WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика и техника полупроводников, 2002, том 36, вып. 10 Зависимость ширины оптической щели кремниевых квантовых точек от их размера ¶ © В.А. Бурдов Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, 603600 Нижний Новгород, Россия (Получена 5 сентября 2001 г. Принята к печати 11 марта 2002 г.) В рамках приближения огибающей получена зависимость ширины оптической щели кремниевых квантовых точек, имплантированных в диэлектрическую матрицу диоксида кремния, от их размера. Показано, что учет конечности ширины запрещенной зоны в SiO2 и скачка эффективной массы на границе раздела Si/SiO2 существенно понижает значение оптической щели по сравнению с моделью, в которой потенциальные барьеры для электронов и дырок считаются бесконечно высокими. Установлено хорошее согласие с экспериментальными данными.

Оптические свойства гетероструктур с кремниевыми обоих типов носителей (на что ужe указывалось в [12]) квантовыми точками малых размеров (в несколько нано- и скачок величины эффективной массы на границе метров) активно изучаются с целью получения излуче- квантовой точки.

ния в ближнем инфракрасном (ИК) диапазоне или даже Как показывают расчеты, спин-орбитальное взаимов видимой части спектра. В связи с этим представляет действие, так же как и в объемном кремнии, оказывает интерес расчет энергии основного оптического перехода довольно слабое влияние на энергетический спектр, в таких системах и анализ зависимости этой энергии порождая два уровня энергии в валентной зоне, от(или частоты) от размера квантовой точки. стоящих друг от друга на 0.04 эВ. Далее мы не будем Надо сказать, что ранее уже предпринимались попыт- его учитывать и запишем гамильтониан в приближении ки подобного расчета с помощью приближения эффек- огибающей в валентной зоне в виде [13] тивной массы (или kp-метода) [1–3] в модели с бес- 2 L - M (h) конечно высокими потенциальными барьерами. Однако i j = i j 0h + k2 - 3k2 j 2m0 3 многими авторами было подмечено (в том числе и в [3]), что это приближение дает существенно завышенный результат при переходе в область меньших размеров +(i j - 1) Nkik. (1) 2m0 j квантовых точек (менее 6–8нм). В связи с этим для квантовых точек с размерами в несколько нанометров Здесь i j — символ Кронеккера, индексы i и j прои меньших впоследствии использовались более сложбегают значения от 1 до 3, m0 — масса свободного ные и мощные методы (которые, однако, уже трудно электрона, а числа L, M, N равны соответственно 6.8, применять к более крупным квантовым точкам, в том 4.43, 8.61 [14]. Гамильтониан 0h представляет собой числе из-за резко возрастающих с увеличением размера изотропный оператор, равный объемов компьютерных вычислений), такие как модель сильной связи [3–8], метод псевдопотенциала [9–11], 0h = - k2, (2) 2mh приближение локальной плотности [12]. Кроме того, некоторыми авторами указывалось (см., например, [5]), где введена эффективная масса дырки mh = что зависимость ширины оптической щели от радиуса = 3m0/(L + 2M), равная 0.19m0, а значения квантовой точки R (для точек сферической формы) волнового вектора и энергии отсчитываются от -точки.

не имеет вида R-2, характерного для приближения В зоне проводимости кремния обычно используется эффективной массы, а оказывается более плавной (в [5] модель изоэнергетической поверхности в форме элуказывалось на закон R-1.39).

липсоида вращения с „продольной“ и „поперечной“ В настоящей работе будет рассчитана величина оптиэффективными массами, получаемая в результате разческой щели кремниевых квантовых точек сферической ложения закона дисперсии в окрестности какой-нибудь формы, находящихся в слое плавленного диоксида кремодной из шести равнозначных точек энергетическония, с применением kp-метода. При этом будет показаго минимума. Однако для наших целей эта модель но, что kp-метод может быть использован и в области непригодна, поскольку характерные значения энергий существенно меньших, чем 6–8 нм, размеров квантовых размерного квантования в нанокластере при размерах точек, если учесть более строго, по сравнению с тем, как в несколько нанометров заметно превышают разность это было сделано в [1–3], анизотропию закона дисперсии энергий X-точки, в которой происходит пересечение электронов и дырок, а также принять во внимание двух ветвей энергии, и точки энергетического минимума.

конечное значение высоты потенциального барьера для При таких энергиях изоэнергетическая поверхность уже ¶ E-mail: burdov@phys.unn.runnet.ru довольно сильно отличается от эллипсоида вращения и 6 1234 В.А. Бурдов в законе дисперсии существенную рoль начинает играть Подставляя далее разложение (6) в уравнение (5), непараболичность. получаем следующее уравнение для определения энерПо этой причине, следуя работе [15], запишем га- гий E и коэффициентов разложения C :

j мильтониан в зоне проводимости в виде матричного (E - E)Ci = C Vi, (7) j j оператора 2 2 в окрестности одной из трех физически j неэквивалентных X-точек зоны Бриллюэна, например соответствующей направлению [0,0,1] (в двух других гдe E — собственные значения оператора 0h или X-точках гамильтониан записывается аналогичным об 0e в состоянии |, a Vi = |Vi j| — матричные j разом):

элементы оператора возмущения.

Непосредственный расчет показывает, что несмотря 1 (e (e z на сильную анизотропию электронных и дырочных вет11) = 22) = 0e + - k2 - 3k2, 6 mt ml вей энергии, ряды теории возмущений сходятся довольно быстро и уже 1-й порядок дает поправки, значение † (e (e которых не превышает нескольких процентов. В даль12) = 21) нейшем поправками 2-го порядка будем пренебрегать.

2 = (1/mt - 1/m0)kx ky + i k0/ml kz, (3) Начнем с вычисления энергии основного состояния дырок в валентной зоне. В нулевом приближении можно где mt и ml соответственно поперечная и продольная получить эффективные массы, равные 0.19m0 и 0.92m0, начало kh Eh = -, (8) отсчета волнового вектора и энергии находится в X-точ2mh ке, а гамильтониан 0e также является изотропным где значение kh определяется как решение уравнения оператором mh mh 0e = k2 (4) kR ctg(kR) =1 - - (w2 - k2R2), (9) 2me m m h с электронной эффективной массой me = параметр w2 = 2mhVhR2/, Vk — высота потенциальh = 3mlmt/(2ml + mt). Значение k0 = 0.144(2/a) опреде- ного барьера для дырок в валентной зоне, а m — ляет расстояние в k-пространстве от X-точки до ближай- эффективная масса дырок в области потенциального шего минимума электронной энергии в зоне Бриллюэна, барьера, которая, вообще говоря, отличается от эфa = 0.543 нм — постоянная решетки. Матричная форма фективной массы в самой квантовой точке. При выводе (9) использовались условие непрерывности волновой записи оператора Гамильтона в данном случае, так функции на границе и условие непрерывности потока, же как и для валентной зоны, является следствием которое при зависящей от координаты массе сводится вырождения энергетического спектра в X-точке (только к непрерывности отношения m-1(r)d /dr. Сразу заметеперь вырождение — двукратное для каждой X-точки).

тим, что выражение для энергии (8) и уравнение (9) Вычисление энергий основных состояний электрополучаются в нулевом приближении и для электронов нов и дырок проведем по теории возмущений, выбрав зоны проводимости, если заменить в них индекс „h“ на в качестве основного приближения гамильтонианы (2) индекс „e“.

и (4) соответственно. Недиагональные элементы опеВычисление поправок к (8) производится стандартраторов (1) и (3), а также анизотропные добавки на ным образом с помощью теории возмущений для выглавной диагонали будем рассматривать как возмущерожденных состояний [16], поскольку даже основное ние. Задача состоит в решении матричного уравнения состояние в валентной зоне трехкратно вырождено. При (для валентной зоны размер матрицы 3 3, а в зоне этом в правой части уравнения (7) в сумме по следует проводимости 2 2) оставить только одно основное s-состояние. Однако среднее значение оператора возмущения в основном i jFj(r) =EFi(r), (5) состоянии оказывается равным нулю, т. е. в 1-м порядке поправки к энергии отсутствуют. Поправки 2-го порядка, где Fj(r) — огибающие, а E — энергия. Огибающие в формировании которых участвуют d-состояния операфункции будем искать в виде разложения по базису тора 0h, оказываются отличными от нуля, но слишком собственных функций | гамильтониана нулевого прималыми (об этом уже говорилось выше). Таким образом, ближения (2) или (4) соответственно для дырок или для энергии дырок в основном состоянии окончательэлектронов:

ным является выражение (8).

Fj(r) = C |. (6) j Основное состояние электронов в зоне проводимости устроено более сложно. Из-за наличия в операторе воз Здесь греческие буквы обозначают состояния невоз- мущения линейных по оператору kz слагаемых оказывамущенной задачи, а латинские — индекс блоховской ется возможной гибридизация s- и pz -состояний невозфункции. мущенной системы (px - и py -состояния связываются Физика и техника полупроводников, 2002, том 36, вып. Зависимость ширины оптической щели кремниевых квантовых точек от их размера между собой, но не связываются с s- и pz -состояниями).

По этой причине в уравнении (7) теперь необходимо сохранить в сумме как s-, так и pz -состояния. В результате решения секулярного уравнения получаем дважды вырожденное значение энергии основного состояния (двукратное вырождение в зоне проводимости не снимается, по всей видимости, из-за полной симметрии поверхности постоянной энергии относительно X-точки) E + E1 - V E1 - E - V Ee = - + U2, (10) 2 где E и E1 —энергии s- и p-состояний, равные 2 k2 ke E =, E1 =, (11) 2me 2me причем значение ke определяется из уравнения (9), в котором следует заменить везде индекс „h“ на индекс „e“, Зависимость ширины оптической щели от обратного радиуса о чем уже говорилось выше. Значение k1 находится из квантовой точки: сплошная кривая — бесконечно высокие уравнения потенциальные барьеры; 1 — конечные потенциальные барьеры (3.2 эВ для электронов и 4.3 эВ для дырок) и постоянная (kR)2 w2 - (kR)e эффективная масса; 2 — конечные потенциальные барьеры = 2(1-mem)-.

1-kR ctg(kR) (3.2 эВ для электронов и 4.3 эВ для дырок) и скачок эффек1 + (w2 - k2R2)m/me e тивной массы.

(12) Параметры V и U — абсолютные значения диагонального и недиагонального матричных элементов возмущения Записать в явном виде зависимость Ee(R), как впрочем и зависимость Eh(R), не удается из-за трансцендентного 2 1 1 k0 характера уравнений (9) и (12). Однако численное z - pz k2 - 3k2 pz, i s kz pz 6 mt ml ml решение (9) и (12) при различных значениях радиуса квантовой точки не представляет особого труда, что соответственно. Их значения равны позволяет рассчитать уже и зависимость ширины оптической щели от R k2 1 1 sin 2x V = - - 2(1 + 2x2/5) j2(x) 6A2 mt ml x Eg(R) = + Ee(R) - Eh(R), (13) X 4x k2 1 где = 1.215 эВ (по данным, приведенным в [15]) — + j0(x) j1(x) + - j2(x) X 5 6A2 mt ml разность энергий X-точки зоны проводимости и -точки валентной зоны.

5x2(c+2) - 4(x2-6)(c+1)2 - 9c3 - 24c2 - 48c -, Зависимость Eg от обратного радиуса квантовой точки 5(c + 1)представлена на рисунке. Сплошной линией показана зависимость Eg(R) для модели с бесконечно высокими 2 kбарьерами Ve и Vh, точки 1 соответствуют модели U = 3mlRA с конечной высотой барьеров и эффективной массой в области барьера m, равной эффективной массе ноzx2(c+b)(c+1)[ j0(x) cos z - j0(z ) cos x] - c2x j1(x), сителя в полупроводнике, т. е. me для электронов и mh (c + b)(c + 1) 1 + sin2 z - j0(2z ) для дырок. Точками 2 показаны значения Eg(R) в случае конечной высоты барьеров и m, равной массе свогде j0(t) и j1(t) — сферические функции Бесселя бодного электрона m0 (что, по-видимому, не далеко первого рода аргумента t, от истины). Ширина запрещенной зоны в плавленном SiO2 составляет 8.7 эВ. При этом высота потенциального x = k1R, z = keR, барьера для электронов по данным, приведенным в [17], равна 3.2 эВ; следовательно, на долю дырок остается (за m m c = (w2 - x2), b = (w2 - z ), вычетом значения ) барьер высотой 4.3 эВ.

X me e me e Следует подчеркнуть, что даже в приближении бесконечно высокого барьера зависимость ширины щели c + A2 = 1 + j0(2x) - 2 j2(x) + x2 j2(x).

от R не будет иметь вида const + R-2 из-за гибриди(c + 1)2 6 Физика и техника полупроводников, 2002, том 36, вып. 1236 В.А. Бурдов зации s- и p-состояний. В этом случае, как несложно что не требует таких больших объемов компьютерных показать, энергии E, E1 и матричный элемент V будут вычислений и является по существу аналитическим зависеть от R-1 квадратично, а матричный элемент U методом.

будет пропорционален R-1, что в соответствии с (10) Работа была поддержана РФФИ (грант и даст некоторую промежуточную между R-1 и R-№ 00-02-17488).

зависимость для ширины оптической щели.

Вообще говоря, потенциальные барьеры как для электронов, так и для дырок — достаточно высокие и на Список литературы порядок превышают сами значения энергий Ee и Eh. Од[1] T. Takagahara, K. Takeda. Phys. Rev. B, 46, 15 578 (1992).

нако, как видно из рисунка, даже такие высокие барьеры [2] J.B. Khurgin, E.W. Forsythe, G.S. Tompa, B.A. Khan. Appl.

не могут с достаточной степенью точности считаться Phys. Lett., 69, 1241 (1996).

бесконечно высокими: отличие энергий электронов и [3] Y.M. Niquet, C. Delerue, G. Allan, M. Lannoo. Phys. Rev. B, дырок от их же значений в случае бесконечно высокого 62, 5109 (2000).

барьера составляет в зависимости от R от 15 до 65%.

[4] S.Y. Ren, J.D. Dow. Phys. Rev. B, 45, 6492 (1992).

Особенно сильным влияние барьера становится, есте[5] C. Delerue, G. Allan, M. Lannoo. Phys. Rev. B, 48, 11 ственно, в области меньших размеров — как точки 1, (1993).

так и точки 2 все более отклоняются от почти пара- [6] N.A. Hill, K.B. Whaley. Phys. Rev. Lett., 75, 1130 (1995).

болической (по R-1) зависимости, увеличивая величину [7] K. Leung, K.B. Whaley. Phys. Rev. B, 56, 7455 (1997).

[8] C. Delerue, M. Lannoo, G. Allan. Phys. Rev. Lett., 84, поправки (включаются слагаемые R-3 и более высокие (2000).

степени).

[9] L.-W. Wang, A. Zunger. J. Chem. Phys., 100, 2394 (1994).

Также сильно влияет на положение уровней энергии [10] S. Ogut, J.R. Chelikowsky. Phys. Rev. Lett., 79, 1770 (1997).

электронов и дырок скачок эффективной массы на гра[11] A. Franceschetti, A. Zunger. Phys. Rev. B, 62, 2614 (2000).

нице квантовой точки. Как видно из рисунка, величина [12] B. Delley, E.F. Steigmeier. Appl. Phys. Lett., 67, 2370 (1995).

поправки в случае m = m0 при всех значениях радиуса [13] А.И. Ансельм. Введение в теорию полупроводников (М., квантовой точки оказывается примерно вдвое больше, Наука, 1978).

чем в случае постоянной эффективной массы.

[14] M. Voos, Ph. Uzan, C. Delalande, G. Bastard, A. Halimaoui.

Сравнение результатов данной работы с расчетами, Appl. Phys. Lett., 61, 1213 (1992).

выполненными другими более сложными методами, [15] А.А. Копылов. ФТП, 16, 2141 (1982).

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.