaev модуля волновой функции || от времени t и координаты Moscow State Engineering-Physics Institute x при разной величине 0 изображены на рис. 11. Из (Technical University), рисунка следует достаточно высокая точность решения 115409 Moscow, Russia задачи. Погрешность численного решения определяется параметром

Abstract

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.