WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 2006, том 48, вып. 7 Наносистемы в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций © Г.И. Миронов Марийский государственный педагогический институт, 424002 Йошкар-Ола, Россия E-mail: mir@mgpi.mari.ru (Поступила в Редакцию 30 сентября 2005 г.) В приближении статических флуктуаций вычисляются антикоммутаторные функции Грина, корреляционные функции, энергии основного состояния для наносистем, состоящих из 2, 3, 4 атомов. Проводится сравнение с результатами точных вычислений.

PACS: 71.10.Fd, 75.10.Jm Последнее десятилетие характеризуется активным результаты. Все эти результаты позволяют надеяться, развитием атомной инженерии (см., например, [1,2]). что приближение статических флуктуаций можно приПрогресс, достигнутый в этой области, позволяет кон- менить и при решении „кластерных“ задач.

струировать и исследовать наносистемы (нанокласте- Цель настоящей работы — вычисление и исследовары), состоящие из небольшого количества одинако- ние одночастичных функций Грина, термодинамических вых атомов [3,4]. Нанокластеры показывают интересные средних и энергии основного состояния в модели Хабсвойства, отличающиеся от свойств массивных образ- барда в приближении статических флуктуаций в случае, цов [3,4]. В частности, эксперименты свидетельствуют о когда модель Хаббарда содержит 2, 3, 4 атома.

том, что энергия такой системы имеет неэкстенсивный характер, она не пропорциональна количеству атомов 1. Нанокластер, состоящий из двух в системе [5]. Для теоретического анализа наносистем, атомов (димер) состоящих из атомов переходных металлов [6,7], используется модель Хаббарда [8].

Гамильтониан Хаббарда в этом случае можно запиВ [9,10] была разработана методика решения модели сать в виде (i, j = 1, 2) Хаббарда [8] в приближении статических флуктуаций, в [11] вычислена и исследована энергия основного соU = ni + B a+ a + ni ni, (1) стояния двухмерной бипартитной модели Хаббарда [12].

i j 2 i, i= j, i, Сравнение полученных в [11] результатов с точным решением одномерной модели Хаббарда [13] показаздесь — собственная энергия электрона; U —энергия ло, что приближение статических флуктуаций довольно кулоновского взаимодействия электронов на одном узле адекватно передает поведение системы, описываемой с разными проекциями спинов; B — интеграл переноса, гамильтонианом Хаббарда, в области как слабых, так описывающий перескоки электронов с узла i на узел j и сильных корреляций. В [11] показано, что в предеза счет тепловых флуктуаций и энергии поля димера;

лах U = 0 и U = энергии основного состояния в ni = a+ ai — оператор числа частиц на узле i решетки i приближении статических флуктуаций [9,10] и в случае со спином (проекцией спина ), = - ; a+, ai — i точного решения [13] совпадают, в области промежуточоператоры рождения и уничтожения электронов на узных значений U имеется хорошее согласие с точным ле i решетки со спином соответственно.

решением. Это позволяет сделать вывод о том, что Ценность гамильтониана (1) заключается в том, что приближение статических флуктуаций хорошо работает в этом случае задача Хаббарда решается точно, причем как в области слабых, так промежуточных и сильных без использования анзатца Бете [13]. Точное решение корреляций, что особенно важно в случае слоистых этой задачи было произведено в [17]. Как показано купратов [12]. В [14,15] в приближении статических в [17], Фурье-образы одночастичных функций Грина флуктуаций была вычислена магнитная восприимчибудут иметь вид (( j = 1, 2), для определенности предвость двумерной двухподрешеточной модели Хаббарда.

положим, что U > 2B, т. е. имеем случай сильных корСравнение результатов, полученных в [15], с точным реляций) решением одномерной модели Хаббарда в магнитном поле [16] выявило, что в частном случае одномерной i 1/4 1/ a+ |a = + модели Хаббарда в присутствии магнитного поля приj j E 2 E - - B E - + B ближение статических флуктуаций и точное решение показывают почти совпадающие как качественно, так и 1/4 1/+ +. (2) количественно (с точностью до постоянного множителя) E - - U - B E - - U + B 10 1300 Г.И. Миронов 1 1 SU U Знаменатели (полюса) функций Грина (5) определяют n1 = + S 1 + f - + SU - tB 2 2 tB энергетический спектр SU U E1,2 = ± B, E3,4 = + U ± B. (3) + 1 - f - + SU + tB tB Вид энергетического спектра (3), получившегося в 1 1 SU U результате точного решения вполне понятен, атомная + - S 1 + f + SU - tB 2 2 tB энергия и энергия + U отдельных атомов при перекрывании волновых функций расщепляются на два SU U + 1 - f + SU + tB, (8) подуровня (по количеству атомов в системе).

tB В случае когда на два атома приходится два элек2B 1 U трона (в случае точно наполовину заполненной зо+ F12 = - S f + SU + tB ны), = -U/2 (см., например, [9]). Следовательно, tB 2 спектр (3) можно переписать в виде U + - f + SU - tB + + S U U 2 E1,2 = - ± B, E3,4 = ± B. (4) 2 U U + + f - + SU + tB - f - + SU - tB, Как было показано ранее, решение модели Хабббарда 2 в приближении статических флуктуаций довольно аде1 1 SU кватно описывает свойства модели Хаббарда. Поэтому с n1n1 = n1 n1 - - S2 1 + 4 4 tB методической точки зрения было бы интересно задачу о димере решить в приближении статических флуктуаций.

U U SU + + f +SU -tB - f - +SU -tB + 1Эта задача была решена в [18]. Было показано, что в 2 2 tB рамках выбранного приближения U U + + i 1/4 1/4 f + SU + tB - f - + SU + tB, a+ |a1 = + 2 E 2 E - - B E - + B tB = (SU)2 + B2, 1/4 1/+ +. (5) -E - - U - B E - - U + B ± f (x) = 1 + exp(±x), = 1/kT.

Аналогичное выражение было получено и для второго Формула (6) будет представлять собой формулу для узла димера. Сравнение приближенного решения (5) и вычисления энергии основного состояния, если в (6) точного решения (2) показывает, что функции Грина температуру T 0. Отметим, что выражение (6) посовпадают. Таким образом, приближение статических лучено для случая, когда на два узла кристаллической флуктуаций при решении двухузельной задачи дает решетки приходится два электрона. Проекция спина S решение, совпадающее с точным решением, что еще раз в (7), (8) и далее определена следующим образом:

подчеркивает, что приближение статических флуктуаций S = n1 - n1 /2. (9) является весьма удачным и плодотворным. Используя решения, полученные для операторов рождения частиц Подставляя в (9) формулы (7), (8), мы получим в [18], можно получить следующее выражение для средсамосогласованное уравнение для определения проекней энергии системы, описываемой гамильтонианом (1):

ции спина S. В случае двух узлов решетки это са мосогласованное уравнение будет иметь при T = 0 и E0 = -U n1 + n1 + BF12 + 2U n1n1, (6) при низких температурах единственное решение S = 0.

Анализ энергии основного состояния проведем далее, где заметим лишь, что основное состояние решетки из двух 1 1 SU U узлов с двумя электронами с энергией (6) является + n1 = - S 1 - f + SU + tB антиферромагнитным.

2 2 tB SU U + + 1 + f + SU - tB 2. Нанокластер, состоящий из трех tB атомов в цепочке 1 1 SU U + + + S 1 - f - + SU + tB Гамильтониан наносистемы, состоящей из трех ато2 2 tB мов, представим в виде SU U + + 1 + f - + SU - tB, (7) = 0 + V, tB Физика твердого тела, 2006, том 48, вып. Наносистемы в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций Полюса функции Грина (12) характеризуют энер0 = (ni + ni) +B a+ a1 + a+ a2 гетический спектр системы. Интересно отметить, что i=уровень энергии -U/2 расщепляется на три подуровня (по количеству атомовв квантовой системе) + a+ a2 + a+ a3, 3 -U/2 - 2 |B|, -U/2, + 2 |B|, подуровни нахо-U/дятся на расстоянии 2 |B| друг от друга. Интересно, V = U nini. (10) что на центральном подуровне электрон может нахоi=диться с вероятностью 1/4, а на подуровнях выше и Первое слагаемое в 0 описывает собственную энерниже с вероятностью два раза меньше — 1/8. Подурогию электронов, второе слагаемое — перескоки элеквень энергии +U/2 аналогичным образом расщепляется тронов с узла на узел, причем электроны с первого и также на три подуровня. Отметим, что функция Грина третьего узлов могут перейти только на второй узел, для третьего узла будет аналогична (12). В случае же а со второго узла —либо на первый, либо на третий второго узла узeл. Слагаемое V описывает кулоновское отталкивание электронов, оказавшихся на одном узле кристалличе1 SU + S 1 - i S2 ской решетки. Проекция спина в (10) принимает два a+ |a2 = U +2BE 2 E - - U + SU + S2U2 + 2Bзначения, =,.

Записав уравнение движения для операторов рожде 1 SU + S 1 + ния, решив получившуюся систему уравнений в прибли- S2 + U +2Bжении статических флуктуаций, получим следующее выE - - U + SU - S2U2 + 2Bражение для Фурье-образа антикоммутаторной функции 1 SU - S 1 - Грина:

S2U2+2B+ E - + SU + S2U2 + 2B i 1 - S a+ |a1 = E 1 SU 2 2 E - - U - S 1 + S2U2+2B+. (13) 1 1 SU E - + SU - S2U2 + 2B - S 1 + 2 S2U2+2B+ E - - U - SU + S2U2 + 2BПодставив в (14) = -U/2, S = 0, получим 1 1 SU - S 1 - 2 S2U2+2Bi 1 + a+ |a2 = E E - - U - SU - S2U2 + 2B2 E - U/2 + 2 |B| 1 1 SU + S 1 + + S 1 2 S2U2+2B+ + + + E - E - - SU + S2U2 + 2B2 E - U/2 + 2 |B| E + U/2 + 2 |B| 1 1 SU + S 1 - 2 S2U2+2B+. (14) +, (11) E + U/2 + 2 |B| E - - SU + S2U2 + 2Bгде S — среднее значение проекции спина на узле Поведение функции Грина (14) на втором узле сурешетки. Функция Грина (11) справедлива для общего щественным образом отличается от (12). Отличие, послучая произвольного значения числа электронов n, видимому, обусловлено тем, что на второй атом могут приходящихся на узел решетки (0 n 2).

переходить электроны как с первого, так и с третьего Нас в первую очередь интересует случай, когда на узла, по этой причине не могут реализоваться устойчикаждый узел „решетки“ в среднем приходится один вые одночастичное состояние с энергией -U/2 и двухчаэлектрон (три узла нанокластера содержат три электростичное состояние с энергией +U/2, тогда как в случае на). Воспользовавшись флуктуационно-диссипационной крайних атомов такие состояния могут реализоваться.

теоремой [19], можно показать, что в этом случае Таким образом, для электронов на втором узле нанокла = -U/2, S = 0. Подставляя полученные выражения стера энергетический спектр представляет собой совов (11), получим купность четырех подуровней энергии: уровень энергии i 1/4 1/8 -U/2 подразделяется на два подуровня -U/2 - 2 |B|, a+ |a1 = + E U U -U/2 + 2 |B|, уровень энергии +U подразделяется /2 - E - + 2 |B| E на подуровни U/2 - 2 |B|, U/2 + 2 |B|. Несиммет1/8 1/ричность (по возможности перехода электронов на со+ + U U седние атомы) в расположении атомов в цепи сказываE + E - - 2 |B| ется на спектре элементарных возбуждений электронов, 1/8 1/находящихся на центральном узле и на периферийных + +. (12) U U узлах.

E + + 2 |B| E + - 2 |B| 2 Физика твердого тела, 2006, том 48, вып. 1302 Г.И. Миронов Среднее значение энергии наносистемы, состоящей из 1 1 SU n2n2 = n2 n2 - - S2 1 + трех атомов в виде цепи, будет выражаться следующим 4 4 tB образом:

U U SU + + f +SU -tB - f - +SU -tB + 1 U 2 2 tB E0 = - 2 n1 + 2 n1 + n2 + n2 + BF U U + U 2 n1n1 + n2n2, (15) + + f + SU + tB - f - + SU + tB, 2 где tB = (SU)2 + 2B2.

1 1 U 1 1 U + n1 = - S f + + S f 2 2 2 2 2 В формулах (16), (17) для множителя на правой стороне равенств выполняется правило 1 SU 1 U + + 1 + - S f + SU - tB 4 tB 2 +1, = =.

1 U + -1, = + + S f - + SU - tB 2 В формулах (15)–(17) и далее проекция спина S 1 SU 1 U + определяется равенством (9). Формула (15) для энергии + 1 - - S f + SU + tB 4 tB 2 основного состояния получена для случая n = 1 — на три узла решетки приходится три электрона. Ес1 U + + + S f - + SU + tB, (16) ли в формулу (9) подставить выражения, вытекающие 2 из (16), то мы получим самосогласованное уравнение для определения проекции спина S. Отметим, что, как 1 1 SU U + n2 = + S 1 - f - SU - tB и в случае двух узлов решетки (см. выше), существует 2 2 tB единственное решение S = 0. Анализ формулы (15) проведем далее, отметим лишь, что основным состоянием SU U + наносистемы в виде цепи, состоящей из трех атомов, + 1 + f - SU + tB tB является антиферромагнитное состояние.

1 1 SU U + + - S 1 - f - - SU - tB 2 2 tB 3. Нанокластер, состоящий из четырех атомов в цепочке SU U + + 1 + f - - SU + tB, (17) tB Гамильтониан системы, состоящей из четырех атомов, запишем в виде:

4B 1 U + F12 = - S f + SU + tB = 0 + V, tB 2 U + 0 = (ni + ni) +B a+ a1 + a+ a2 + a+ a- f + SU - tB + + S 2 1 2 i=U U + + + a+ a3 + a+ a3 + a+ a4, f - + SU + tB - f - + SU - tB, 2 4 2 V = U nini. (18) 1 1 U + n1n1 = n1 n1 - - S2 2 f - 1 i=4 4 Слагаемое 0 в (18) описывает одночастичное состо1 SU U яние электрона на узле решетки и перескоки электронов + + 1 + f + SU-tB 2 tB 2 с узла на узел за счет энергии „кристаллического“ поля наносистемы и энергии тепловых флуктуаций, U 1 SU + слагаемое V — кулоновское взаимодействие электронов, - f - + SU-tB + 1 2 2 tB оказавшихся на одном атоме.

Фурье-образ антикоммутаторной функции Грина для U U + + первого атома в приближении статических флуктуаций f + SU + tB - f - + SU + tB, 2 имеет вид (из-за громоздкости формулы рассмотрим Физика твердого тела, 2006, том 48, вып. Наносистемы в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций частный случай, когда на четыре узла приходится четыре где электрона) 1 5 SU i 1 1 + 1/ n1 = 1 + 1 - - S a+ |a1 = E 4 5 tB 2 E - U/2 - 6 - 2 5|B|/ U 1 U + + f + SU +tB + + S f - + SU +tB 1 + 1/ 5 1 + 1/ 2 2 + + E +U/2- 6-2 5|B|/2 E -U/2+ 6-2 5|B|/ SU 1 U + + 1 + - S f + SU - tB tB 2 1 + 1/ 5 1 - 1/ + + 1 U 1 E +U/2+ 6-2 5|B|/2 E -U/2- 6+2 5|B|/2 + + + S f - + SU - tB + 1 2 2 4 1 - 1/ 5 1 - 1/ + + SU 1 U + E +U/2- 6+2 5|B|/2 E -U/2+ 6+2 5|B|/2 1 - - S f + SU + tB tB 2 1 - 1/ 1 U + +. (19) + + S f - + SU + tB E + U/2 + 6 + 2 5|B|/2 2 SU 1 U В этом случае возникает более сложная ситуация, + + 1 + - S f + SU - tB когда атомные уровни энергии +U/2 и -U/2 расщеп- tB 2 ляются на четыре подуровня каждая. Анализ функции 1 U + Грина и энергетического спектра проводится аналогично + + S f - + SU - tB, 2 тому, как это сделано в случае двух и трех узлов.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.