WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика и техника полупроводников, 2006, том 40, вып. 10 Моделирование вольт-фарадных характеристик гетероструктур с квантовыми ямами с помощью самосогласованного решения уравнений Шредингера и Пуассона © В.И. Зубков¶ Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет „ЛЭТИ“, 197376 Санкт-Петербург, Россия (Получена 15 февраля 2006 г. Принята к печати 6 марта 2006 г.) Работа посвящена развитию методов расчета вольт-фарадных характеристик и определения профиля концентрации свободных носителей заряда в полупроводниковых легированных гетероструктурах, содержащих квантовую яму. Расчет вольт-фарадной характеристики гетероструктуры с квантовой ямой осуществляется с помощью численного самосогласованного решения уравнений Пуассона и Шредингера в рамках единого квантовомеханического подхода. Предложенный метод применен для моделирования и анализа экспериментальных вольт-фарадных характеристик гетероструктур с напряженными квантовыми ямами InGaAs/GaAs.

PACS: 73.21.Fg, 73.40.Cg 1. Введение В работе [2] модифицированный анализ Кремера был применен для определения разрывов зон в одиночС широким внедрением в материаловедение численной квантовой яме (КЯ). Процедура определения EC ных расчетов моделирование вольт-фарадных характесостояла из трех шагов: на первом шаге находилась ристик полупроводниковых гетероструктур стало весьма высота потенциального барьера на гетеропереходе, на эффективным инструментом для определения ключевых втором — средняя плотность электронов в яме, на параметров гетероструктур — величины разрыва энергетретьем находилась величина EC из стандартного тических зон, геометрического положения гетероперехотрансцендентного уравнения для квантовомеханической да, распределения свободных носителей заряда, уровней задачи с прямоугольной ямой (формула (4) в [2]).

размерного квантования в ямах и т. д.

Такая процедура приводит к существенной погрешноТрадиционный подход к расчету вольт-фарадных хасти в определении разрыва зон, поскольку в легированрактеристик гетероструктур ведет начало от известной ной гетероструктуре с концентрацией носителей заряработы Кремера и др. [1], в которой моделировался да 1016 см-3 и выше происходит сильная модификация резкий изотипный n-n-гетеропереход. Величина разрыва электростатического потенциала вблизи квантовой ямы зоны проводимости EC на гетерогранице определялась по сравнению с прямоугольным приближением, что, в из электростатического дипольного момента, связанного свою очередь, вызывает сильное смещение энергетичес небалансом заряда, определяемым расхождением межских уровней квантования и значительное перераспредеду предположительно известным распределением конление концентрации подвижных носителей заряда.

центрации легирующей примеси N(x) и найденным из Выйти за приближение прямоугольной квантовой ямы экспериментальной вольт-фарадной зависимости „кажупри расчете вольт-фарадной характеристики легированщимся“ профилем распределения основных носителей ной гетероструктуры с КЯ возможно с помощью самосозаряда n(x), с использованием соотношения гласованного решения уравнений Пуассона и Шрединге e2 n2NC1 ра. При этом в результате процедуры самосогласования EC = [N(x)- n(x)](x - x )dx - kT ln.

j n1NC2 возможно определить как реальный вид потенциала, так и точный профиль концентрации подвижных носителей (1) заряда в области квантовой ямы. Этот подход был Здесь N(x) — распределение ионизованных доноров применен в [3,4]. В этих работах отдельно рассматрива(считается известным), n1,2 — асимптотические вели- лись связанные в квантовой яме состояния и свободный чины легирования слева и справа вдали от гетероперетрехмерный электронный газ над ямой с последующим хода, NC1, NC2 — эффективная плотность состояний в суммированием полной концентрации электронов. Это соответствующей зоне проводимости, e — заряд элексправедливо для прямоугольного вида потенциальной трона, T — температура, k — постоянная Больцмана, энергии. Однако в легированной полупроводниковой — диэлектрическая проницаемость, x —положение j наноструктуре имеет место значительный изгиб энергетероперехода. При расчете предполагалось однородное гетических зон вблизи гетеропереходов из-за наличия легирование по обеим сторонам с резким скачком легисильного кулоновского отталкивания. Этот изгиб формирования при x = x.

j рует дополнительные энергетические барьеры. Поэтому ¶ E-mail: VIZubkov@mail.eltech.ru между связанными и свободными состояниями возникаМоделирование вольт-фарадных характеристик гетероструктур с квантовыми ямами... ет промежуточный класс квазирезонансных состояний, и простое суммирование двумерных (2D) и трехмерных (3D) электронов приводит к затруднениям в сшивке решений [3] и систематической погрешности в расчетах.

Настоящая работа посвящена развитию методов расчета вольт-фарадных характеристик и определения профиля концентрации свободных носителей заряда в полупроводниковых легированных гетероструктурах, содержащих квантовую яму. Расчет вольт-фарадной характеристики гетероструктуры с КЯ осуществляется с помощью численного самосогласованного решения уравнений Пуассона и Шредингера в рамках единого квантовомеханического подхода. Предложенный метод применен для моделирования экспериментальных вольтРис. 1. Модель квантового ящика для самосогласованного фарадных характеристик гетероструктур с напряженнырешения уравнений Шредингера и Пуассона: 1 — концентрами квантовыми ямами InGaAs/GaAs.

ция носителей заряда, рассчитанная из уравнения Шредингера;

2 — концентрация носителей заряда, рассчитанная в квазиклассическом приближении; 3 — профиль дна зоны проводи2. Концепция самосогласованного мости в области квантовой ямы. 9W — ширина квантового расчета ящика (W — ширина ямы).

Расчет вольт-фарадных характеристик гетероструктур с квантовой ямой базируется на численном самосоглаквантовой ямой нами предлагается использовать модель сованном решении одномерного уравнения Пуассона „квантового ящика“ с идеально твердыми стенками, d d(x) на которых волновая функция обращается в нуль [7] + 0 (x) = e ND(x) - n(x) (2) (рис. 1). В рамках данной модели концентрация ноdx dx сителей заряда рассчитывается следующим образом: в и одномерного уравнения Шредингера в приближении центральной части ящика, содержащей квантовую яму, эффективной массы в форме БенДаниэла–Дюка [5] где эффективно проявляется размерное квантование, используется непосредственный численный расчет урав d 1 d нения Шредингера (3), а в приграничных областях - i(x) + V (x)i(x) =Eii(x). (3) 2 dx m(x) dx ящика и вне его используется квазиклассический подход с расчетом концентрации свободных носителей заряда + В уравнениях (2), (3) ND — концентрация ионизоиз интеграла Ферми с учетом изгиба зон как ванных доноров, m(x) — зависящая от координаты эффективная масса электрона, Ei —энергия i-го уровня 2 EC - EF - e(x) n(x) =NC F1/2 -, (4) квантования, i(x) — волновая функция электрона на kT соответствующем уровне, V (x) — профиль потенциальной энергии, учитывающий величину разрыва зоны где NC — эффективная плотность состояний в зоне проводимости на гетеропереходе.

проводимости, EF — энергия уровня Ферми. Размеры Численное решение представляет собой итерацион- квантового ящика выбирались обычно в 9 раз больше ную процедуру „поле–частицы“, на каждом этапе ко- ширины КЯ, при этом сама КЯ помещалась в центр торой производится последовательное решение данных квантового ящика.

дифференциальных уравнений для нахождения уточнен- Для численного решения стационарного уравнения ного распределения электростатического потенциала и Шредингера (3) был выбран метод „стрельбы“ (shooting профиля основных носителей заряда [6]. Критерием method). Он существенно экономит время вычислений, получения точного решения является достижение макси- поскольку позволяет выбирать отдельные собственные мальной величины поправки к потенциалу на очередной значения, легко работает на неравномерной сетке и итерации, не превышающей заданной малой величи- прост в реализации. На границах расчетной области (на ны ( 10-8 B).

краях ящика) волновой функции задавались граничные условия по Дирихле 3. Расчет концентрации носителей 0 = 0, N = 0.

заряда По окончании расчета полученные волновые функции Для корректного расчета распределения связанных нормировались.

и свободных носителей заряда в реальном потенциа- Решение одномерного уравнения Шредингера (3) дает ле легированной полупроводниковой гетероструктуры с дискретные уровни энергии Ei в перпендикулярном Физика и техника полупроводников, 2006, том 40, вып. 1238 В.И. Зубков Сопоставление точности метода „стрельбы“ с известным аналитическим решением уравнения Шредингера для прямоугольной квантовой ямы [9] показало, что при величине шага координатной сетки, равной 1, значение положения уровня квантования определяется с погрешностью, не превышающей 1 мэВ.

4. Расчет распределения электростатического потенциала Поскольку в уравнении Пуассона (2) концентрация свободных носителей заряда n(x) является функцией от (x), его необходимо предварительно линеаризовать, т. е. представить электростатический потенциал (x) в виде начального приближения и поправки:

(x) =0(x) + (x). Первое начальное приближение берется в виде потенциала обедненного слоя Шоттки Рис. 2. Концентрация электронов в первой подзоне (n1) иниж(с приложенным обратным смещением U) них 15 подзонах размерного квантования (ni) в относительных единицах в зависимости от обратного смещения U. T = 300 K.

x 0(x) =U 1 - (6) w плоскости слоев направлении. Для расчета концентра- во всей расчетной области. Здесь w = + ции носителей заряда в области ямы необходимо при- = 20(U - Ubi)/qND — ширина области объемного нять во внимание, что в двух других направлениях заряда в приближении резкой границы [10], а Ubi — в плоскости ямы электроны движутся как свободные, встроенный потенциал на барьере Шоттки ( 0.7B для формируя подзоны размерного квантования [8]. Концен- GaAs).

трация подвижных носителей заряда находится инте- Решение уравнения Пуассона проводилось численно грированием по состояниям подзоны с учетом распре- методом Ньютона относительно поправки (x). При деления Ферми–Дирака. Таким образом, согласно [4,8], решении уравнения учитывались концентрации свободлокальная концентрация основных носителей заряда ных электронов и ионизованных доноров. На концах (электронов) в области ямы пропорциональна квадрату расчетной области были заданы граничные условия волновой функции и находится из выражения (0) =U + Ubi, (L) =0. (7) mkT EF - Ei n(x) = ln 1 + exp |i(x)|2, (5) На обоих гетеропереходах выполнялось условие сшив 2 i kT ки электростатического потенциала причем суммирование проводится по всем подзонам db dw b = w, (8) размерного квантования. Согласно [7], если размеры dx dx ящика велики по сравнению с характерными для данной где индексы b и w относятся к барьеру и яме.

задачи размерами (шириной КЯ), то собственные знаВ результате дискретизации уравнения Пуассона была чения, которые в отсутствие ящика были дискретными, получена система линейных уравнений с трехдиагональпрактически не изменяются, так как до введения стенок ной матрицей, которая решалась методом одномерной волновые функции в этих местах были чрезвычайно прогонки относительно поправки к потенциалу.

малы. Что же касается собственных значений, которые Уровень Ферми в структуре с квантовой ямой факпри отсутствии ящика были распределены непрерывно, тически определяется свойствами широкозонного матеони становятся дискретными, очень близко расположенриала (барьера), и квантовая яма на его положение не ными друг к другу, и их волновые функции можно оказывает существенного влияния. В широкозонном манормировать в области конечного объема. С увелитериале n-типа проводимости положение уровня Ферми чением номера уровня i концентрация электронов в определялось из уравнения электронейтральности соответствующей подзоне резко падает. Для уверенной сходимости решения всего в расчете достаточно было + Nd = n. (9) учитывать 16 нижних уровней квантового ящика (рис. 2).

Как видно, концентрация носителей во второй подзоне В уравнении (9) не учитываются дырки, так как при на полтора порядка меньше концентрации в первой выбранной температуре (T = 300 K) их вклад в электроподзоне, а ее относительная величина в 16-й подзоне проводность ничтожен. Концентрация электронов рассоставляет всего 10-7. считывалась из интеграла Ферми (4).

Физика и техника полупроводников, 2006, том 40, вып. Моделирование вольт-фарадных характеристик гетероструктур с квантовыми ямами... тического потенциала в структуре. При смыкании областей пространственного заряда под барьером Шоттки и вблизи гетероперехода уровни размерного квантования начинают постепенно выталкиваться в область квазирезонансов. При больших обратных смещениях (|U| > 4В) все уровни оказываются в области континуума.

5. Построение вольт-фарадной характеристики Для расчета вольт-фарадной характеристики применен квазистатический подход [11]. Значение емкости определялось как отношение приращение заряда к приРис. 3. Дно зоны проводимости и уровни квантования в изоращению напряжения:

типной n-n-гетероструктуре In0.23Ga0.77As/GaAs с квантовой ямой шириной 7.5 нм: штриховая линия — расчет для прямо Q угольной КЯ, сплошная — расчет для КЯ с самосогласованным C =. (10) U потенциалом. Штрихпунктирная линия — положение уровня Ферми EF.

Количество заряда в замкнутой системе, согласно теореме Гаусса, связано с напряженностью электрического поля на поверхности (на барьере Шоттки) Fs Как видно из рис. 1, вне квантовой ямы наблюдаютсоотношением ся протяженные области, в пределах которых имеется 0 FsdS = Q. (11) совпадение величин концентрации свободных носителей, полученных на основе квазиклассического и квантовомеханического расчетов (кривые 1 и 2), что свидеНапряженность электрического поля в области электротельствует о согласии этих моделей. Очевидно, в этих нейтральности (на противоположной границе расчета) областях связанные в квантовой яме состояния играют равняется нулю.

уже незначительную роль и достаточно пользоваться Тогда для одномерной системы выражение (11) превыражением (4).

образуется к виду В результате самосогласованного решения получается видоизмененный одночастичный потенциал с учетом Q = S0Fs. (12) кулоновского потенциала электронов в яме и профиль концентрации электронов в гетероструктуре. В качестве Таким образом, задачу расчета вольт-фарадной хапримера на рис. 3 приведены распределение потенцирактеристики можно свести к определению величины ала и уровни размерного квантования для исходной напряженности электрического поля на поверхности попрямоугольной КЯ и квантовой ямы с самосогласованлупроводниковой структуры в зависимости от внешнего ным потенциалом (расчет проводился для изотипной приложенного напряжения.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.