WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Физика и техника полупроводников, 2002, том 36, вып. 10 Зависимость акустического рассеяния квазидвумерных электронов от параметров сверхрешетки типа GaAs / AlxGa1-xAs © С.И. Борисенко¶ Сибирский физико-технический институт им. В.Д. Кузнецова, 634050 Томск, Россия (Получена 8 января 2002 г. Принята к печати 21 марта 2002 г.) Проведен численный анализ времени релаксации квазидвумерных электронов сверхрешетки GaAs/AlxGa1-x As при рассеянии на акустических фононах в зависимости от ширины квантовой ямы, толщины и высоты потенциального барьера. Вероятность рассеяния электронов нижней минизоны рассчитывалась с приближенной огибающей волновой функцией, не учитывающей дисперсию периодической части функции Блоха по волновому вектору. Проведен сравнительный анализ рассчитанных значений времени релаксации со значением, полученным по известной приближенной формуле.

1. Введение вым вектором k в состояние с k можно представить в виде Как известно [1–3], многие специфические и электриNz /2 ческие свойства сверхрешеток (СР) с квазидвумерным 2 w(k, k ) = |Un(k z, kz )|2 (k ) - (k), (2) электронным газом проявляются в области низких темn=-Nz /2 ператур, при которых основным механизмом рассеяния на колебаниях решетки является рассеяния на акустичегде Nz — число периодов СР, ских (АК) фононах. Обычно для расчета подвижности, определяемой этим рассеянием, используется известная 2 k2 формула для времени релаксации [3–5] (k) = + 1 - cos(kz d) (3) 3 2m 2 2 a cL =, (1) 3 mD2k0T — энергия электронов нижней минизоны в приближеc где a — ширина прямоугольной квантовой ямы (КЯ) нии сильной связи, d —период СР, сверхрешетки, cL — модуль упругости продольных d/2 акустических колебаний, Dc — константа деформаци- 1 онного потенциала у дна зоны проводимости, m — Un(k z, kz ) = ei2nz /dCu uk dz, (4) k z z d эффективная масса электронов. Константы cL, Dc, m -d/2 имеют те же значения, что и в полупроводнике, из которого состоит КЯ. Время релаксации, определяемое C = Dc k0T /cL — параметр взаимодействия электроэтой формулой, зависит только от ширины КЯ, так как нов с фононами, имеющий в приближении объемного она получена с учетом огибающей волновой функции фононного спектра различное значение для квантовой для носителей заряда, соответствующей бесконечно глуямы и барьера, uk (z ) — периодическая по периоду СР z бокой квантовой яме. В связи с этим возникает вопрос часть огибающей функции Блоха.

о применимости этой формулы к анализу подвижности Для расчета выражения (4) обычно используют прив СР с достаточно узкими барьерами, высота которых ближение сильной связи, в котором функция uk (z ) z сравнима с энергией электронов нижней (основной) представляется в виде суммы Блоха по нижнему локаминизоны.

лизованному состоянию бесконечно глубокой КЯ [4,5];

В данной работе предложен метод расчета времени релаксации квазидвумерных электронов на дефорz uk (z ) = e-ik (z -dn)(z - dn), (5) мационном потенциале акустических фононов с огиz n бающей волновой функцией, учитывающей конечную высоту и ширину потенциальных барьеров сверхре где (z ) = d/a cos(z /a) — нормированная на период шетки. Проведен численный анализ зависимости вреСР функция, отличная от нуля в области КЯ при мени релаксации от конструктивных параметров СР -a/2 z a/2. С учетом функции (5) интеграл в (4) GaAs/AlxGa1-x As.

принимает аналитическое выражение 2. Методика расчета Un(k z, kz ) =U(qn) =CS(qn) В приближении сильной связи вероятность упругого 2 sin(aqn/2) = C, (6) рассеяния квазидвумерных электронов нижней минизо(aqn/2)[2 - (aqn/2)2] ны СР на акустических фононах из состояния с волно¶ E-mail: sib@elefot.tsu.ru где qn = k z - kz + 2n/d.

1238 С.И. Борисенко Рассчитаем продольное и поперечное относительно A и B — нормировочные константы, равные оси СР время релаксации по известной формуле:

a b B = A cos k /ch, i(k ) 2 i-1() = w(k, k) 1 -, (7) i(k) k 1 1 1 B = a + sin ak + b + sh(b). (12) где индекс i означает или, i(k) = i(k)/ — A2 2d k A компонента скорости электрона вдоль оси i. Учитывая С учетом (10) формулу (7) для продольного и поперечформулы (2), (3), (6) и используя квазидвумерное приного времени релаксации можно представить в виде ближение ( k0T, E = k2 /2m), получаем = = = 0, (13) - (E) =CAC |S(x)|2dx, где (a, b, x) есть функция ширины КЯ, толщины и высоты (параметр сплава x) ПБ:

2a d a-1 = S2, n -1(E) =CAC |S(x)|2[1 - cos 2 x ]dx, (8) 3d a n=d/где интегрирование идет по безразмерной переменной 1 1 CAC Sn = Un(k z, kz ) = ei2nz /d u2(z )dz. (14) x = aq/2, Ca d Ca 2mCa -d/CAC =, a С учетом четности функции u0(z ) и независимости Ca = C при значениях параметров, соответствующих величины CAC в пределах КЯ и ПБ от координаты КЯ. Интегралы в формулах (8) с учетом (6) имеют формулу для Sn можно представить в виде аналитическое выражение, что приводит к известной формуле (1):

2 B Cb Sn = A2 San + Sbn, (15) d A Ca - = -1 = 0-1 = CAC. (9) где a/Согласно формуле (9), время релаксации квазидвумер2n San = cos2 kz cos z dz, ных электронов СР на акустических фононах является d изотропным, зависит только от параметров объемного полупроводника КЯ и ее ширины.

d/d 2n В реальных СР время релаксации должно зависеть от Sbn = ch2 - z cos z dz (16) высоты и ширины потенциальных барьеров, так как их 2 d a/значения конечны, а не бесконечны, как предполагалось — интегралы, имеющие аналитическое выражение, при выводе формулы (9). Чтобы найти эту зависимость Cb —константа C при значениях параметров, соответи оценить применимость формулы (9) к реальным СР ствующих потенциальному барьеру.

типа GaAs/AlxGa1-x As, в качестве функции uk (z ) предz лагается использовать периодическую часть огибающей функции Блоха СР при kz = 0, рассчитанную в модели 3. Численный анализ Кронига–Пенни:

Численный анализ времени релаксации по формуuk (z ) u0(z ) z ле (13) был проведен для СР GaAs/Alx Ga1-xAs. Расчет d d a проводился при следующих значениях параметров [6]:

z -, Bch 2 + z, - 2 для GaAs a = A cos(kz ), |z |, (10) m = 0.066m0, Dc = 17.5эВ, cL = 14.4 · 1010 Н/м2;

Bch[ d - z ], a z d, 2 2 для сплава Alx Ga1-xAs где k = 2maE0/, = 2mb(V - E0)/, V и b — m =[0.066 + x(0.0174 + 0.145x)]m0, Dc = 17.5эВ, высота и ширина потенциальных барьеров (ПБ), ma c11 =(12.21 + 0.14x)1010 Н/м2, и mb — эффективные массы электронов в КЯ и ПБ;

E0 — энергия, соответствующая дну нижней минизоны c12 =(5.66 + 0.32x)1010 Н/м2, СР, значение которой является решением секулярного c44 =(5.99 - 0.05x)1010 Н/м2;

уравнения для высоты потенциального барьера b a kma b a sh cos k - ch sin k = 0; (11) V = 0.6x(1.18 + 0.4x) эВ.

2 2 ma 2 Физика и техника полупроводников, 2002, том 36, вып. Зависимость акустического рассеяния квазидвумерных электронов от параметров сверхрешетки типа... между функцией u0(z ) и функцией (z ) для бесконечно глубокой КЯ.

На рис. 2 представлены зависимости параметра = /0 от ширины КЯ при различных значениях толщины потенциального барьера b для CР c x = 0.36.

Из графиков, приведенных на этом рисунке, следует, что при постоянном значении b существует заметная дисперсия параметра от ширины КЯ, которая имеет в общем случае немонотонный характер. При значениях b < 5 нм время релаксации существенно превышает 0. На рис. 3 представлены зависимости параметра от толщины потенциального барьера b при различных значениях ширины КЯ для СР с x = 0.36. Из рисунка следует, что с ростом b при постоянной величине a Рис. 1. Зависимости квадрата модуля огибающей волновой функции ||2 от координаты z для сверхрешетки при a = b = 5нм и x = 0.36. 1–3 соответствуют функциям:

1 — |u0(z )|2, 2 — |u/d(z )|2, 3 — |(z )|2.

Рис. 3. Зависимости функции /0 от толщины потенциального барьера сверхрешетки b при x = 0.36. Ширина квантовой ямы a, нм: 1 – 3, 2 —5, 3 — 10.

Рис. 2. Зависимости функции /0 от ширины квантовой ямы сверхрешетки a при x = 0.36. Ширина потенциального барьера b, нм: 1 —3, 2 —5, 3 —6, 4 —7, 5 — 10.

Применимость для рассматриваемой СР приближения (10), пренебрегающего дисперсией периодической части огибающей функции Блоха по kz, продемонстрирована на рис. 1. На этом рисунке приведены зависимости квадрата модуля функции u0(z ), рассчитанной по формулам (10)–(12), и функции uk (z ), рассчитанной z в модели Кронига–Пенни при максимальном значении kz = /d [7]. Обе функции рассчитаны для симметричной СР при a = b = 5нм и x = 0.36. Из рисунка Рис. 4. Зависимости функции /0 от периода симметричной следует, что различие между указанными функциями сверхрешетки d при значениях параметра сплава x: 1 — 0.15, действительно невелико, по сравнению с различием 2 — 0.25, 3 — 0.35.

Физика и техника полупроводников, 2002, том 36, вып. 1240 С.И. Борисенко время релаксации монотонно убывает. Зависимости параметра от периода сверхрешетки d для симметричной СР (a = b) при различных значениях параметра сплава представлены на рис. 4. Согласно этому рисунку, с увеличением параметра сплава, т. е. прежде всего с ростом высоты потенциального барьера, при постоянных значениях толщины ПБ и ширины КЯ время релаксации монотонно убывает.

4. Заключение Проведенный численный анализ показывает, что время релаксации квазидвумерных электронов сверхрешетки GaAs/Alx Ga1-xAs на акустических фононах при уменьшении толщины и высоты потенциального барьера увеличивается. Учет этой зависимости может существенно изменить расчетное значение подвижности носителей заряда, полученное с помощью приближенной формулы (1).

Список литературы [1] A.A. Dremin, V.B. Timofeev, D. Birkedal, J.M. Hvam. Phys. St.

Sol. A, 164, 557 (1997).

[2] T.P. Pearsall, A. DiVergilio, G. Pierre, M. Duncan, P. Hartmut, K. Erich, W. Jager, S. Dirk. Appl. Phys. Lett., 72, 76 (1998).

[3] Ю.В. Иванов, М.В. Ведерников, Ю.И. Равич. Письма ЖЭТФ, 69, 290 (1999).

[4] L. Fridman. Phys. Rev. B, 32, 955 (1985).

[5] B.K. Ridley. J. Phys. C, 15, 5899 (1982).

[6] Landolt-Brnstein. Numerical Date and Functional Relationships in Science and Technology, ed. by O. Madelung (Berlin, Springer Verlag, 1987) New Series III, v. 22 a.

[7] С.И. Борисенко, Г.Ф. Караваев. ФТП, 32, 607 (1998).

Редактор Т.А. Полянская Acoustic scattering dependence of quasi-2D electrons on parameters of a superlattice of GaAs/Alx Ga1-xAs type S.I. Borisenko Siberian Physical and Technical Institute, 634050 Tomsk, Russia

Abstract

Numerical analysis has been made of a acoustic phonon scattering relaxation time of quasi-2D electrons of a GaAs/Alx Ga1-x As superlattice as a function on the quantum well width as well as on the thickness and height of the potential barrier.

The scattering probability of electrons of the lower minizone has been calculated with an approximate envelope wave function, which does not take into account dispersion of a periodic part of the Bloch function due to wave vector. Comparative analysis of the relaxation time calculated and that obtained with the help of well-known approximate formula is carried out.

Физика и техника полупроводников, 2002, том 36, вып.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.