WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, № 11 Влияние электрон-фононного энергообмена на распространение тепловых волн в полупроводниках © Ю.Г. Гуревич, Г. Гонзалез де ла Круз, Г.Н. Логвинов, М.Н. Касянчук Departamento de Fisica, Centro de Investigacion y de Estudios Avanzados del Instituto Politecnico Nacional, Apartado Postal 14-740, 0700 Mexico, Distrito Federal, Mexico Тернопольский государственный педагогический университет, 282009 Тернополь, Украина (Получена 30 декабря 1997 г. Принята к печати 25 февраля 1998 г.) С учетом электрон-фононного взаимодействия самосогласованно рассчитаны неравновесные периодические в пространстве и времени температурные распределения в электронной и фононной подсистемах геометрически ограниченного полупроводника (тепловые волны). Внешним источником энергетической неравновесности является модулированное лазерное излучение, которое на поверхности образца конвертируется в тепло. Проанализированы зависимости амплитуды и фазы электронной и фононной температур от частоты модуляции для разных толщин образца и ряда характерных параметров задачи. Показано, что, изменяя частоту модуляции в широких пределах (до частоты энергетического электрон-фононного взаимодействия), тепловые волны можно генерировать в электронной и фононной подсистемах в отдельности.

1. Введение ствии в периодических процессах теплопереноса. Хорошо известно, что при температурах выше 1 K рассеяние В последние годы физика тепловых волн продолжает электронов на акустических фононах носит квазиупруинтенсивно развиваться благодаря успешному развитию гий характер. Применительно к изучаемому явлению ее прикладных направлений и в первую очередь фототер- это означает, что имеется характерная диффузионная мических методов исследования разнообразных матери- длина l (длина остывания), на которой возбужденные алов, в частности, полупроводников [1–3]. Постоянно электроны и фононы выравнивают свою энергию [8].

растущий интерес к этим методам обусловлен их отно- В стационарных тепловых процессах в монополярных сительной простотой и универсализмом, позволяющим полупроводниках это приводит к появлению двух неисследовать самые разнообразные характеристики веще- равновесных температур — электронной Te(x) и фоства — тепловые, оптические, механические, релакса- нонной Tp(x) [8], где x — координата. В массивных полупроводниках (a l, a — длина образца) это ционные и т. д.

различие проявляется на расстояниях порядка l от В основе всех фототермических методов лежит деповерхностей, являющихся источником энергетической тектирование тем или иным способом нестационарной неравновесности; в субмикронных пленках, в которых температуры, характеризующей тепловые волны, котообычно a l, рассогласование этих температур имеет рые возникают в образце в результате поглощения энерместо во всем объеме образца [9]. Совершенно очевидно, гии периодически модулированного электромагнитного что и фототермические процессы в полупроводниках в излучения (как правило, лазерного), которая в объеме и общем случае следует рассматривать с точки зрения на поверхности трансформируется в тепло. Измеряемый наличия двух тепловых волновых процессов — электронв эксперименте соответствующий отклик (акустический, ного и фононного, каждый из которых характеризуется пьезоэлектрический и т. п.) позволяет получить информасвоим собственным распределением температур Te(x, t) цию об источниках тепла, генерирующих тепловые воли Tp(x, t), где t — время. Эти температуры устанавлины, и характеристиках среды, в которой они распростраваются самосогласованно в соответствии с характером няются (тепловые параметры, структурные образования, электрон-фононного теплообмена (внутренний источник неоднородности и т. п.).

тепла) и тепловыми граничными условиями (ГУ) (поТеоретические исследования фототермических проверхностные источники тепла). Впервые этот вопрос для цессов в полупроводниках схожи по своим целям — полубесконечных образцов обсуждался в работе [10].

нахождению нестационарных температурных распредеНахождение температурных распределений и их анализ в лений и откликов на них, и разнятся в выборе модели геометрически ограниченных полупроводниковых средах тепловых источников. Так, например, в работе [4] счисоставляет цель настоящей работы.

тается, что выделение тепла происходит мгновенно и в той же точке образца, где поглощается свет. В серии работ [5–7] рассматривается собственное поглощение 2. Электронные и фононные света в биполярном полупроводнике с учетом образотепловые волны вания неравновесных электронов и дырок, их диффузии и рекомбинации. Для простоты будем считать, что изотропный монопоВ настоящей работе мы акцентируем внимание на лярный полупроводник имеет форму параллелипипеда, роли энергообмена при электрон-фононном взаимодей- на одну из поверхностей которого (x = 0) падает 1326 Ю.Г. Гуревич, Г. Гонзалез де ла Круз, Г.Н. Логвинов, М.Н. Касянчук модулированное с частотой высокочастотное электро- внешней средой, различны. Поэтому ГУ для каждой магнитное излучение. Поверхность x = a поддержи- из этих подсистем квазичастиц должны быть заданы вается при постоянной температуре T0, боковые грани порознь [8].

адиабатически изолированы. В общем случае поглоще- Из всего сказанного следует, что ГУ к уравнениям (1) ние света в полупроводнике представляет собой чрезвы- можно представить такой системой соотношений:

чайно сложный процесс, сопровождающийся генерацией электронных и дырочных возбуждений, разогревом газа Qe,p(x, t) x=0 = Q0 +Qe,p eit, e,p носителей заряда с последующей релаксацией энергии на (2) Te,p(x, t) x=a =T0.

кристаллической решетке, рекомбинационными и термодиффузионными процессами и т. д. С целью упрощения В выражениях (2) Qe,p — электронная и фононная задачи мы ограничимся исключительно поверхностным поглощением. Такую модель можно, в частности, реа- плотности теплового потока, Q0 и Qe,p eit —ее стаe,p тические и динамические составляющие. В развиваемой лизовать, если грань образца x = 0 покрыть хорошо теории они выступают в качестве феноменологических, поглощающей излучение пленкой, например, металлом.

независимых параметров.

В этом случае полупроводник получает извне энергию в виде тепла. Кроме того, мы предполагаем, что все усло- Не останавливаясь на изложении формальностей ревия, необходимые для корректного определения неравно- шения системы уравнений (1), запишем окончательный весных электронной и фононной температур, выполнены вид искомых зависимостей (см. [8]).

ke sh k(a - x) При учете электрон-фононного взаимодействия искоTe(x, t)=T0 + A(a - x) + B k2 ch ka мые температуры электронов и фононов могут быть самосогласованно определены из следующей системы sh 1(a - x) sh 2(a - x) + eit C1 +C2 ; (3) уравнений баланса энергии [10]:

ch 1a ch 2a Te(x,t) 2 Te(x,t) - ke[Te(x, t) - Tp(x, t)] =, t x2 e k2 sh k(a - x) p (1) Tp(x, t)=T0 + A(a - x) + B 2Tp(x,t) Tp(x,t) - k2[Te(x, t) - Tp(x, t)] =. k2 ch ka t x2 p p sh 1(a-x) sh 2(a - x) 2 + eit D1 +D2 ; (4) Здесь ke,p = P/e,p; P = kBn [8] — коэффициент, опреch 1a ch 2a деляющий интенсивность электрон-фононного энергообмена, n — концентрация электронов, — частота релак- Здесь сации энергии при электрон-фононном взаимодействии;

Qe + Qp 1 Qe Qp kB — постоянная Больцмана; e,p = e,p/(c)e,p —элекA = ; B = - ;

e + p 4 e p тронный и фононный коэффициенты температуропроводности; e,p, e,p и ce,p — коэффициенты теплопроводности, плотность и удельная теплоемкость электронного и 1 Qp 2 Qe 2 C1 = ke + (2 - e ) ;

2 фононного газов соответственно. Во всех расчетах мы 1(2 - 1 ) p e пренебрегаем температурной зависимостью всех коэффициентов, полагая, что интенсивность поглощаемого 1 Qp 2 Qe 2 C2 = ke + (1 - e ) ;

2 излучения достаточно мала, поэтому исходная система 2(2 - 1 ) p e уравнений (1) линейна.

2 Для задания ГУ на поверхности x = 0 отметим, что 1,2 - e D1,2 = - C1,2; ke,p = P/e,p; k2 = ke + k2;

p несущая частота падающего излучения априори намно- ke го превышает все характерные энергетические частоты 1/ (максимальная из них в полупроводниках составляет 1 2 2 2 2 2 1,2 = e + p ± e - p + 4kek2 ;

p величину 108-1010 с-1, например, He–Ne-лазер, исполь2 зуемый в экспериментальной работе [11], генерируюi 2 щий излучение на длине волны 633 нм), так что ни e,p = ke,p +.

e,p температура электронов, ни температура фононов не успевают следовать за этим быстроменяющимся возмуИз выражений (3), (4) следует, что конечное по вещением. Самоусредняясь, оно формирует статическую личине энергетическое взаимодействие между электрончасть теплового потока в образце, динамическая же ной и фононной подсистемами существенно влияет на его часть, зависящая от времени, целиком определяется характер распределения тепловых волн. Действительно, модулированной составляющей падающего излучения.

в случае предельно слабого взаимодействия1 (P 0) в Кроме того, следует иметь в виду то обстоятельство, что электронная и фононная поверхностные теплопро- Такой случай может быть реализован в полупроводнике, длина водности полупроводника, определяющие теплообмен с которого a меньше длины основания.

Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, № Влияние электрон-фононного энергообмена на распространение тепловых волн в полупроводниках образце имеются два независмых температурных поля:

sh 2(a - x) d Tp (x, t) =eitG (8) Q0,p e ch 2a Te,p(x, t) =T0 + (a -x) e,p — динамическая составляющая фононной температуры.

2 2 2 Здесь 1 = e = ke + i/e; 2 = i/p;

Qe,p sh e,p(a - x) + eit, (5) e,pe,p ch e,pa 1 ke Qp Qe F1 = + ;

e 2 - e p e 2 где e,p = i/e,p.

В другом предельном случае — неограниченно сильke Qp ного электрон-фононного взаимодействия (P ) — F2 = - ;

2(2 - e ) p оба температурных распределения вырождаются в одно:

1 Qp Q0 +Qe p G =.

Te(x, t) =Tp(x, t) =T0 + (a -x) 2 p e +p Существенно отметить, что теперь по электронной Qe +Qp sh (a - x) подсистеме распространяется четыре тепловые волны, + eit, (6) (e +p) ch a а по фононной — две. Причиной тому является то, что при p e энергия в ”фононном тепловом где i p e волноводе” практически не изменяется за счет притока 2 = +.

тепла из электронной подсистемы. И наоборот, электронe + p p e ный газ испытывает со стороны фононного интенсивное Сравнивая выражения (3), (4) с выражениями (5), периодическое тепловое возмущение. Иными словами, (6), мы видим, что учет конечной по величине энергии электронный газ разогревается как поверхностными, электрон-фононного взаимодействия приводит к удвотак и объемными источниками тепла, фононный — ению числа тепловых волн в каждой из подсистем только поверхностными. Как следствие, динамическая квазичастиц. Связано это с тем, что в данном случае часть электронной температуры зависит от параметров в полупроводнике возникают взаимосвязанные периодиэлектронной и фононой подсистем; динамическая часть ческие притоки и оттоки тепла из одной подсистемы фононной температуры определяется только характериквазичастиц в другую и наоборот, т. е. каждая из этих стиками фононного газа.

подсистем по отношению к другой является внутренним Определим длины тепловых волн 1,2 и длины затухапериодическим источником тепла.

ния L1,2 следующими очевидными формальными соотношениями:

3. Электронные и фононные -1/ тепловые волны при p e 1 = 2/Im 1 = 2 2l 1 +()2 - 1 ;

Для дальнейшего упрощения задачи рассмотрим полупроводники, в которых фононная теплопроводность 2 = 2/Im 2 = 2a(r)-1/2; (9) существенно превышает электронную (p e). Такое -1/ соотношение теплопроводностей характерно для многих L1 = 1/Re 1 = 2l 1 +()2 + 1 ;

невырожденных полупроводников [12]. В этом случае выражения (3), (4) существенно упрощаются и приобреL2 = 1/Re 2 = a(r)-1/2.

тают следующий вид:

-Здесь l = ke — длина остывания электронов [8];

Te,p(x, t) =Tes (x) +Tedp(x, t),,p, r = a2/2p — время релаксации процесса теплопроводности в фононной подсистеме; = 1/eke.

где Обращает на себя внимание тот факт, что, во-первых, Qe +Qp s длинны тепловых волн меньше длин затухания; воTe,p(x) =T0 + (a -x) p вторых, эти величины определяются соответственно через мнимую и действительную части волновых чисел e,p Qe Qp sh ke(a - x) + 1,2. В реальных волновых процессах (например, при ke e p ch kea распространении электромагнитных волн) все обстоит — электронные и фононные статические части темпера- наоборот. Объясняется это тем, что на самом деле турных полей, e = 1, p =(kp/ke)2; выражения (3) и (4) не носят волнового характера.

Они получены не из волнового, а из диффузионного sh 1(a - x) sh 2(a - x) уравнения. Внешнее сходство с волновым движением Ted(x, t) =eit F1 + F2 (7) ch 1a ch 2a соотношения (3) и (4) приобрели благодаря специфи— динамическая составляющая электронной темпе- ческим ГУ (2). С физической точки зрения рассматриратуры; ваемый процесс следует трактовать как периодический в Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, № 1328 Ю.Г. Гуревич, Г. Гонзалез де ла Круз, Г.Н. Логвинов, М.Н. Касянчук пространстве и времени теплоперенос в электронной и а при a l и r 1 она квазистационарна:

фононной подсистемах квазичастиц.

Qe x 0 0 Легко показать, что =(3/2), где = 1/ — Ted = a 1 - eit. (14) e a время релаксации энергии при электрон-фононном взаимодействии.

Таким образом, характерными частотами полупро4. Частотная зависимость водника при распространении в нем тепловых волн -являются частота r = r-1 и частота =, параметров тепловых волн отношение между которыми определяется равенством Частотные зависимости длин волн 1,2 и длин затухаr/ = 2pl/ea2. При заданных длинах образца ния L1,2 приведены на рис. 1. Хорошо видно, что для и остывания оно зависит от отношения коэффициентов всех частот модуляции 1 2. Соотношения же метемпературопроводности и, наоборот, при заданных e и p оно определяется соотношением указанных характер- жду соответствующими длинами затухания различны для разных интервалов частот. В области ”низких частот” ных длин. Численные оценки дают, например, для GaAs ( < 1, где 1 (2p/e) — частота модуляции, при T = 300 K: 1.5 · 107 с-1, l 22 · 10-4 см [13], при которой L1 = L2, 1 1.6 · 105 с-1) L2 Le 70 см2/с, p 0.4см2/с (в дальнейшем все и, наоборот, при > 1 L2 L1. Характерно, численные расчеты приведены для GaAs при указанных что длина затухания L1 — слабозависящая от частоты параметрах). Это означает, что частоты r и могут функция вплоть до самых высоких значений. Таким быть соизмеримы в образцах, имеющих длину порядка 2.35 · 10-4 см, т. е. существенно меньшую длины осты- образом, регистрация различных видов тепловых волн во всем объеме образца зависит от его длины и частоты.

вания. Поэтому в массивных полупроводниках всегда В массивных полупроводниках может распространяться r, а в субмикронных образцах возможны случаи, только низкочастотная тепловая волна с длиной 2. В при которых r, а также r.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.