WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Чтобы вычислить интеграл в (15), необходимо анали- Так, для n = 3 отличие полученной нами оценки g от тически продолжить борелевский образ F(y) искомой более точных не превышает 0.001. Другим аргументом функции за пределы круга сходимости. Для этого можно в пользу эффективности этой техники может служить использовать аппроксиманты Паде [L/M], представляю- тот факт, что численные оценки, даваемые основными щие собой отношения полиномов PL(y) и QM(y) порядков ”рабочими” аппроксимантами [3/3] и [4/2], оказались L и M, коэффициенты которых определяются однозначно, очень слабо зависящими от параметра b. Это хорошо если L + M + 1 совпадает с числом известных членов иллюстрирует рис. 2, на котором показаны зависимости ряда и QM(0) = 1. Установлено, что наилучшими ап- g(b) для n = 3 и 10, полученные при использовании пяпроксимирующими свойствами обладают диагональные ти различных аппроксимант Паде. Видно, что для n = Физика твердого тела, 1998, том 40, № 1288 А.И. Соколов Координаты фиксированной точки g, критический индекс и универсальные значения константы связи g6 для 1 n g g [9] g [7] g [8] g g [13] g(1/n) 6 6 n 1 2 3 4 5 6 7 1 1.419 0.781 1.401 1.416 1.414 1.622 1.925 ± 0.2 1.4075 0.780 1.394 1.406 1.405 1.236 1.268 ± 0.3 1.392 0.780 1.383 1.392 1.391 0.956 0.933 ± 0.197 2.4 1.3745 0.783 1.369 0.751 0.621 ± 0.146 1.5 1.3565 0.788 1.353 0.599 1.6 1.3385 0.793 1.336 0.485 0.7 1.321 0.800 1.319 0.398 0.8 1.3045 0.808 1.303 0.331 0.9 1.289 0.815 1.288 0.278 0.10 1.2745 0.822 1.274 0.236 0.12 1.2487 0.836 1.248 0.175 0.14 1.2266 0.849 1.226 0.134 0.16 1.2077 0.861 1.207 0.105 0.18 1.1914 0.871 1.191 0.0847 0.20 1.1773 0.880 1.1768 0.0694 0.24 1.1542 0.896 1.1538 0.0488 0.28 1.1361 0.909 1.1359 0.0361 0.32 1.1218 0.919 1.1216 0.0276 0.36 1.1099 0.927 1.1099 0.0218 0.40 1.1003 0.934 1.1003 0.0176 0.при изменении b от 5 до 15 значения g, вычисленные должны улучшаться. При n = 1 суммирование разна основе аппроксимант [3/3] и [4/2], увеличились всего ложения (16) методом Паде–Бореля с использованием на 0.0015, а для n = 10 их рост на интервале 0 < b < 15 диагональной аппроксиманты [1/1] привело к оценке составил уже менее 0.0003. Поскольку сами координаты g = 1.622 [16], которая лишь на 0.018 отличается от фиксированной точки, даваемые аппроксимантами [3/3] результата g = 1.604 [18], полученного в пятипети [4/2], практически совпадают друг с другом (рис. 2), левом приближении. Как отмечалось выше, близость очевидно, что погрешности определения g во всяком этих чисел не случайна и отражает быструю сходимость случае не должны превышать приведенных выше диапа- итерационного процесса. В такой ситуации совершенно зонов изменений этих величин. естественно применить апробированную ранее технику В следующем разделе уточненные значения координа- суммирования для расчета g при произвольных n. Итак, ты нетривиальной фиксированной точки будут исполь- построив ряд для борелевского образа функции g6(g) согласно (15), аналитически продолжив его сумму с зованы для нахождения критических асимптотик g6 при помощью аппроксиманты Паде [1/1] и подставив в реразличных n.

зультирующее выражение g = g, нетрудно получить универсальные критические значения g6. Найденные 3. Универсальные значения таким образом числа приведены в столбце 6 таблицы.

Учитывая сказанное выше, можно утверждать, что эти эффективной константы связи gвеличины отличаются от значений g, даваемых пятиИтак, перейдем к определению универсальных крити- петлевым РГ разложением, не более чем на 1.1%. С другой стороны, точные значения g должны лежать ческих значений g6. Выразим, используя формулы (12) между четырех- и пятипетлевыми оценками, так как ряд и (14), константу связи g6 через заряд g для g6 является знакопеременным. Поскольку при n = 82 n + 26 2(17n + 226) четырехпетлевое приближение ведет к g = 1.596 [17], g6 = g3 1 - g отличия чисел в столбце 6 таблицы от истинных крити3 (n + 8)3 3(n + 8)(n + 26) ческих значений g6 не могут превышать 1.6%.

(1.065025n2 + 157.42454n + 1323.09596) Интересно сравнить найденные величины с теми, кото+ g2. (16) (n + 8)2(n + 26) рые были получены Рейсом для n = 1, 2, 3, 4 с помощью решеточных разложений [13]. Соответствующие числа С ростом n коэффициенты при g и g2 в (16) убывают, приведены в столбце 7. Видно, что, хотя результаты и, кроме того, как видно из таблицы, уменьшается сам работы [13] заметно отличаются от наших, прямого параметр разложения g. Следовательно, аппроксими- противоречия (за исключением случая n = 1) между рующие свойства этого ряда по мере увеличения n ними нет. Второй интересный момент — сопоставление Физика твердого тела, 1998, том 40, № Универсальные эффективные константы связи для обобщенной модели Гейзенберга В заключение следует сделать еще одно замечание, касающееся точности полученных результатов. Погрешность определения g, не превышающая 1.6%, безусловно, может считаться достаточно малой. С другой стороны, техника эксперимента в последние годы развивается настолько стремительно, что в настоящее время имеется возможность измерять критические индексы с точностью до четырех десятичных знаков [27,28]. Не исключено, что аналогичный уровень точности будет скоро достигнут и при экспериментальном определении уравнений состояния систем, описываемых моделью (1).

Поэтому весьма желательным является расчет g в следующем порядке перенормированной теории возмущений. Конкретно, учет четырехпетлевого вклада в gпозволил бы уменьшить погрешность при вычислении ее универсального критического значения по крайней мере в 3 раза. В то же время расчеты g6 в пятипетлевом и более высоких РГ приближениях в настоящее время, по-видимому, лишены смысла. Дело в том, что даже при n = 1 разность четырех- и пятипетлевой оценок для g столь мала, что она полностью перекрывается при варьировании координаты фиксированной точки g в пределах погрешности ее определения. Поэтому учет пятипетлевого вклада в g6 может реально повысить точность, с которой вычисляется g, только при условии, что само универсальное значение заряда g находится, как минимум, из семипетлевого разложения для -функции.

Это разложение пока неизвестно.

Рис. 2. Координаты нетривиальной фиксированной точки для Я благодарен студенту С.С. Каштанову за проведение n = 3 и 10, вычисленные методом Паде–Бореля–Леруа с некоторых контрольных вычислений.

использованием аппроксимант Паде пяти различных типов, как Работа выполнена при поддержке Фонда интеллекфункции параметра b.

туального сотрудничества (Санкт-Петербург) в рамках Российской научно-технической программы ”Фуллерены и атомные кластеры” и Министерства общего и професполученных оценок для g с теми, которые дает метод сионального образования РФ (грант 97-14.2-16).

1/n-разложения. Суммируя все вклады порядка 1/n2, т. е.

заменяя в первом графике рис. 1 ”голые” вершины на Список литературы суммы лестничных диаграмм, получим [1] N.D. Mermin, G. Stare. Phys. Rev. Lett. 30, 11, 1135 (1973).

82 [2] А.И. Соколов. ЖЭТФ 78, 5, 1985 (1980).

g = + O. (17) 3n2 n[3] J.A. Sauls, J.W. Serene. Phys. Rev. D17, 6, 1524 (1978).

[4] А.И. Соколов. ЖЭТФ 79, 4(10), 1137 (1980).

Численные значения g, даваемые этой формулой, при6 [5] F. Wilczek. Int. J. Mod. Phys. A7, 3911 (1992).

ведены в последнем столбце таблицы. Сравнивая зна[6] K. Rajagopal, F. Wilczek. Nucl. Phys. B 399, 2–3, 395 (1993).

чения, приведенные в столбцах 6 и 8, легко можно [7] G.A. Baker, B.G. Nickel, D.I. Meiron. Phys. Rev. B17, 3, увидеть, что, будучи примененным для нахождения g, (1978).

[8] J.C. Le Guillou, J. Zinn-Justin. Phys. Rev. Lett. 39, 2, 1/n-разложение работает значительно хуже, чем при (1977).

вычислении координаты фиксированной точки и кри[9] S.A. Antonenko, A.I. Sokolov. Phys. Rev. E51, 3, 1894 (1995).

тических индексов. Действительно, если в последнем [10] C. Bagnuls, C. Bervillier. Phys. Rev. B41, 1, 402 (1990).

случае уровень точности в 1% достигается уже при [11] N. Tetradis, C. Wetterich. Nucl. Phys. B 422, 3, 541 (1994).

n = 28 [9], то при расчете g даже для n = [12] M.M. Tsypin. Phys. Rev. Lett. 73, 15, 2015 (1994).

точность оценок, получаемых в рамках 1/n-разложения, [13] T. Reisz. Phys. Lett. B 360, 1, 77 (1995).

оказывается ниже 6%. Почти точное совпадение величин [14] А.И. Соколов. ФТТ 38, 2, 640 (1996).

g из столбцов 6 и 8 при n =14 не меняет сделанного 6 [15] S.Y. Zinn, S.N. Lai, M.E. Fisher. Phys. Rev. E54, 2, заключения, поскольку при этом значении n просто (1996).

происходит пересечение кривых g(n), даваемых пере- [16] A.I. Sokolov, V.A. Ul’kov, E.V. Orlov. J. Phys. Studies 1, 3, суммированным РГ разложением (16) и формулой (17). 362 (1997).

Физика твердого тела, 1998, том 40, № 1290 А.И. Соколов [17] A.I. Sokolov, E.V. Orlov, V.A. Ul’kov. Phys. Lett. A 227, 3, (1997).

[18] R. Guida, J. Zinn-Justin. Nucl. Phys. B 489, 3, 626 (1997).

[19] T.R. Morris. Nucl. Phys. B 495, 3, 477 (1997).

[20] P. Butera, M. Comi. Phys. Rev. E55, 6, 6391 (1997).

[21] M.M. Tsypin. Phys. Rev. B55, 14, 8911 (1997).

[22] G.A. Baker, N. Kawashima. Phys. Rev. Lett. 75, 6, 994 (1995).

[23] G.A. Baker, N. Kawashima. J. Phys. A29, 7183 (1996).

[24] А.И. Соколов. ЖЭТФ 77, 4(10), 1598 (1979).

[25] B.G. Nickel, D.I. Meiron, G.A. Baker, Jr. Compilation of 2-pt and 4-pt graphs for continuous spin model. University of Guelph Report (1977).

[26] Дж. Бейкер, П. Грейвс-Моррис. Аппроксимации Паде.

Мир, М. (1986).

[27] S. Goldner, G. Ahlers. Phys. Rev. B45, 22, 13 129 (1992).

[28] J.A. Lipa, D.R. Swanson, J.A. Nissen, T.C.P. Chui, U.E. Israelsson. Phys. Rev. Lett. 76, 6, 944 (1996).

Физика твердого тела, 1998, том 40, №

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.