WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика и техника полупроводников, 2004, том 38, вып. 11 Колебательные моды и электронно-фононное взаимодействие в полупроводниковых нанотрубках © А.И. Ведерников¶, А.В. Чапли궶 Новосибирский государственный университет, 630090 Новосибирск, Россия Институт физики полупроводников, Сибирское отделение Российской академии наук, 630090 Новосибирск, Россия (Получена 19 января 2004 г. Принята к печати 21 апреля 2004 г.) Найдены собственные моды колебаний полупроводниковой AIIIBV нанотрубки с учетом кристаллической структуры и пьезоэффекта. Исследовано электронно-фононное взаимодействие и показано, что его пьезоэлектрическая часть сложным образом зависит от частоты фонона, что отличает нанотрубку от объемного образца.

1. Введение 2. Собственные колебания полого цилиндра Нанотрубки (НТ) продолжают оставаться одним из самых актуальных объектов исследований в физике Мы рассматриваем нанотрубку, полученную свертынизкоразмерных систем. Большая часть литературы по ванием квантовой пленки кубического кристалла. Норэтому вопросу посвящена углеродным НТ (см. напр. [1] маль к поверхности пленки соответствует направлеи имеющиеся в нем ссылки). Однако последние годы нию [100], ось трубки — направлению [001] (рис. 1). Ввеотмечены успехами в технологии получения полупродем цилиндрическую систему координат, в которой ось z водниковых НТ соединений AIIIBV, Ge и Si. Предлосовпадает с осью цилиндрической оболочки, а r и — женная В.Я. Принцем с сотрудниками методика саполярные координаты в плоскости, перпендикулярной мосворачивания двойных слоев [2–4] позволяет полуоси цилиндра. Пусть R — радиус срединной поверхности чать НТ, в которых радиус и толщина стенок являеттрубки, h — ее толщина. Таким образом, в отсутствие ся контролируемыми параметрами и могут изменяться колебаний трубка занимает объем -h/2 r h/2 (ков весьма широких пределах. Электронные процессы ордината r отсчитывается от срединной поверхности), в полупроводниковых НТ при всем сходстве их с 0 z L, где L — длина трубки. Получившаяся при аналогичными процессами в углеродных НТ, имеют сворачивании пленки цилиндрическая оболочка, строго и ряд существенных отличий. В предлагаемой работе говоря, напряжена и в ней существуют деформации мы исследуем электронно-фононное взаимодействие в типа одноосного растяжения-сжатия (знак деформации полупроводниковых AIIIBV НТ, для чего, естественно, различен по разные стороны от срединной поверхности).

необходимо сначала найти собственные колебательные Очевидно, что при условии R a0 (a0 — постоянная моды НТ. Применительно к углеродным НТ этот вопрос решетки) эти деформации малы. Из очевидных сообрассматривался в недавней работе Сузуры и Андо [5].

ражений симметрии следует, что связь между тензоНаша работа имеет ряд существенных отличий от [5].

ром напряжений и тензором деформации будет такой Во-первых, благодаря упругой изотропии слоя двумерже, как и в плоской пленке кубического кристалла:

ного графита, колебательную задачу для углеродных существует всего три независимые компоненты тензора нанотрубок можно решать в изотропном, континуальном модулей упругости и одна независимая компонента тенприближении, что и сделано авторами в [5] (среда зора пьезомодулей, хотя абсолютные значения констант описывается лишь двумя модулями упругости). В случае могут отличаться от плоского случая (отличие мало при же свернутых квантовых ям AIIIBV мы учитываем три R a0). В силу сказанного тензор напряжений можно упругих модуля кубического кристалла. Во-вторых, как в колебательной задаче, так и в электронно-фононном взаимодействии нами учтен пьезоэффект, существенный в кристаллах AIIIBV. В-третьих, как будет показано, пьезоэлектрическое взаимодействие акустических фононов с двумерными электронами, „привязанными“ к поверхности полого цилиндра, существенно отличается от аналогичного электронно-фононного взаимодействия в объемных образцах. Этот вопрос, насколько нам известно, до сих пор не обсуждался в литературе.

¶ E-mail: ahtoh@ngs.ru ¶¶ E-mail: chaplik@isp.nsc.ru Рис. 1. a — квантовая пленка, b — свернутая нанотрубка.

Колебательные моды и электронно-фононное взаимодействие в полупроводниковых нанотрубках записать в виде получим 2 44 ur + e14 = 0, r ij = ijkl · ukl - ekij · Ek, (1) z 2 44 ur + e14 = 0, (3) rz где ijkl — тензор модулей упругости, ekij — тензор R + r пьезомодулей, Ek — вектор напряженности электри- 11 ur + 12 ur + ur = 0, rr zz ческого поля, ukl — тензор деформации. Независимые компоненты тензора модулей упругости iiii 11, где — электростатический потенциал. Перепишем ii j j 12, i ji j 44, где индексы i и j могут принимать первые два уравнения системы (3), через вектор любое их трех значений z, r, (i = j). Независимая ком- смещения:

понента тензора пьезомодулей eijk e14, где i, j, k — ur ur 1 wr также могут принимать любые три значения z, r,, при 44 - + + e14 = 0, r R + r R + r z этом все три индекса должны быть различными.

В общем случае решение полной трехмерной задачи wr vr является чрезвычайно сложным. Тем не менее существу- 44 + + e14 = 0. (4) z r R + r ют способы приведения трехмерной задачи к двумерной, Для точек прямого волокна, нормального к срединной применимые к достаточно тонким оболочкам (h R).

ur vr Одним из таких путей является принятие гипотезы неде- поверхности, производные и должны сохранять r r формируемых нормалей (гипотезы Кирхгофа-Лява, см., постоянные значения, равные например, [6]). Она состоит в том, что любое волокно, ur ur - u vr vr - v нормальное к срединной поверхности до деформации, =, =. (5) r r r r остается после деформации прямым и нормальным к срединной поверхности в ее новом очертании; вместе Подставим в уравнения (4) выражения (5); учитывая с тем длина волокна вдоль толщины оболочки остается также, что в первом приближении можно положить неизменной.

wr = w, получим Рассмотрим слой оболочки, отстоящий на расстоr r w r(R + r) eянии r от срединной поверхности (-h/2 r h/2).

ur = 1 + u - -, Будем учитывать изменение кривизны для данного слоя R R R 44 z по сравнению с кривизной срединной поверхности. Тогда w r eвыражения для деформации будут следующими:

vr = v - r -. (6) z R + r 1 ur wr Найдем компоненты тензора деформации через смеur = +, R + r R + r щения в срединной поверхности:

vr 1 u r 2w r e14 2 w ur =, ur = - - +, zz z R R(R + r) 2 R 44 z R + r 1 ur 1 vr v 2w r e14 ur = +, ur = - r -, z zz 2 z R + r z z R + r 44 z 1 1 v r u r(2R + r) 2w 1 ur ur 1 wr ur = + 1 + z ur = - +, (2) 2 R + r R z R(R + r) z r 2 r R + r R + r r e14 2 r(R + r) e14 - -, wr (R + r)2 44 2 R 44 z ur =, rr r eur = -, (7) r 1 vr wr 244 z ur = +, rz 2 r z 12 1 u v 2w r 2w ur = - + - r rr где ur — компоненты тензора деформации, 11 R z z R(R + r) ij а (ur, vr, wr ) — компоненты вектора смещения w r(2R + r) e14 соответственно по азимутальному углу, вдоль трубки + -, R + r R(R + r) 44 z и по радиусу трубки. Те же величины без верхнего индекса r будут относиться к срединному слою.

e14 ur = -.

rz По гипотезе прямых нормалей мы должны при244 R + r нять: r = rz = rr = 0. Развертывая эти выражения, Физика и техника полупроводников, 2004, том 38, вып. 1360 А.И. Ведерников, А.В. Чаплик Теперь можно найти ненулевые компоненты тензора К этому уравнению необходимо добавить граничные напряжений: условия:

2 11 - 12 1 u w r 2w r = + I m(qR - qh/2) h h11 R R + r R(R + r) q 0 - 1 +Im(qR - qh/2) 2R 4Rr e14 12(11 - 12) - + 1 h R 44 z = - 2 - 8e14 uz, (13) R R2 r=-h/v 2w r e14 - r -, z z R + r 44 z K m(qR + qh/2) h h2 q 0 + 1 + 11 - 12 v 2w r er Km(qR + qh/2) 2R 4Rzz = - r 11 z z R + r 44 z 1 h = + 2 - 8e14 uz, (14) 12(11 - 12) 1 u w R R2 r=h/+ + 11 R R + r где Im, Km — бесселевы функции мнимого аргумента r 2w r e14 - -, (8) первого и третьего рода соответственно, а I m, K m — R(R + r) 2 R 44 z их производные. Компоненты тензора деформации uz в r u 1 v r(2R + r) 2w уравнениях (13), (14) берутся на внутренней (r = -h/2) zr = 44 1 + + и внешней (r = h/2) поверхности НТ соответственно.

R z R + r R(R + r) z Из уравнений (12)-(14) находим 0, 1, 2 в главном r 2 r(R + r) по h приближении:

- e14 - e14 2 + e14.

(R + r)2 2 R z r Нам необходимо далее найти связь между смещени- 2e14h im 0 = qR(I mKm + ImK m)+2 Im Km v +iqu, ями срединного слоя и потенциалом. Деформации R пьезоэлектрических полупроводников сопровождаются поляризацией P, которая связана с тензором деформации:

4e14R im 1 = v + iqu, (15) Pi = eik j uik. (9) R Электрический потенциал (r) может быть найден из уравнения Пуассона div D = 0, где вектор электрической 4e14R im индукции равен Di = Ei + 4eijkujk. Таким образом, 2 = - v - mqw.

уравнение Пуассона примет вид R ujk - + 4eijk = 0. (10) В формулах (15) аргументами бесселевых функций и xi их производных является qR. Окончательные выражения Предположим, что в НТ возбуждена акустическая для получаем подстановкой (15) в (11). Далее, мы волна с квазиимпульсом q вдоль НТ и азимутальным воспользуемся известными из теории колебаний упругих квантовым числом m. Вектор смещения в этом случае оболочек формулами для усилий, моментов, а также равен (u, v, w) exp(iqz + im - it). Имея ввиду, что уравнениями движения элемента оболочки (см., натолщина стенок НТ много меньше ее радиуса, будем пример, [6]). Получим уравнения движения с учетом искать решение в виде разложения:

пьезоэффекта, в которых переменными являются только смещения срединного слоя:

r r = 0(q, m) +1(q, m) + 2(q, m) R R2 11 - 12 1 2u 1 w + exp iqz + im - it. (11) 11 R2 2 RПосле подстановки потенциала в форме (11) в урав12(11 - 12) 1 2v h2 3w нение Пуассона (10) получим в нулевом приближении + 11 R z 12R2 z по r:

8e2 m2 1 + 22 1 2v h2 2u h2 3w - + q2 + 0 + + 44 + 1 + 2 44 R2 R2 R z 4R2 z 4R2 z im iq 2mq 4e2 1 2v 2u 2u = 4e14 - v + u + w. (12) + + =, R2 R R R z z tФизика и техника полупроводников, 2004, том 38, вып. Колебательные моды и электронно-фононное взаимодействие в полупроводниковых нанотрубках 2 11 - 12 2v h2 3w 1 = q 44/ + 4e2 /. Собственный вектор - 2 11 z 12R2 z смещения такой крутильной моды направлен по азимуту — =(1, 0, 0). Частота радиальной, так назы12(11 - 12) 1 2u 1 w 1 2u + + + 44 ваемой „дышащей“ моды (radial breathing mode), 11 R z R z R z также остается конечной в длинноволновом 2 пределе и равна 2 = 1/R (11 - 12)/11. Ее h2 1 2v h2 3w + 1 + + вектор поляризации направлен по радиусу — 12R2 R2 2 12R3 z =(0, 0, 1). И наконец, третья мода — это 4e2 1 2u 1 2v 2v продольная акустическая волна, частота которой равна + + =, 3 = q (11 - 12)(11 + 212)/(11 + 12). Собствен R z R2 2 t ный вектор направлен вдоль оси трубки — =(0, 1, 0).

2 11 - 12 h2 1 4w 4w h2 2w Для m = 1 в длинноволновом пределе (qR 1) также - + 11 12 R4 4 z 6R4 получаются три независимые колебательные моды:

1 h2 1 u h2 3v - 1 + w - + 2 3 1 11 - R2 12R2 R2 12R z 1 = 2, = 1/ 2, 0, i/ 2 ;

R 12(11 - 12) 1 v h2 4w + - 11 R z 6R2 z 1 44 4e2 = +, =(0, 1, 0); (17) h2 3u h2 4w R + + 44 2 12R2 z 3R2 z (11 - 12)(11 + 212) h2 3u h2 3v 2w 3 = q2R, + - =. (16) 2 (11 + 12) 4R2 z 12R3 z 2 tТаким образом, нам удалось привести трехмерную за- = 1/ 2, 0, -i/ 2.

дачу к двумерной. Эти уравнения полностью определяют малые колебания кристаллических тонких цилиндричеВсе эти ветви двукратно вырождены, так как в слуских оболочек. Подставляя решение в виде бегущих чае m = -1 ответ получается тот же, за исключением волн, получим три линейных алгебраических уравневекторов поляризации, которые нужно заменить на их ния на амплитуды смещений срединного слоя (u, v, w).

комплексно сопряженные значения. Результат для Условие существования нетривиального решения полуиз (17) соответствует закону дисперсии изгибных волн в ченной однородной системы уравнений определяет закон упругих стержнях (см. [7]). Уравнения (16) с e14 = 0, дисперсии акустоэлектрических колебаний. Общее выраh = 0 переходят в уравнения (2.5) работы [5] при жение достаточно громоздко; мы рассмотрим здесь два выполнении следующих соотношений (в обозначениях частных случая: m = 0 и m = 1, где m — азимутальное работы [5]):

квантовое число акустических фононов, определяющее зависимость смещений от через множитель exp(im).

2 µ 44 B + µ 11 - Для m = 0 частота поперечной волны =, =, M M (in-plane) в длинноволновом пределе равна B 12(11 - 12) = +. (18) M Условие совместности указанных соотношений имеет вид 11 - 12 - 244 = 0, что, как раз, и соответствует переходу к изотропной упругой среде.

На рис. 2 изображены спектры колебательных мод с m = 0; 1 в длинноволновом пределе. Мы видим, что существует волна с квадратичной дисперсией при малых q.

При предельно низких температурах T s/R, где s — величина порядка скорости звука, именно эти колебания будут играть доминирующую роль в термодинамике и кинетике НТ. В отличие от изгибных волн тонкой пластинки, имеющих также квадратичную связь и q, Рис. 2. Частоты колебательных мод в длинноволновом преде- найденное решение 3 не содержит толщины оболочле с m = 0 и m = 1 как функции q. ки h.

6 Физика и техника полупроводников, 2004, том 38, вып. 1362 А.И. Ведерников, А.В. Чаплик Обсудим теперь решения с m > 1. Характеристический детерминант при k = 0 имеет вид 2 2 2 11-12 m2 11-im - 2 0 11 R2 R2 h2 4e2 m = 0. (19) 0 44 1 + + - 2 12R2 R 2 2 2 11-12 11-12 h2(m2-1)2 im 0 + - R2 11 11 12R4 RВ пределе h/R 1 легко получить: Электронно-фононное взаимодействие через деформационный потенциал имеет обычный вид: Hdef = Ea div, 44 h2 4e2 m 14 где Ea — постоянная деформационного потенциала.

1 = 1 + +, 12R2 R Подставляя (r) в это выражение, получим 2 11 - 12 m2 + Hdef = (q, m)cs (q, m) +c. c., 2 =, (20) 11 R q,m,s 2 11 - 12 m(m2 - 1) h где 3 =.

11 m2 + 1 2 3 R m Ea Таким образом, все волны с m > 1 характеризуются (q, m) = iqv0 + i u0. (23) R 2Ss (q, m) щелевой дисперсией ( = 0 при k = 0), хотя щель в имеет дополнительную малость h/R.

Для аксиально-симметричной (m = 0) колебательной моды электроны взаимодействуют по пьезоэлектриче3. Электронно-фононное скому механизму только с поперечными фононами (вектор поляризации =(1, 0, 0)). Взаимодействие с такими взаимодействие фононами через деформационный потенциал отсутствуРассмотрим взаимодействие акустических фононов с ет (div = 0), но имеется деформационное электронэлектронами через пьезоэлектрический потенциал. Га- но-фононное взаимодействие с другими ветвями колемильтониан взаимодействия имеет вид Hpiez o = -e(r).

бательного спектра. Для m = 1 электроны взаимодейЭто выражение следует усреднить по основному состоствуют со всеми фононными ветвями как через дефорянию радиального движения электронов НТ. При этом мационный потенциал, так и по пьезоэлектрическому линейный по r вклад в формуле (11) обращается в механизму.

нуль, квадратичный относительно мал по h/R 1, т. е. в Рассмотрим пьезовзаимодействие в предельных слуглавном порядке = 0.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.