WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, № 10 Учет кулоновского взаимодействия электронов и дырок в квантовых точках на основе InGaN © В.Е. Бугров, О.В. Константинов Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия (Получена 2 марта 1998 г. Принята к печати 16 марта 1998 г.) Особенность квантовых точек на основе нитридов в отличие от арсенидных заключается в их существенно меньших размерах и меньшей величине разрыва в зоне проводимости. Поэтому очень важен учет кулоновского притяжения электрона и дырки, который производится в приближении Хартри при замене кубической квантовой точки на сферическую. Электронно-дырочное притяжение увеличивает энергию связи электрона в несколько раз и приводит к тому, что обычные функции заполнения оказываются непригодными. Вместо них необходимо ввести другие: функции однократного заполнения, подобные донорной, и функцию заполнения электроном и дыркой, которая значительно отличается от известных ранее.

1. Введение электронов и дырок в квантовой точке. Заполнение невзаимодействующими электронами и дырками соотвествуюВ настоящее время существует большой интерес к щих уровней в квантовой точке описывается обычными гетеролазерам на основе твердых растворов в системе функциями Ферми fc и fv, которые и использовались InGaN, излучающих в синей и фиолетовой областях ранее. Однако при учете взаимодействия статистика спектра. Первые подобные лазеры были созданы в конце заполнения существенно изменяется. Ее построение со1995 г. – начале 1996 г. [1]. Их активная область предста- ставляет вторую часть настоящей работы.

вляет собой последовательность In0.2Ga0.8N квантовых ям толщиной 30 50 каждая, заключенных между 2. Волновые уравнения и энергия барьерными слоями In0.05Ga0.95N толщиной 60 100.

Недавние исследования этих структур [2,3] показали, Если квантовая точка заполнена только одной частичто слои, образующие квантовые ямы, распадаются на цей (электроном или дыркой), то волновое уравнение области, обогащенные индием, и окружающие области с имеет хорошо известный вид содержанием InN, близким к его содержанию в барьерных слоях. Таким образом активную область структуры (0 ) можно рассматривать как массив квантовых точек куби- 2(0)(r) +Uc,v(r)(0)(r) =-c,v)(0v(r). (1) c,v c, 2mc,v c,v ческой формы.

Теория лазеров на квантовых точках была развита (0) Здесь c,v > 0 — энергия ионизации частицы в однократранее [4–6] применительно к системам на основе арсенино заполненной квантовой точке. Uc,v(r) — ступенчатый дов. Однако структуры на основе III-нитридов обладают потенциал, создаваемый гетероструктурой. Мы принимаважными отличиями. Первое состоит в малой величине ем его равным нулю в матрице, окружающей квантовую разрыва в зоне проводимости Ec : Ev = 30 : 70 [7].

точку. Потенциал Второе, наиболее существенное отличие, состоит в заметно меньших размерах квантовых точек в нитридUc,v(r) =-Ec,v (2) ных системах по сравнению с арсенидными. Типичный размер последних составляет 100. Ввиду малых для электронов или дырок внутри квантовой точки, размеров точки и малой величины Ec в InGaN свякоторая для интересующего нас случая имеет форму занные состояния электрона или вообще отсутствуют, куба со стороной a. Подобно тому, как это делалось или, в лучшем случае, имеют энергию ионизации, близв предшествующих работах, мы заменяем для простоты кую к тепловой. Поэтому квантовая точка, заполненная кубическую яму сферической, радиус которой R выбираэлектронно-дырочной парой, может легко потерять элекем равным трон и перестать быть источником лазерного излучения.

a R =. (3) Таким образом, оказывается очень важным учитывать кулоновское притяжение электрона к дырке. Благодаря ему, как показано в настоящей работе, процесс тепло- Такой выбор делается из тех соображений, чтобы в яме с вой ионизации электронно-дырочной пары в квантовой бесконечно высокими стенками основное состояние ямы точке оказывается сильно подавленным. В упомянутых кубической формы совпадало бы с основным состоянием выше теоретических работах [4–6] электронно-дырочное сферической ямы. Уравнение (1) имеет известное ревзаимодействие не учитывалось. Его учет приводит к шение в виде синуса, и энергии находится из обычного еще одному важному следствию в отношении статистики трансцендентного уравнения.

6 1236 В.Е. Бугров, О.В. Константинов Если квантовая точка заполнена электроном и дыркой, то их волновые функции c(r) и v(r), а также одночастичные энергетические параметры c > 0 и v > находятся из системы уравнений Хартри - 2c(r) +Uc(r)c(r) 2mc - Vvv(r)c(r) =-cc(r), (4а) - 2v(r) +Uv(r)v(r) 2mv - Vcc(r)v(r) =-vv(r), (4б) где потенциалы кулоновского взаимодействия в приближении Хартри e2 |v(r )|Vvv(r) d3r, |r - r | Рис. 1. Схематическое изображение формы энергетических зон в квантовой точке без учета (сплошная линия) и с учетом e2 |c(r )|Vcc(r) d3r. (5) (штриховая линия) кулоновского взаимодействия электрона и |r - r | дырки.

Здесь — диэлектрическая проницаемость, которую мы считаем одинаковой внутри и вне ямы, поскольку ее разрыв на гетерогранице составляет единицы процентов.

Также мы будем пренебрегать различием эффективных На рис. 1 схематически сплошной линией изобрамасс электронов и дырок на гетерогранице. Полная жена исходная ступенчатая яма и штриховой — яма, энергия электронно-дырочной пары, находящейся в кванискаженная кулоновским взаимодействием электрона и товой точке, составляет дырки. При расчетах квантовой точки считалось, что Eg = 3.325 эВ, Ec = 67.5мэВ, Ev = 157.5мэВ, vv E = Eg - c - v + Vcc, (6) =9, mc = 0.2m0 и mv = m0, где m0 — масса свободного электона. На рис. 2 изображены зависимости энергии где матричный элемент кулоновского взаимодействия связи электрона и дырки от размера квантовой точки.

vv Сплошными линиями изображены зависимости одночаVcc = Vcc(r) v(r) 2d3r = Vvv(r) c(r) 2d3r. (7) стичных энергетических параметров c и v, являющихся собственными числами уравнений (4а), (4б). Для сравнеВформуле (6) в правой части вычтено среднее значение (0) (0) ния штриховыми линиями показаны решения c и v кулоновского взаимодействия электрона и дырки аналоуравнений (1) со ступенчатыми потенциалами, которые гично тому, как это делается в атоме гелия [8], поскольку дают энергии связи электрона и дырки в квантовой точке оно уже было учтено дважды: один раз в уравнении (4а), без учета кулоновского взаимодействия. Видно, что при а второй раз в уравнении (4б).

Пользуясь вариационным методом, изложенным, например, в монографии [9], можно последовательно вывести уравнения (4а), (4б) и соотношение (6) в рамках предположения о мультипликативном виде волновой функции системы (re, rh) =c(re)v(rh); re, rh —координаты электрона и дырки. Мы рассматриваем только основное состояние электрона и дырки. Хартриевские потенциалы, определяемые (5), упрощаются для сферически симметричных функций основного состояния r e2 1 2(r ) V (r) = 2(r )dr + dr, (8) r r 0 r где (r) определяется согласно формулам Рис. 2. Зависимости энергии связи электрона и дырки от 1 (r) размера квантовой точки a, полученные при решении систем (r) = ; 2(r)dr = 1.

r уравнений: сплошные линии — Хартри (4а), (4б), штриховые o линии — со ступенчатыми потенциалами (1).

Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, № Учет кулоновского взаимодействия электронов и дырок в квантовых точках на основе InGaN ступенчатом потенциале уже при a < 50 должны пропасть связанные состояния для электронов.

Как уже говорилось, одним из возможных процессов распада связанного экситона является тепловой выброс электрона или дырки из квантовой точки в объем полупроводника. В этом случае энергией ионизации электрона Ic > 0 или дырки Iv > 0 будет величина Ic,v =E2 -E1, где E1 = E — энергия начального состояния, определяе( мая формулой (6), а E2 =Eg - v,0) — энергия связанной c дырки (электрона) при том, что вторая частица отсутствует:

vv (0) vv (0) Ic = c + v - Vcc - v, Iv = c + v - Vcc - c. (9) Рис. 4. Энергия излучаемого квантовой точкой фотона в зависимости от размера квантовой точки: сплошная линия — с На рис. 3 приведены зависимости энергий ионизации учетом кулоновского взаимодействия, штриховая линия — без электрона и дырки от размера квантовой точки. Следует обратить внимание, что энергия ионизации электрона Ic учета. Горизонтальные штрихпунктирные прямые показывают ширину запрещенной зоны в кристалле–матрице (Eg) и в как функция размера квантовой точки a практически материале квантовой точки (Eg).

совпадает с одночастичным энергетическим параметром c(a). Этот факт, согласно теореме Купманса [9], является характерным признаком удачного выбора варьируемой волновой функции электрона. Энергия ионизации Этого достаточно, чтобы поглощение света в материале дырки Iv(a) также неплохо совпадает с одночастичным матрицы существенно упало. По этой причине интервал энергетическим параметром v(a). В этом случае, одоптимальных размеров квантовых точек располагается нако, согласие несколько хуже в области a < 50.

где-то в области 40 60, так как дальнейшее увелиНа рис. 3 изображена также зависимость кулоновского чение размера квантовой точки приведет к появлению vv матричного элемента Vcc от размера квантовой точки.

новых энергетических уровней в ней.

Эта зависимость имеет максимум при a 40. При меньших размерах квантовой точки волновые функции 3. Статистика электрона и дырки оказываются слабее локализованы внутри нее, и средняя энергия кулоновского взаимодействия уменьшается. При в квантовой точке больших же размерах волновые функции уже практически полностью локализованы, и средняя энергия куло- Рассмотрение кулоновского взаимодействия электрона новского взаимодействия оказывается обратно пропор- и дырки приводит к необходимости замены обычных циональной размеру квантовой точки.

одночастичных функций заполнения состояний fc и fv На рис. 4 показана зависимость полной энергии на некоторую обобщенную функцию fex, характеризуюэлектронно-дырочной пары от размера квантовой точки.

щую степень заполнения точек электронно-дырочными В интервале значений a = 15 50 энергия излупарами, т. е. экситонами. Дело в том, что теперь мы уже чаемого фотона быстро убывает с увеличением размене можем отдельно определить энергетические уровни ра a. На этом интервале она уменьшается на 170 мэВ.

электрона и дырки. Мы знаем лишь полную энергию экситона E, задаваемую формулой (6). Кроме того, к излучательной рекомбинации способны лишь синглетные экситоны, где спины электрона и дырки антипараллельны. Этот факт не учитывается при рассмотрении вероятностей поглощения и излучения фотона посредством функций распределения fc и fv.

Как обычно, мы предполагаем, что для всех электронных состояний, прилегающих к краю зоны проводимости, существует квазитермодинамическое равновесие с квазиуровнем Ферми c, тогда как для всех состояний, расположенных вблизи края валентной зоны, — с квазиуровнем Ферми v. Обычное условие такого подхода — малость времени релаксации импульса по сравнению со временем рекомбинации. При построении функции расvv пределения f необходимо использовать большое каноРис. 3. Зависимости кулоновского потенциала Vcc и энергий ническое распределение, согласно которому вероятность ионизации электрона (Ic) и дырки (Iv) от размера квантовой Fnm реализации системы из n электронов и m дырок точки.

Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, № 1238 В.Е. Бугров, О.В. Константинов составляет и в валентной зоне. Если спины электрона и дырки параллельны, т. е. экситон триплетный, то полный спин E - nc - mv экситона равен 1, и g11 = 3. Тогда Fnm = Cgnm exp -, (10) kBT (t fex) = 3C exp ex = 3 fex. (15) где C — нормировочная постоянная, определяемая из условия Fnm = 1; gnm = 2snm + 1 — фактор вырожде- Постоянная C находится из условия нормировки nm ния, определяемый полным спином квазичастиц snm; E — C =. (16) полная энергия системы, отсчитанная от того же уровня, 1 + 2expc +2expv +4expex что и квазиуровни Ферми электронов и дырок.

Рассмотрим функции распределения для различных 4. Квазиуровни Ферми электронов вариантов заполнения квантовой точки.

и дырок 1. Отсутствие частиц в квантовой точке: g00 = 1, при этом F00 = C.

Вероятность стимулированного излучения равна 2. Только электрон или только дырка в квантовой точке. Сразу заметим, что случай, когда к квантовой wst = wvc fex, (17) точке находятся две одинаковые частицы с разными спинами, мы исключаем вследствие сильного кулонов- где wvc — вероятность оптического перехода, а излучаеvv ского отталкивания одинаковых квазичастиц. Этот слу- мая энергия фотона составляет = Eg - c - v + Vcc, чай полностью аналогичен статистике электронов на согласно формуле (6). Вероятность поглощения фотона мелких донорах [10]. Очевидно, что в этом случае той же энергии :

s10 = s01 = 1/2, g10 = g01 = 2. Функции распределения wa = wvcF00. (18) равны Согласно (17) и (18) величина усиления света в актив ( c0) - µn ной области составляет f1c = nFnm = 2C exp c, c (12) m=0 kBT n g = A( fex - F00) ( v0) - µp A(exp ex - 1) f1v = mFnm = 2C exp v, v, (13) =, (19) n=0 kBT 1 + 2expc +2expv +4expex m где µn и µp — квазиуровни Ферми электронов и дырок, где A — зависящий от энергии коэффициент пропорциоотсчитываемые от дна зоны проводимости и потолка нальности. Из выражения (19) легко находится условие валентной зоны в матрице соответственно, являются повозникновения границы между поглощением и усилеложительными для невырожденных электронов и дырок нием квантовой точкой электромагнитного излучения с в матрице.

частотой. Это условие имеет обычный вид критерия 3. Электрон и дырка одновременно в квантовой смены поглощения усилением:

точке. Если спины электрона и дырки направлены анµex = E. (20) типараллельно, то электрон и дырка способны к излучательной рекомбинации. Здесь возможное число частиц Удобно представить величину µex через химические покак n = m = 1, так и n = m = 2. Следует, однако, тенциалы инжектированных электронов и дырок в матрииметь в виду, что два экситона в одной квантовой точце. Тогда критическое условие возникновения усиления, ке — это крайне короткоживущее состояние, поскольку согласно (20), имеет вид оно очень легко распадается путем оже-рекомбинации.

Поэтому мы будем пренебрегать такими состояниями, µn + µp = Eg - E. (21) считая n = m = 1. По той же причине мы в При заданной величине требуемого усиления в активной дальнейшем будем пренебрегать состояниями, когда в области выражение (19) позволяет определить соотноквантовой точке содержится не только экситон, но и шение квазиуровней Ферми электронов и дырок. Однако дополнительные дырка или электрон. Поскольку полный задача состоит в том, чтобы определить не только их соспин синглетного экситона равен нулю, то g11 = 1.

отношение, но и каждую из этих величин в отдельности.

Отсюда легко получаем, что Для этого используется условие электронейтральности.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.