WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика и техника полупроводников, 2005, том 39, вып. 11 Межзонное поглощение света в размерно-ограниченных системах в однородном электрическом поле © Э.П. Синявский¶, С.М. Соковнич, Р.А. Хамидуллин Институт прикладной физики Академии наук Молдавии, MD-2028 Кишинев, Молдавия (Получена 9 декабря 2004 г. Принята к печати 15 марта 2005 г.) Предложен простой метод расчета коэффициента межзонного поглощения света в однородном электрическом поле, позволяющий из самых общих соотношений исследовать особенности электропоглощения в широком классе полупроводниковых систем. Развитый метод применен к исследованию электропоглощения в двумерных системах с различным профилем одномерного потенциала, в квантовых ямах и сверхрешетках в магнитном поле.

При исследовании межзонного поглощения света в в виде полупроводниковых системах в однородном электриче2 4e2 Pcv c v ском поле общепринятым является использование решеK( ) = v|1 c|1 n0c V m0 1 ния уравнения Шредингера для электрона в электриче1 ском поле [1–3]. В многочисленных работах изучаются процессы электропоглощения света в присутствии однородного магнитного поля. Так, в [4,5] исследовал dt exp(i t) a+(v)(t)a(c)(t)a+(c)a(v). (1) 1 1 ся случай, когда векторы напряженностей электрического поля E и магнитного поля H параллельны, в работах [6–9] изучалось поглощение электромагнитной Здесь введены следующие обозначения: a+(i) (a(i)) — волны при E H. В последнем случае для послеоператоры рождения (уничтожения) электрона в i-й зоне довательного рассмотрения процессов туннелирования (i = c, v описывают соответственно зону проводимости (эффект Франца-Келдыша) необходимо использовать и валентную зону), — набор квантовых чисел, хадвухзонное приближение.

рактеризующих состояние электрона, (i) — сглаженная Предлагаемый в работе метод расчета позволяет неповолновая функция носителя в i-й зоне в отсутствие элексредственно из формулы Кубо вычислить коэффициент трического поля; Pcv — матричный элемент оператора межзонного поглощения света в однородном электриче- импульса на блоховских функциях валентной зоны и ском поле, зная только волновые функции и собственные зоны проводимости; — единичный вектор поляризазначения энергии в отсутствие электрического поля. ции электромагнитной волны, V — объем квантовой Основная цель настоящей работы — показать простоту системы, e — величина заряда электрона, m0 — масса нового метода и продемонстрировать его при иссле- свободного электрона, n0 — коэффициент преломления.

довании особенностей поглощения света в размерно- Усреднение... в (1) проводится с полной матрицей плотности исследуемой системы в однородном электриограниченных системах.

ческом поле, В дальнейшем используем простейшую модель полупроводника с невырожденными зонами, причем буit -it (i)(t) =exp (i) exp (i), (2) дем считать, что обе зоны имеют экстремум в одной точке k-пространства. Последующие расчеты проводятся в однозонном приближении, что для случая E H (i) (i (i) = a+(i)a(i) + V) a+(i)a(i), (3) 1 означает выполнение неравенства [7,10] cE/SH (S = g/4mc, g — ширина запрещенной зоны, mc — (i) эффективная масса электрона, c — скорость света).

где — энергия электрона в i-й зоне в отсутствие Экситонными эффектами в дальнейшем пренебрегаем.

электрического поля. Если напряженность электричеВлияние экситонных эффектов на линейные оптические ского поля E направлена вдоль оси Ox, то свойства в полупроводниковых квантовых ямах обсужда (i (i) лось в [11].

V) = eE (i)|x|1. (4) 1. Коэффициент межзонного поглощения света частоты, согласно формуле Кубо [12], определяется Уравнение движения для a(i)(t) согласно (2) можно через корреляционную функцию дипольных моментов и записать в виде в представлении вторичного квантования записывается i (i) (i a(i)(t) =- a(i)(t) + V)a(i)(t). (5) ¶ E-mail: arusanov@mail.ru 1360 Э.П. Синявский, С.М. Соковнич, Р.А. Хамидуллин Решение уравнения (5) находится аналогично [13] и интегральное представление функций Эйри Ai (z ) [15]:

определяется соотношением it it (i) dt exp + iat2 - ibt3 = 2(3b)-1/ a(i)(t) = (i) exp - (0 + V ) (i) a(i). (6) (i) i a 2 a3 aЗдесь 0 — гамильтониан для электронов в i-й зоне exp + i Ai -(3b)-1/3 +.

3b 27 b2 3b в координатном представлении в отсутствие электриче(i) (i) ского поля, V = eEx, 0 |(i) = |(i). Если подстаВыбор гамильтониана для электронов в отсутствие электрического поля в виде (8) означает, что в собвить выражения для a+(i)(t), a(i)(t) в (1) и использовать (i) полноту волновых функций электрона, то коэффициент ственных значениях можно явно выделить слагаепоглощения света запишется в виде мое P2/2mi, т. е.

x P4e2 Pcv (i) (i) x = + (11) K( ) = dt exp(i t) 2mi n0c V m( — квантовые числа кроме Px, описывающие состояit it (v) (c) ние электрона в i-й зоне).

c exp (0 + V ) exp - (0 + V ) c.

Следовательно, аргумент функций Эйри не зависит (7) v c от Px ( + P2/2µ = + - ), а матрич x При записи (7) учитывалось, что для невырожденного ный элемент c| v = c| v k,kv (ki — компонента c x x x электронного газа в зоне проводимости (валентная зона волнового вектора электрона в i-й зоне), поэтому сумполностью заполнена электронами) мирование по ki в (10) можно провести точно. В реx зультате окончательное выражение для коэффициента a+(v)a(c)a+(c)a(v).

1 1 1 поглощения записывается в виде В дальнейшем рассмотрим случай, когда 1/2 82e2 2µ Pcv K( ) = x PLy Lz n0c E m(i) (i) 0 (x, y, z ) = 0 (y, z ) + ; (8) 2mi c| v Ai2 -. (12) Px — компонента оператора импульса, mi — эффектив E, ная масса электрона в i-й зоне.

Гамильтониан вида (8) описывает широкий класс фиLy, Lz — соответствующие размеры исследуемой полузических задач. Если использовать алгебру операторов проводниковой системы. Из соотношения (12) получакоординаты и импульса [14], легко показать, что ются известные результаты для межзонного поглощения света [1–3]. В однородном магнитном поле в калибровке x x it P2 it P2 ieEtA(0, 0, Hy) из (12) непосредственно следуют результаты exp + eEx = exp - Px 2mi 2mi 2 mi для K( ) (H E), полученные в [4,5].

2. Исходя из общей формулы (12) исследуем осоieExt ie2E2t3 ieExt exp exp = exp бенности электропоглощения в размерно-ограниченных 6mi системах. Для размерно-квантованных систем с произвольным видом одномерного вдоль оси Oz потенциала x ie2E2t3 it P2 ieEt exp exp + Px. (9) 6mi 2mi 2 mi k(i) y (i) = n +, (13) 2mi С учетом (9) коэффициент поглощения (7) после интегрирования по t принимает следующий вид:

(i) где n — уровни размерного квантования в i-й зоне, 82e2 Pcv n(i) — номер уровня. Интеграл перекрытия волновых K( ) = функций для рассматриваемых квантовых систем можно Vn0c E mзаписать в виде iPx iP2 x c| v exp + c| v = nc| nv k,kv. (14) c eE 3eE µ y y, Если подставить (14), (13) в (12), проинтегрировав по 1 Px квазиимпульсу kc, используя [16], y Ai - +. (10) E 2µ - dx 1 3 v c Здесь обозначено: E = e2E2/2µ, = + -, Ai2 ( + x) = Ai1 22/3 dx Ai (x), x 2 µ-1 = m-1 + m-1. При записи (10) было использовано c v 22/Физика и техника полупроводников, 2005, том 39, вып. Межзонное поглощение света в размерно-ограниченных системах... коэффициент поглощения света принимает следующую форму:

4e2µ Pcv K( ) = dn0c m nc| nv Ai1 -22/3 nn1. (15) E n,nЗдесь a — толщина размерно-ограниченной системы, v c = + n - n.

nnВ отсутствие электрического поля при > nnAi1(-22/3 / E) ( ) ( (x) — ступенчатая nn1 nnфункция Хевисайда) частотная зависимость K( ), соРис. 1. Частотные зависимости коэффициента поглощения гласно (15), имеет характерный для двумерных систем света (в отн. ед.) в параболической квантовой яме в одноступенчатый вид. В частном случае для прямоугольных родных электрическом и магнитном полях: 1 — в отсутствие квантовых ям (КЯ) с бесконечной высотой барьера электрического поля; 2, 3 —при E/c = 0.033 и 0.1 соответственно.

( nc| nv = nn ) из (15) непосредственно получаются известные результаты [17] для коэффициента поглощения света. Как следует из (15), частотная зависимость коэффициента межзонного поглощения электроГамильтониан (16) в отсутствие электрического поля магнитной волны от величины напряженности однородописывается видом (8). При этом, согласно (11), ного электрического поля E одинакова для различных размерно-квантованных систем. При этом изменяются (kc )2 c y c = + 0c(nc + 1/2), только величина (наличие множителя nc| nv ) и по0c 1 2mc (i) ложение максимума поглощения (n — определяется (kv)2 формой одномерного потенциала). Как непосредствен- v y v - - 0v(nv + 1/2) - g, (17) = но следует из асимптотического поведения Ai1(x) [15] 2mv 0v при / E > 0, т. е. в высокочастотной области, nn2 2 0i = i + i, i — циклотронная частота в i-й зоне.

коэффициент поглощения как функция частоты свеКвадрат матричного элемента на волновых функциях та описывается немонотонной кривой. При этом в электрона в магнитном поле ПКЯ [18] для простейшего размерно-ограниченных системах осцилляционный хаслучая перехода носителя между нижними размернорактер K( ) выражен более ярко, чем в объемных магнито-квантованными уровнями (nc = nv = 0) вычисматериалах. В длинноволновой области спектра поглоляется непосредственно. Выражение (12) для коэффицищения ( < 0) при / E 1 K( ) определяется nn1 nnента поглощения света принимает вид экспоненциальной зависимостью от частоты и описывает туннельный процесс (эффект Франца-Келдыша). Все 16e2 Mµ cv Pcv предыдущие расчеты проведены для изотропных зон.

K( ) = an0c c + v mОбобщение результатов для анизотропных масс, а также учет легких и тяжелых дырок не представляет труда.

d Учет последнего приведет только к количественному e- Ai2 - +, (18) E изменению осцилляционной зависимости K( ) в коротковолновой области спектра [17].

Рассмотрим поглощение света в параболических кван2ME c = (p + 1)(p - 1)2, товых ямах (ПКЯ), когда однородные магнитное и элекmc 0c трическое поля направлены вдоль поверхности иссле1 1 |mi|0i дуемой размерно-ограниченной системы (H E Ox).

M-1 = v + c, i =, mv mc В калибровке векторного потенциала A(0, Hz, 0) гамильтониан имеет вид 0c 0v = - g - -, 2 2 z x 1 eH P2 P (i) = Py + z + + i c 2mi c 2mi 2mi i =, p =.

0i v mii + eEx + z, (16) В отсутствие электрического поля частотная зависимость коэффициента поглощения света носит ступен i = 8 Ei /mia2 — шаг размерного квантования, чатый характер (рис. 1, кривая 1). При этом ширина Ei — высота барьера в ПКЯ в i-й зоне. ступеньки (на рис. 1 приведена часть первой ступеньки) 6 Физика и техника полупроводников, 2005, том 39, вып. 1362 Э.П. Синявский, С.М. Соковнич, Р.А. Хамидуллин с ростом напряженности магнитного поля охватывает более широкую область частот поглощаемой электромагнитной волны, что связано с увеличением шага размерно-магнитного квантования. В постоянном электрическом поле возможно поглощение света в длинноволновой области спектра (эффект Франца-Келдыша), а в высокочастотной области K( ) описывается осцилляционной кривой (кривые 2, 3 на рис. 1). Расчеты проводились для типичных ПКЯ AlGaAs-GaAs (mc = 0.06m0, mv = 0.4m0, разрывы в зоне проводимости Ec = 0.255 эВ и в валентной зоне Ev = 0.17 эВ) при ширине ямы a = 1000, c = 14.6 мэВ, c = 4.6мэВ и при значениях напряженности магнитного поля, когда Рис. 2. Частотные зависимости коэффициента поглощения c = c. При этом 0.3E/c. Кривые 2, 3 полусвета (в отн. ед.) в СР в однородном электрическом поле: 1 — чены при E/c = 0.033 (E = 125 В/см), E/c = 0.1 в отсутствие электрического поля; 2, 3 —при = 3 и = (E = 650 В/см) соответственно. С ростом напряженно- соответственно.

сти электрического поля число осцилляций на ступеньке и их величина уменьшаются.

3. Из соотношения (12) нетрудно получить выражеЗдесь введены следующие обозначения:

ние для коэффициента межзонного поглощения света в поперечном электрическом поле для сверхрешеток (СР) с периодом d, учитывая закон дисперсии для носителей I(, x) = Ai1 -(x + 1) + Ai1 -(x - 1) в приближении сильной связи [19]:

(i) = (ki )2 +(ki )2 + si - cos(ki d), (19) - d arcsin Ai -(x + ), (22) si z 2mi x y -si — уровни размерного квантования i-й зоны, — si ширина s-й мини-зоны в i-й зоне.

ss - g 22/Для прямых разрешенных оптических переходов =, x =.

E ss ss (kc = kv) коэффициенты поглощения в СР, согласz z но (15), В отсутствие электрического поля (E = 0, ) I(, x) определяется соотношением 4e2µ Pcv KSL( ) = dn0c m1 I0(x) = - arcsin (-x) (-x) (1 + x) 22/ss ss |uss |2Ai1 - - g + cos(kz d), cv E 1 s,s,kz + + arcsin x (x) (1 - x) + (x - 1). (23) (20) uss — матричный элемент волновых функций s-й миниcv I0(x) изображена на рис. 2 кривой 1 (рассматривается зоны зоны проводимости и s -й мини-зоны валентной межзонный оптический переход между нижними миниss зоны, g = g +(sc + s v), = +.

ss sc s v зонами s = s = 1). В этом случае частотная зависиВ отсутствие электрического поля (E = 0) в пренемость KSL( ) повторяет поведение плотности элекбрежении шириной мини-зон ( = 0)1 из (20) получаsi тронных состояний в СР [22] от. В присутствии ется известное выражение для коэффициента межзонноэлектрического поля возможно поглощение электрого поглощения света [20].

магнитной волны в длинноволновой области (эффект Для конечных разрешенных мини-зон ( = 0, sc Франца-Келдыша) и возникают осциляции KSL( ) при = 0), если пренебречь слабой зависимостью в ин sv x > 1. При этом с ростом напряженности электрическотеграле перекрытия uss от kz [21], после суммирования cv го поля величина осцилляционных пиков увеличивается, по квазиимпульсу коэффициент поглощения света приа их число уменьшается. На рис. 2 кривые 2, 3 получены нимает вид соответственно для = 3, = 1.

8e2µ Pcv Рассмотрим межзонное поглощение света в СР в магKSL( ) = |uss |2 I(, x). (21) dn0c m0 s,s cv нитном поле, направленном вдоль оси пространственного квантования (ось Oz ), при этом электрическое поПервые разрешенные мини-зоны имеют весьма малую ширину, ле направлено вдоль плоскости размерно-квантованной поэтому это приближение часто применяется при исследовании оптических свойств СР. системы (E H). В калибровке Ландау A(-Hy, 0, 0) Физика и техника полупроводников, 2005, том 39, вып. Межзонное поглощение света в размерно-ограниченных системах... гамильтониан исследуемой системы имеет вид от kc коэффициент поглощения света (27) после суммиz рования по kc принимает следующую форму:

x y P2 z P1 eH 2 (i) = Px + y + + + V (z ) +eEy, 2e2 Pcv SL 2mi c 2mi 2mi KH ( ) = exp n0c R2d m0 2R(24) где V (z ) — периодический потенциал СР.

Проведем над гамильтонианом (24) унитарное преоб- 2 uss Wn nv dz + cos z, (30) cv ncnv ss c разование, исключающее eEy:

nc,nv, s,s ieE i i e (i) e- = H(i), i = - Py. (25) mi i ss = - g - c(nc + 1/2) ncnv Нетрудно показать, что c2E- v(nv + 1/2) + (mc + mv).

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.