WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. 7 Брэгговские солитоны в структурах с квантовыми ямами © М.М. Воронов, Е.Л. Ивченко Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия E-mail: ivchenko@coherent.ioffe.ru (Поступила в Редакцию 9 сентября 2004 г.) Теоретически исследуется распространение солитонных импульсов в периодической структуре с квантовыми ямами с периодом, близким к половине длины волны света на частоте экситонного резонанса. Учтены различные виды экситонной нелинейности, характерные для квантовой ямы: нелинейности типа P3 и EP2, а также биэкситонная нелинейность. Изучены характерные особенности солитона в каждом из рассматриваемых случаев. Проанализировано влияние рассогласования показателей преломления материалов барьера и квантовой ямы на параметры солитона. Солитонные решения нелинейных уравнений Максвелла–Блоха сравниваются с их решениями в виде плоских волн.

Работа поддержана министерством науки и образования РФ и грантом Российского фонда фундаментальных исследований.

В настоящее время физика фотонных кристаллов нелинейных уравнений Максвелла–Блоха в виде плоских оформилась в самостоятельную область твердотельной волн. Анализ таких решений позволяет понять связь оптической спектроскопии, в которой активно проводят- между видом солитона и типом нелинейности системы.

ся фундаментальные исследования, а также технологические поиски и разработки будущих технических приме1. Уравнения Максвелла–Блоха нений. Различают трех-, двух- и одномерные фотонные для экситонов в брэгговской кристаллы, в зависимости от того, в трех, двух или одструктуре ном измерениях модулирована диэлектрическая проницаемость среды. Простейшей реализацией одномерного Изучается распространение электромагнитного изфотонного кристалла является периодическая структура лучения вдоль главной оси z периодической гетеро... A/B/A/B..., состоящая из двух материалов A и B структуры с периодом d = a + b, включающим ширину с разными показателями преломления. Периодические квантовой ямы a и ширину барьера b. Предполагается, структуры с полупроводниковыми квантовыми ямами что (а) фоновые диэлектрические проницаемости a, b и, в частности, резонансные брэгговские структуры материалов квантовой ямы и барьера различны, но представляют особый класс резонансных одномерных рассогласование |a - b| мало по сравнению со средним фотонных кристаллов, в которых нормальными волнами значением =(aa + bb)/d, (б) брэгговская частота являются экситонные поляритоны [1–8]. Большинство периодической структуры работ по исследованию резонансных брэгговских структур проводилось в области линейной оптики. Однако B = c/(nd), (1) изучались и нелинейные оптические явления в таких где n =, близка к резонансной частоте экситона структурах: вырожденное четырехволновое смешивав изолированной квантовой яме и (в) несущая частота ние [9] и подавление сверхизлучательного сигнала отсветовой волны лежит в окрестности частот 0 B.

ражения с ростом интенсивности падающего света [10].

При этих условиях связь между индукцией и напряженВ настоящей работе изучаются нелинейные свойства ностью электрического поля можно представить в виде резонансных брэгговских и квазибрэгговских структур с точки зрения возможности распространения в них D(z, t) =[ + 1 cos(2kz )]E(z, t) +4 Pexc(z, t). (2) j солитонных импульсов. В широком смысле речь идет о j явлениях самоиндуцированной прозрачности [11], которые могут наблюдаться в указанных структурах с кванЗдесь Pexc(z, t) — диэлектрическая поляризация, инj товыми ямами. С этой целью ищутся и анализируются дуцируемая экситоном, возбужденным в j-й яме, решения нелинейной системы уравнений Максвелла– j = 0, ±1, ±2,..., k = /d, 1 = 2(a - b)a/d. УчиБлоха. Последовательно учитывается три различных тывая слабое рассогласование диэлектрических конмеханизма нелинейности системы. Показано, что при стант a и b, мы разложили фоновую диэлектрическую учете каждого из них возникает солитонное решение, проницаемость в ряд Фурье и сохранили в (2) только два аналогичное тому, которое ранее рассматривалось для первых члена разложения. В силу аксиальной симметрии объемного полупроводника [12] либо для периодической системы можно считать, что все поля одинаково поляструктуры с двухуровневыми системами [13–15]. Наряду ризованы, и вместо векторных использовать скалярные с солитонными решениями находим также решения величины E, Pexc и т. д.

j 1328 М.М. Воронов, Е.Л. Ивченко Учитывая, что ширина ямы мала по сравнению с индуцированного перехода из экситона в биэкситон.

периодом структуры, можно пренебречь координатной Функция B (t) удовлетворяет уравнению j зависимостью электрического поля в пределах квантовой ямы и записать экситонный вклад в поляризацию в + i 2(0 - B) - bi + B (t) bi j виде суммы -вкладов t = ibiPexc(t) E+( jd, t), (8) j Pexc(z, t) = (z - jd) Pexc(z, t)dz. (3) j j где bi bi и являются соответственно энергией bi С учетом обратного когерентного рассеяния электри- связи и параметром затухания биэкситона. В [16] введена ческое поле E(z, t) может быть представлено в виде диэлектрическая поляризация экситона P, усредненная суперпозиции двух типов волн, распространяющихся в по ширине ямы a. Она превышает в d/a раз испольпрямом (>, вдоль оси z ) и обратном (<) направлениях, зуемую здесь поляризацию Pexc. Поэтому константы j 1, 2, введенные в [16] и (7), отличаются в (d/a)B E(z, t) = E>(z, t)eikz + E<(z, t)e-ikz e-i t + c.c. (4) и d/a раз. Необходимо отметить, что диэлектрическая поляризация P, связанная с возбуждением экситона j В настоящей работе используется допущение о меди биэкситона в j-й яме, включает два слагаемых Pexc ленно меняющихся огибающих электрического поля: j и Pbi. Первое слагаемое удовлетворяет уравнению (6), а предполагаем, что выполнены неравенства j второе имеет вид E> E> k|E>|, B|E>| bi z t Pbi(t) = B (t)Pexc(t)(9) j µ 0 j j и аналогичные неравенства для E<. Перепишем поляризацию (3) в виде и обусловлено распадом биэкситона на экситон и фотон.

В настоящей работе изучаются световые волны, у B Pexc(z, t) =d (-1)jPexc(t)(z - jd)e-i t + c.c., (5) j которых масштаб пространственного изменения полей j E>, E< и поляризации Pexc превышает период струкj туры d, что позволяет перейти от дискретных наборов где для удобства вынесены общий множитель d и Pexc(t), B (t) к непрерывным функциям P(z, t), B(z, t).

j множитель (-1)j под знаком суммы. Уравнение, свя- j Тогда уравнения Максвелла-Блоха можно свести к слезывающее Pexc(t) с амплитудой электрического поля в j дующей системе уравнений:

j-й квантовой яме, можно представить в виде 2 c2 + i(0 - B)+ Pexc(t) =iµ E+( jd, t)+iFNL, j(t).

0 - E+(z, t) j t t2 n2 z (6) 4B P(z, t) Здесь, — излучательное и безызлучательное = i - 1P -1 E+, n2 t затухания экситона в изолированной квантовой яме, µ = /(22), 2 c2 - E-(z, t) t2 n2 z E+( jd, t) =E>( jd, t) +E<( jd, t), 4B c P(z, t) где FNL(t) — нелинейный вклад в неоднородный член = -i - 1 E-, n2 n z уравнения для Pexc(t).

j Будем рассматривать два типа экситонной нелинейной поляризации в квантовой яме, а именно нелинейность + i(0 - B) + P(z, t) t типа EP2, характерную для простой двухуровневой системы, и типа P3 — как для классического ангармони= iµ E+(z, t) +iFNL(z, t), (10) ческого осциллятора. Кроме того, учтем биэкситонный механизм нелинейности. Тогда выражение для нелинейгде E- = E> - E< и 1 = 1B/4n2.

ного вклада в уравнение (6) примет вид FNL, j(t) = Pexc(t) 1Pexc(t) +2E+( jd, t) j j 2. Солитоны в резонансной (7) брэгговской структуре + biB (t) E ( jd, t), j + где 1, 2 — некоторые вещественные коэффициенты, В данном разделе пренебрежем рассогласованием B — амплитуда биэкситонной волновой функции, ко- диэлектрических проницаемостей, полагая a = b nэффициент bi пропорционален матричному элементу (или 1 = 0), и рассмотрим резонансную брэгговскую Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. Брэгговские солитоны в структурах с квантовыми ямами структуру, удовлетворяющую условию ное уравнение Шредингера, аналогичное рассмотренному в [12] для объемного полупроводника. В указанной 0n d =. (11) работе коэффициент в правой части уравнения для P c пропорционален первой степени скорости V, тогда как Кроме того, пренебрежем нерадиационным затуханив (15) зависимость этого коэффициента от V нелинейем и учтем только нелинейность типа P3, описыная, в частности при малых скоростях она квадратичная.

ваемую в (7) коэффициентом 1. Тогда уравнение для В этом проявляется отличие резонансной брэгговской поляризации примет вид структуры от однородного объемного полупроводника.

В соответствии с [12] уравнение (15) имеет солитонное P(z, t) = iµ E+(z, t) +i1 P(z, t) P(z, t). (12) решение t В отсутствие нелинейности решения уравнений Максвелла–Блоха представляют собой плоские волны P(x) =ei(x), (16) x0|1| cosh(x/x0) E±(z, t), P(z, t) e-i(- )t+iKz (13) 1 - uс и K, удовлетворяющими дисперсионному уравне- (x) =-3 sign 1 arctan e-x/x, x0 =. (17) 2 |u| нию [3] Это решение в равной мере описывает солитоcK ( - 0)2 = + ны, распространяющиеся со скоростями V = uc/n и n -V = -uc/n, т. е. с x = t - (z /V ) и x = t +(z /V ). Реили шению (16) отвечает электрическое поле cK = 0 ± +, n 80 u2 2xE+ = n2 1 - u2 |1| где = 20 / — половина запрещенной зоны в 0 спектре экситонных поляритонов в резонансной брэггов- sign 1 + i sinh (x/x0) ской структуре. Заметим, что согласно (4) здесь K есть ei(x), E- = E+, u cosh3/2(x/x0) волновой вектор, отсчитываемый относительно точки экстремума k = /d на границе зоны Бриллюэна периоткуда получаем одической структуры. С учетом нелинейности имеются 1 1 1 решения вида (13) с амплитудой, не зависящей от z и t.

E> = E+ 1 +, E< = E+ 1 -. (18) 2 u 2 u Дисперсионное уравнение для таких волн Скорость распространения солитона и максимальное - 0 cK ( - 0)2 = 2 + (14) 0 значение квадрата модуля поляризации (при x = 0) - 0 + 1|P|2 n связаны между собой соотношением зависит от квадрата модуля амплитуды |P|2. В резуль4 |u| тате внутри щели 2 возникает разрешенная минизона, 0 P max = 0.

|1| 1 - uкак в квазибрэгговской структуре с 0 = B [5].

Покажем, что с учетом нелинейности P3 возникают Очевидно, членами более высоких порядков по P также солитонные решения, ограниченные в пространв уравнении (12) можно пренебречь при условии стве, т. е. затухающие при z ± и распространя |1P2| B, где B — энергия связи экситона. При ющиеся с конечной скоростью с сохранением формы.

сопоставимых B и указанное условие выполняется С этой целью положим, что электрическое поле и при |u| 1. Поэтому в приведенных выше формулах диэлектрическая поляризация зависят от одной переменразность 1 - u2 можно заменить на единицу.

ной x = t - (z /V ), где V — скорость солитона. Выражая Отметим, что рассмотренная здесь нелинейность Pс помощью первого уравнения (10) электрическое поле играет важную роль в гигантском поляритон-поляритонв виде ном рассеянии в квантовых микрорезонаторах, наблюдаемом при падении света накачки под определенным d E+(x) 40 V = i P(x) 2 углом, называемым „магическим“ [17–19].

dx n2 V - (c/n)и подставляя это выражение в уравнение (12), продиф3. Структуры с различными ференцированное по x, приходим к замкнутому уравнефоновыми диэлектрическими нию для поляризации проницаемостями 2P u- i1 |P|2P = P, (15) x2 x 1 - uРассмотрим солитонные решения в структурах с разгде введена безразмерная скорость u = Vn/c. Это урав- личными a и b последовательно при учете нелинейнонение представляет собой модифицированное нелиней- сти типа EP2 и биэкситонной нелинейности.

12 Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. 1330 М.М. Воронов, Е.Л. Ивченко 3.1. Нелинейность типа EP2. В этом случае выражаются через u, относительную расстройку от реуравнение для поляризации имеет вид зонанса =(0 - B)0 и величину = 1(B0/4n2), пропорциональную рассогласованию диэлектрических констант, следующим образом [20]:

+ i(0 - B) P(z, t) =iµ E+(z, t)w(z, t), (19) t 1 - 3u2 1 + uгде = - +, = +, 2u 1 - u2 2u 2 1 - u2 w(z, t) =1 - Q2 P(z, t), Q2 = -2/(µ ), 2u2 1 1 + u2 | |2 = - -, 2 =. (23) 1 - u2 4 1 - u2 и предполагается, что 2 < 0. Введем безразмерные время = t/0, координату = nz /c0, поляри- Экситонный вклад в диэлектрическую поляризацию зацию P(, ) 2QP(, ) и электрическое поле определяется выражением = (, ) =-i 2Qµ 0 E±(, ), где ± P(, ) = iC1 + C2 tanh [(/u - )] (, ), (24) + 0 =(/B )1/2 = 2/. (20) 0 где - В отличие от рассмотренной выше нелинейности PC1 =, C2 = C1.

2 +( - )2 - предложить точное солитонное решение системы (10) с уравнением (19) не удается. Однако в данном слу- При этом чае этого не требуется, поскольку слагаемое EP2 в 2(1 - u2) правой части (19) есть следующий член разложения 1 - P = 1 -.

u2 cosh2[(/u - )] по степеням P2 внешней силы, действующей на экситонный осциллятор, а последующими членами такого Для структуры с нелинейностью EP2 замена (21) разложения можно пренебречь при условии |P|2 1.

допустима и решения (22)–(24) применимы при услоВ пределах такого же приближения для функции w вии |P|2 1 или 2(1 - u2) u2. Из (23) следует, допустима замена что безразмерная скорость солитона, удовлетворяющего указанному условию, равна 2 1 - (1/2) P 1 - P (21) 4+2 - 2+| |2 - 4 1+( - ) - 2| |2/0 и нелинейность EP2 для экситона в квантовой яме сов- u = ±.

8 +( + )2 + | |падает с нелинейностью двухуровневой системы. В результате замены (21) у уравнений Максвелла–Блоха поПри малых значениях, и | |2 имеем являются точные солитонные решения, так как они пол| |2 | - | ностью сводятся к аналогичным уравнениям для резо u = ±u0 1 +, u0 =, нансно поглощающего брэгговского отражателя [13–15], 16u2 который задается периодической фоновой диэлектри - + ческой проницаемостью (z ) = + 1 cos(z /d) и в = 2 sign, =, u который встроена с тем же периодом d система тонких слоев, содержащих атомы или квантовые двухуровневые 2 C1 =, C2 = -. (25) системы с резонансной частотой оптических переходов - ( - ) 0 B = c/(d ). В [13] вместо, 0, B использоОтсюда следует также, что рассматриваемое решение ваны 0, 12, gc.

применимо только при | |2 ( - )2.

Полученная после замены (21) система нелинейных 3.2. Биэкситонная нелинейность. Для реуравнений имеет следующее решение для электрическозонансной брэгговской структуры (0 = B, a = b) го поля:

также имеется решение (13) в виде плоской волны ei( - ) (, ) =, (22) + 0 cosh[(/u - )] E+(z, t) e-i(- )t+iKz, B(z, t) e-2i(- )t+2iKz называемое фазово-модулированным 2-солитоном [13].

с дисперсионным уравнением Здесь,, — вещественные параметры, — амплитуда, u = nV /c — безразмерная скорость солито [2( - 0) +bi]( - 0) ( - 0)2 = на. Специфика полупроводниковой структуры проявля- [2( - 0) +bi]( - 0) - bi|E+|ется только через установленную в настоящей работе связь (20) между временем 0 и излучательным затуcK +.

ханием экситона в изолированной квантовой яме.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.