WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика и техника полупроводников, 2006, том 40, вып. 11 Электропроводность квантовых проволок в однородном магнитном поле © Э.П. Синявский¶, Р.А. Хамидуллин Институт прикладной физики Академии наук Молдовы, МД-2028 Кишинев, Молдова (Получена 29 декабря 2005 г. Принята к печати 6 марта 2006 г.) Исследуются особенности статической электропроводности в квантовых проволоках в продольном и поперечном магнитном поле для вырожденного и невырожденного электронного газа. Расчет электропроводности проводится по формуле Кубо с учетом процессов упругого рассеяния носителей на длинноволновых колебаниях решетки. Конечные теоретические результаты для проводимости сравниваются с экспериментальными данными. В частности, предлагаемая модель проводимости квантовой проволоки позволяет объяснить немонотонное поведение поперечного магнетосопротивления от величины магнитного поля.

PACS: 72.15.Gd, 72.15.Qm, 73.63.Nm 1. В последние годы интенсивно исследуются процес- локах в продольном и поперечном магнитном полях, сы электропроводности в квантовых проволоках (КП) в исходя из формулы Кубо для электропроводности. Для присутствии однородного магнитного поля. Эксперимен- простоты рассматривается случай упругого рассеяния тальное изучение явлений переноса в нанопроволоках носителей на длинноволновых акустических колебаниях решетки. При этом используется модель КП с параполуметалла Bi является очень перспективным, так как болическим потенциалом в плоскости, перпендикулярв них, во-первых, длина свободного пробега достаточно велика (при низких температурах она может быть зна- ной оси размерно-квантованной системы. Такая модель очень часто применяется при расчетах кинетических чительно больше радиуса КП) и, во-вторых, очень малы коэффициентов в нанопроволоках [8,10] и находит свое эффективные массы носителей, что увеличивает эффект теоретическое обоснование [12].

размерного квантования. Экспериментальные исследо2. Расчет тензора электропроводности, справедливый вания температурной зависимости подвижности (или для низкоразмерных систем с произвольным видом сопротивления) в чистых и легированных Tl нанопровопотенциала, проводится по формуле Кубо с испольлоках Bi проводились в работах [1–5] в широкой области зованием куммулянтного усреднения по колебательной температур. Особый интерес представляют исследоваподсистеме, как это делалось в работе [13]:

ния кинетических явлений в квазиодномерных системах в присутствии однородного магнитного поля H. Это exx = (px )2 n(1 - n), (1) связано с тем, что процессы переноса могут заметным Vm2k0T x образом изменяться в зависимости от величины отно где 1/ определяет вероятность рассеяния носителей шения радиуса КП R0 к магнитной длине R = c /eH.

в единицу времени на колебаниях кристаллической реИзучение особенностей сопротивления в простых КП шетки; n — равновесная функция распределения для Bi в однородном магнитном поле различной ориентации заряженных частиц, состояние которых определяется проведено в экспериментальных работах [1,2,4,6]. Окаквантовыми числами ; px — матричный элемент залось, что при малых значениях напряженности маг- оператора обобщенного импульса; V — объем системы;

нитного поля (R0/R)2 < 1 магнетосопротивление в проmx — масса носителя в направлении оси КП (оси 0x);

дольном магнитном поле растет пропорционально H2.

k0 — постоянная Больцмана; T — температура.

В поперечных магнитных полях магнетосопротивление Заметим, что в продольном магнитном поле отличен может с ростом H носить немонотонный характер и от нуля только диагональный матричный элемент опесущественно зависит от направления H относительно ратора обобщенного импульса. В случае поперечного кристаллографических осей C2 и Cs [6]. При этом в магнитного поля матричный элемент обобщенного имотносительно тонких нанопроволоках (диаметром 46 нм) пульса имеет как диагональные элементы (это возможно такое поведение в Bi не наблюдается [2]. Теоретичетолько в размерно-квантованных системах), так и недиаские расчеты электропроводности в КП проводились гональные по осцилляторному размерно-магнитному с использованием решения кинетического уравнения (гибридному) квантовому числу элементы, которые при Больцмана [7–9]. Время релаксации рассчитывалось с разумных параметрах КП дают незначительный вклад в учетом рассеяния носителей на мелких и глубоких поперечную электропроводность [13]. Вследствие этого примесях, упругого и неупругого рассеяний на акустипоперечная электропроводность в нанопроволоках всегческих и оптических фононах [7–11]. В данной работе да значительно больше, чем в объемных материалах.

проводится расчет электропроводности в нанопровоПри больших магнитных полях (H 80 кЭ), как показы¶ E-mail: kanjey@mail.ru вают экспериментальные исследования [6], поперечное Электропроводность квантовых проволок в однородном магнитном поле магнетосопротивление в проволоках Bi диаметром 75 нм Для нижайшего электронного состояния (n1 = n2 = 0) значительно меньше, чем в этих системах диаметром время релаксации, согласно (2), принимает вид 350 нм, т. е. фактически объемных материалах.

1 1 + exp(-0k2) x Рассмотрим рассеяние носителей на длинноволновых =. (7) |kx | колебаниях. В приближении упругого рассеяния при q/k0T 1 ( q — энергия акустических фононов с Здесь введены следующие обозначения:

волновым вектором q) нетрудно получить E1 k0Tmx my = (1 + )5/4, 0 =.

2v2 4 mx (1 + )3/1 2E1 k0T = dr |(r)|2 |(r)|2(E - E). (2) vЕсли подставить (7) в (1) и провести интегрирование по kx (px = kx /(1 + )), то можно получить искомое Здесь E1 — константа деформационного потенциала; выражение для поперечной электропроводности. Для v — скорость звука в исследуемом материале плот- невырожденного электронного газа она определяется соотношением ностью ; (r) и E — соответственно волновые функции и собственные значения энергии носителя в КП 4nee2 v2 nd в присутствии магнитного поля.

xx (H) = (1 + )-7/4 I(), (8) E1 mxmy mx k0T В частности, в отсутствие магнитного поля волновые функции в цилиндрической нанопроволоке радиуса R0 с где ne — концентрация носителей, бесконечным потенциалом известны [14] и определяются через функции Бесселя, а собственные значения равны xe-x 4k0T I() = dx, =.

1 + e-x (1 + )1/ Enm = (nm)2 (3) 2mx RДля вырожденного электронного газа электропроводность принимает вид (nm — n-й корень функции Бесселя m-го порядка Jm(z )).

8e2 v2 d Для нижайшего электронного состояния с учетом (2) xx (H) = (1 + )-5/4, (9) E1 mx mySk0T 1 + e1 4E1 k0Tmx = F10, (4) v2 R2 |kx | 1 =, = - 1 +(1 + )1/2, (1 + )1/2 10 где — химический потенциал, — химический потенциал, отсчитываемый от дна нижайшей зоны КП в F10 = J0( ) d, (10)2[J1(10)]4 поперечном магнитном поле, S — площадь сечения КП.

Соотношение (9) справедливо, если учесть, что при kx — компонента волнового вектора носителя. Для невысоких температурах нижайшего состояния 10 2.4, F10 1 и (4) совпадает E - с известными результатами работы [7]. n(1 - n).

k0T 3. В поперечном магнитном поле H 0z, если поХимический потенциал, если рассматривать нижайтенциал КП описывается в плоскости y0z круговым шее состояние, вычисляется обычным способом [16] и параболоидом определяется соотношением my2 ( neS)2 V (y, z ) = (y2 + z )(5) = =, (10) 8mx (1 + ) 1 + (для простоты считаем, что эффективные массы носите0 — химический потенциал, отсчитыаемый от дна лей вдоль осей 0z, 0y одинаковы и равны my), волновые нижайшей зоны КП в отсутствие магнитного поля.

функции могут быть найдены по аналогии с [15], а Заметим, что при = 0 соотношения (8), (9) описобственные значения имеют вид сывают электропроводность в КП в рассматриваемой модели в отсутствие магнитного поля. Согласно (8) для k2 1 x невырожденного электронного газа E = + n1 + + n2 +, (6) 2mx (1 + ) 2 2nee2 v2 nd xx (0) =. (11) eH 1 my 2 eH E1 mxmy mx k0T =, 2 = 2 + y, y =, c mx my2 mx myc Уменьшение электропроводности (следовательно, и погде c — скорость света в вакууме, — шаг размерного движности) с ростом T в КП Bi различного диаметквантования. ра наблюдалось в области T > 10 K в работах [1,2,5].

Физика и техника полупроводников, 2006, том 40, вып. 1370 Э.П. Синявский, Р.А. Хамидуллин квантованной зоны (1), то с ростом H ПМС возрастает (кривая 3, рис. 2), зона (2) поднимается и при (1 + )1/2 (дно зоны (2) касается химического потенциала) возникает максимум ПМС ( 0.46).

При дальнейшем увеличении магнитного поля дно зо ны (2) проходит через химический потенциал, вероятность рассеяния 1/ уменьшается и сопротивление КП резко падает, достигая минимального значения. Заметим, что максимум ПМС тем отчетливее, чем больше 0, а величина минимума ПМС тем больше, чем ближе 0 к дну первой размерно-квантованной зоны (1) в отсутствие магнитного поля. Последующее увеличение магнитного Рис. 1. Зависимость энергии электронов в квантовой провополя приводит к уменьшению химического потенциала локе в поперечном магнитном поле от волнового вектора.

и в соответствии с (9) к уменьшению электропроводности, т. е. монотонному росту ПМС. Именно такая зависимость ПМС от H экспериментально наблюдалась в нанопроволоках Bi при H C2 [6].

В случае, когда химический потенциал в отсутствие магнитного поля совпадает либо чуть ниже дна первой размерно-квантованной зоны (0 ), при малых H имеется область отрицательного магнетосопротивления (до нескольких десятков процентов) последующее увеличение H приводит к росту ПМС (кривая 2 на рис. 2).

Такое поведение поперечного магнетосопротивления экспериментально наблюдалось в КП Bi при H Cs [6].

ВКПмалого диаметра (d 48 нм) размерное квантование оказывается большим и химический потенциал в отсутствие магнитного поля может находиться в нулевой квантованной зоне. С ростом магнитного поля химический потенциал уменьшается, а ПМС монотонно увеличивается (кривая 1 на рис. 2 получена при 0 = 0.6 ).

Именно монотонный рост ПМС экспериментально наРис. 2. Зависимости поперечного магнетосопротивления от магнитного поля H. Кривые 1,2,3 получены соответственно для блюдался в нанопроволоках Bi малого диаметра [2].

0 = 0.6, 0 =, 0 = 1.1. =(eH/c)2/mxmy2, — 4. Вычислим электропроводность в КП с потенцишаг размерного квантования квантовой проволоки.

алом (5) в продольном магнитном поле. Волновая функция для носителя в КП рассматриваемой модели легко вычисляется по аналогии с [17] и определяется соотношением При увеличении диаметра КП (соответственно уменьшении ) происходит увеличение подвижности, на что x eik x eim |m|/указывалось в работе [7] при исследовании явлений (r) =A e-/2 W a, |m| + 1,. (12) 2Lx переноса в кремниевых КП.

Как непосредственно следует из (8), (9), относиЗдесь тельное изменение поперечного магнетосопротивления (ПМС) нанопроволок R(H)-R(0) /R(0) (R(0) — со2 =, 2 = y2 + z, 2 = 1 +, противление КП при H = 0) от величины магнитного 2R2 y поля носит немонотонный характер. Для исследования особенностей ПМС от величины магнитного поля расA — нормировочная константа, W (a, b, ) — функция смотрим три электронные зоны согласно (6) (рис. 1).

Куммера, a определяется из граничных условий, Lx — Нижняя парабола (0) соответствует нижайшему состодлина КП в направлении 0x.

янию (n1 = n2 = 0), парабола (1) описывает первую Собственные значения энергии:

размерно-квантованную зону (n1 = 0, n2 = 1) и парабола (2) описывается квантовыми числами n1 = 1, n2 = 0.

k2 y y x E = + m + (|m| + 1 - 2a).

Заметим, что в отсутствие магнитного поля ( = ) 2mx 2 размерно-квантованная зона (1) двукратно вырождена.

Если химический потенциал в отсутствие магнит- Обратное время релаксации, согласно (2), с учетом ного поля 0 находится выше дна первой размерно- упругого рассеяния носителей на длинноволновых колеФизика и техника полупроводников, 2006, том 40, вып. Электропроводность квантовых проволок в однородном магнитном поле баниях в одной размерно-квантованной зоне записывает- В рассматриваемом случае для нижайшей размернося в виде квантованной зоны (n = m = 0) 1 =, (13) E1 mxk0T |kx | 0 = p =, (18) 2v2 R2E1 mx k0TLx = dr |(r)|4.

и продольная (p) электропроводность принимает вид v2 8e2v2 RЕсли подставить (2) в (13), то нетрудно получить p xx = ln(1 + e 0). (19) E1mx RE1mx k0T B(q) =. (14) Продольная электропроводность с ростом магнитного v2 R2 [C(q)]поля монотонно убывает.

Здесь введены следующие обозначения:

При небольших значениях напряженности магнитно го поля (q < 1) функцию Куммера можно разложить R0 по функциям Бесселя [19]. В цилиндрической КП с q =, R бесконечным потенциалом ( = 0) = 1. Собственные q значения E для нижайшего состояния с учетом (3) с 2|m| точностью до H2 определяются соотношением B(q) = W (a, |m| + 1, ) e-2 d, k2 ( y )x E = + E10 + (10)2 - 2.

2mx 48Eq |m| Электропроводность в нижайшей размерно-кванC(q) = W (a, |m| + 1, ) e- d.

тованной зоне КП с точностью до H4 записывается в виде Если подставить (13) в (1) и проинтегрировать по R2 2 R2 kx, то продольная электропроводность для нижайшей 0 xx xx(0) 1 - 0.057 + 0.052, (20) R2 Rразмерно-квантованной зоны (соответствующее значение a = 0) принимает вид где e2 v xx(0) = ln(1 + e 0) 4e2k0T E1 mx xx = ln 1 + e 0. (15) 2 R— электропроводность в отсутствие магнитного поля.

Как следует из (20), при (R0/R)2 < 1 третье слагаемое Здесь учтено, что значительно меньше второго и поправка к электропроводности практически пропорциональна квадрату напряn =, px = kx, 0 = 1/k0T.

1 + exp[(E - )/k0T ] женности магнитного поля. Именно такая зависимость экспериментально наблюдалась в широкой области темВ частности, для невырожденного (nd) электронного ператур (T > 10 K) в нанопроволоках Bi [1,2]. Согласгаза 2ne R2 но (20), магнетосопротивление равно e 0 = 2mx k0T R(H) 0.057Rи, 1/R(0) R2e2ne nd xx =. (16) что согласуется с экспериментальными данными для КП 0 mxдиаметром 36 нм [2].

Для вырожденного (d) электронного газа e 0 1 и 5. Таким образом, рассмотренная выше модель КП в однородном магнитном поле различных ориентаций при 4ed xx 0. (17) 2 учете взаимодействия носителей с длинноволновыми 2 Rрешеточными колебаниями качественно объясняет эксЕсли q 1, т. е. радиус КП R0 значительно больше периментальные данные по электропроводности в КП Bi.

магнитной длины R, и высота параболического потенВ области низких температур T < 5 K при сравнении циала КП такова, что в ней находится много размернотеории с экспериментальными результатами необходимо квантованных уровней [15], то волновая функция везде учитывать рассеяние носителей на примесях в легироконечна, если a = -n [18]. Тогда ванных КП и на поверхности исследуемой размерноквантованной системы. Последнее обстоятельство моn!|m|! W (-n, |m| + 1, ) = L|m|( ), n жет оказаться очень важным в присутствии магнитного (n + |m|)! поля, когда магнитный радиус соизмерим с радиусом k2 y m y квантовой проволоки.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.