WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

a/0 16 z = a(v1v2)2 + 2v2 dz cos2 S2(z), (40) 3 В случае EF эта величина составляет 3 a где a — ширина квантовой ямы, а v1, v2 и v3 должны e2 H (H) =- f2, (46) вычисляться в 1-ом неисчезающем порядке по EF/.

42 H Формулы (39), (40) справедливы при где c H =. (47) mh kFa 4eD 1, ml При EF магнитопроводимость равна где mh и ml — массы тяжелых и легких дырок.

e2 H H H (H) = 2 f2 +f2 -f2. (48) 42 H H H 3.1. Вычисление аномального вклада в проводимость Здесь Уравнение (9) для матричного элемента подобно c 1 1 c 1 H = +, H = +, (49) уравнению для куперона (13), а его ядро зависит от 4eD0 4eDразности k -g. Это позволяет выразить ()(k) через a уходное ( ) и транспортное (tr) времена:

f2(x) =ln x + (1/2 + 1/x), (50) tr ()(k) =v()(k). (41) где (y) — дигамма-функция.

Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, № 1224 Н.С. Аверкиев, Л.Е. Голуб, Г.Е. Пикус Соотношение между временами спиновой релаксации и временем релаксации импульса в верхней подзоне зависит от ее заполнения: если (EF - )/ 1, то и там они одного порядка, и вклад вносят состояния, также имеющие нулевой суммарный момент. В случае, когда (EF - )/ 1, вклад возникает от четырех двухчастичных состояний.

Если (EF - )/ 1, то C (k, k, q) =sl(k, k, q)Sl Sl +su(k, k, q)SuSu +slu(k, k, q)Sl Su + sul(k, k, q)Su Sl, (51) где греческие индексы нумеруют верхнюю (u) и нижнюю (l) подзоны и спиновые состояния в них (1, 2): = u1, u2, l1, l2. Ненулевые компоненты Si равны:

l1 l2 u1 uРис. 3. Кривые магнетосопротивления при различной концен- Sll1 = -Sll1 = Suu2 = -Suu1 = 1/ 2. (52) трации дырок в квантовой яме.

Подставляя выражение (51) в уравнение (13), суммируя по спиновым индексам и интегрируя по k и k, можно Особенностью зависимости (H) является смена получить уравнения для коэффициентов si:

знака при изменении уровня легирования. Зависимости времен, от концентрации различны:

sl(k, k, q) = |Vl1,l1(k -k )|2 +|Vl1,l2(k -k )|0/ (EF/)2, 0/ (EF/)3, 2lNl dg + |Vl1,l1(k - g)| что обусловлено различной зависимостью от k матричных элементов V11 и V12 —см. (36), (37). Для иллюстра+ |Vl1,l2(k - g)|2 sl(g, k, q)[1 - Tl(g, q)] ции на рис. 3 показаны кривые магнитопроводимости при разных значениях параметра kFa. В расчетах предпола2uNu dg + |Vl1,u1(k - g)|галось, что отношение / = 5 и не зависит от kF, ml/mh = 0.16. Эти кривые демонстрируют переход от случая, когда спиновая релаксация медленная, к случаю, + |Vl1,u2(k - g)|когда она происходит быстрее, чем сбой фазы волновой функции.

sul(g, k, q)[1 - Tu(g, q)], (53) 4. Квантовая яма с двумя уровнями sul(k, k, q) = |Vu1,l1(k -k )|2 +|Vu1,l2(k -k )|Выше рассмотрен случай, когда заполнена только одна подзона размерного квантования. Однако в реальных 2lNl dg + |Vu1,l1(k-g)|структурах могут быть заполнены два или несколько уровней. В данном разделе мы рассмотрим ситуацию, когда заполнены две подзоны.

+ |Vu1,l2(k-g)|2 sl(g, k, q)[1 - Tl(g, q)] Конкретный вид вклада в магнетосопротивление зависит от соотношения между временем межподзонных 2uNu dg + |Vu1,u1(k - g)|переходов и временами спиновой и фазовой релакса ции. Для носителей в нижней подзоне время спиновой релаксации порядка времени релаксации импульса. Это + |Vu1,u2(k - g)|означает, что слабая локализация в нижней подзоне определяется состояниями с нулевым суммарным моментом — в формулах (34), (35) 0/ и 0/ 1. sul(g, k, q)[1 - Tu(g, q)], (54) Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, № Слабая локализация в квантовых ямах p-типа su(k, k, q) = |Vu1,u1(k -k )|2 +|Vu1,u2(k -k )|2 уравнений получаются следующие ответы:

q2/2 + Au 2uNu dg sl = + |Vu1,u1(k-g)|(0) 2NlDl l(0) 2 q2 + Al + Au 1 + |Vu1,u2(k-g)|2 su(g, k, q)[1- Tu(g, q)] +, (59) q2 + Al + Au - F q2 + Al + Au + F 2lNl dg -+ |Vu1,l1(k - g)| 2 2D(0)ul u sul = 2NlD(0) l(0) 2 q2 + Al + Au + |Vu1,l2(k - g)|l 1 +, (60) slu(g, k, q)[1 - Tl(g, q)], (55) q2 + Al + Au - F q2 + Al + Au + F q2/2 + Al slu(k, k, q) = |Vl1,u1(k -k )|2 +|Vl1,u2(k -k )|su = (0) 2NuD(0) u 2 q2 + Al + Au u 2uNu dg + |Vl1,u1(k-g)|1 +, (61) q2 + Al + Au - F q2 + Al + Au + F + |Vl1,u2(k-g)|2 su(g, k, q)[1- Tu(g, q)] -2D(0)lu l slu = 2lNl dg ( 2NuD(0) u0) 2 q2 + Al + Au + |Vl1,l1(k - g)|2 u 1 +, (62) + |Vl1,l2(k - g)|q2 + Al + Au - F q2 + Al + Au + F где slu(g, k, q)[1 - Tl(g, q)]. (56) 1 1 1 1 1 Решения уравнений (53)–(56) зависят от соотношения Al = +, Au = +. (63) (l) ( времен релаксации импульса в каждой подзоне l, u 2D(0) lu 2D(0) u) ul u l и времен межподзонных переходов lu, ul, которые 1/определяются равенствами:

F = (Al - Au)2 +. (64) D(0)luD(0)ul 2Nu d u l -lu = |Vl1,u1()|2 + |Vl1,u2()|2, (57) Индекс (0) означает, что соответствующие величины вычисляются без учета межподзонных переходов.

2Nl d -Для короткодействующего потенциала упрощений, ul = |Vu1,l1()|2 + |Vu1,u2()|2. (58) связанных с малостью межподзонных матричных элементов, не возникает. При разложении в ряд Фурье в Поскольку упругое рассеяние из одной подзоны в другую уравнении, как и в случае одного уровня — см. (24), сопровождается большим изменением квазиимпульса, появляются нулевая и первая гармоники потенциалов:

это соотношение зависит в свою очередь от вида рассеивающего потенциала. Если он плавный, то межподзонные 2 d переходы подавлены: Ln = |Vl1,l1()|2 + |Vl1,l2()|2 e-in, (65) ul u, lu l.

2 d Un = |Vu1,u1()|2 + |Vu1,u2()|2 e-in, (66) Если потенциал короткодействующий, то 2 d Wn = |Vl1,u1()|2 + |Vl1,u2()|2 e-in. (67) ul u, lu l. Поскольку межподзонные переходы эффективны, проРассмотрим два случая отдельно.

цесс диффузии нельзя свести к диффузии частиц в разДля плавного потенциала в уравнения (53)–(56) ных зонах. Поэтому в выражения для куперонов входят |Vl1,u1|2 + |Vl1,u2|2 |Vu1,u1|2 и слагаемые типа общие коэффициенты диффузии и время сбоя фазы, |Vl1, u1|2 + |Vl1,u2|2 T |Vu1,u1|2 T учитывать не являющиеся результатом усреднения по обеим зонам:

нужно. Как и в случае одного уровня, для определения si, их нужно разложить в ряды Фурье. После интегрироsl,u =, (68) -вания и решения получившейся системы алгебраических 2(Nl + Nu)l2u Dq2 +, Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, № 1226 Н.С. Аверкиев, Л.Е. Голуб, Г.Е. Пикус При рассеянии на короткодействующем потенциале slu = sul =, (69) -2(Nl + Nu)lu Dq2 + e2 d2q (I) = (l1,l1) Nll3sl(q) (2)v(l) 2l Nl F 1 - NuuUD = Nl + Nu 2 Z + (u1,u1) Nuu su(q), (76) v(u) 2u Nu F 1 - NllL+ (II) =(III) Nl + Nu 2 Z N - [l]Nu W1 e2 d2q + v(l)v(u)lu, (70) = - (l1,l1)Nll2 L1sl(q) Nl + Nu F F Z 2 (2)Z =(1 -NllL1)(1 - NuuU1) - NlNuluW12, + (u1,u1)Nuu U1su(q) (l) (u) Nl/ + Nu/ - =. (71) + (l1,l1)(u1,u1)NlNul2u WNl + Nu Отличие в усреднении по подзонам в выражениях для D slu(q) +sul(q). (77) и обусловлено тем, что при рассматриваемом нами Отсюда и из формул (59)–(62), (68), (69) следует, что феноменологическом введении времен фазовой релаксакак в случае плавного, так и в случае короткодействуции считалось, что они не зависят от углов.

ющего потенциала с учетом межподзонных переходов Для нахождения оператора скорости нужно решить выражения для куперонов представим в виде диффузионуравнение (9) с учетом двух подзон. Это также может ных полюсов. Поэтому выражение для (H) получается быть сделано с помощью фурье-разложения:

заменой (45).

При рассеянии на короткодействующем потенциале () = (), e2 4eDH 1 - NuU1u NuW1u (H) =- f2, (78) (l1,l1) = (l2,l2) = v(l) + v(u), 42 c Z Z где D и определены в (70), (71).

1 - NlL1l NlW1l (u1,u1) = (u2,u2) = v(u) + v(l). (72) В случае плавного потенциала Z Z e2 H H В случае плавного потенциала |W1| |L1|, |U1|, и (H) =- f2 +f2, (79) 42 H+ Hоператоры скорости определяются рассеянием внутри одной подзоны:

где (l) c tr H± = (Al + Au ± F). (80) (l1,l1) = v(l), 4e l Данное выражение для проводимости справедливо при ( tru) произвольном соотношении между временами межпод(u1,u1) = v(u). (73) зонных переходов и временами сбоя фаз волновых функu ций. В предельных случаях выражения для H± упрощаДля вычисления аномального вклада в проводимость ( (u) ются. При lu l) и ul надо подставить выражение для куперонов и оператора скорости в формулы (2)–(4). В случае плавного потен c c H- =, H+ =, (81) циала (l) (u) 4eD(0) 4eD(0) u l 2e2 d2q (l) ( (u) (I) = NlD(0)l(0)tr sl(q) а при lu l) и ul (2)2 l c c 1 ( ( H- =, H+ = +, + NuD(0)u0)tru)su(q), (74) u 4eD0 4e D(0)lu D(0)ul u l H+ H-, (82) (II) =(III) где совпадает с (71), а D0 получается из (70) при e2 d2q ( |W1| |L1|, |U1|:

= NlD(0)l(0) l(0)trl) sl(q) (2)2 l ( NlD(0) +NuDu0) l ( ( (0) D0 =.

+ NuD(0)u0) u - tru) su(q). (75) u Nl +Nu Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, № Слабая локализация в квантовых ямах p-типа Эти формулы имеют наглядный физический смысл. Если окончательное выражение для них имеет вид время сбоя фазы короче времени межуровневых переходов, то обе подзоны дают независимый вклад в проводиpu1(q)= ( мость. Если же за время сбоя фазы носители совершают 2Nuu0) много переходов между подзонами, то проводимость имеет стандартный вид (78), куда входят усредненные, (85) ( ( (0) (0) D(0)q2u0)+ u0)/ + u / (u)+ u /ul u по двум подзонам величины D0 и.

Формула (79) означает, что кривая магнетосопротивления имеет две особенности: при H = H- и H = H+. В pu0(q) = (l,u) 2Nu(0) случае H+ H- (l,u lu,ul ) в полях H H+ u возникает вторая особенность, обусловленная тем, что. (86) частота сбоя фазы магнитным полем становится выше ча( ( (0) (u) (0) D(0)q2u0)+u0)/ + u / + u /ul u стоты межподзонных переходов. При таком соотношении между временами обе особенности могут наблюдаться Выражение для si полностью аналогичны формулам экспериментально. Отсутствие второй особенности в (59)–(62).

формуле (78) объясняется тем, что при рассеянии на Времена (u) описывают спиновую релаксацию в, короткодействующем потенциале верхней подзоне. Мы рассчитали их для рассеяния на короткодействующем потенциале. Общее выражение для c H+ них зависит от типа возбужденной подзоны. Если при 4eD k = 0 ей соответствует второй уровень размерного и представляет собой предельное поле для диффузион- квантования тяжелых дырок, то ной теории.

a/0 В случае, когда смешивание состояний на уровне = av4 dzC4(z), (87) Ферми в верхней подзоне мало, как упоминалось выше, (u) 3 вклад в слабую локализацию вносят все двухчастичные состояния в ней. Такая ситуация реализуется, когда 0 = a(v1v2)2 + 2v(u) (EF - )/ 1. Однако в сферическом приближении вклады в куперон от состояний с моментом 1 и 0 отдеa/ляются. Смешивание состояний в нижней подзоне при 2z dz sin2 C2(z), (88) этом сильное, и в ней существенно только состояние с a нулевым суммарным моментом. Поэтому куперон имеет а если ей соответствует первый уровень легких дырок, вид то a/ 0 C (q) = s1(q)Sl +su(q)SuSu = av4 dzS4(z), (89) (u) 3 +slu(q) Sl Su + Su Sl a/0 16 z = a(v0v3)2+2v2 dz cos2 S2(z). (90) + pul(q) Pu+Pu+ + Pu-Pu- (u) a 3 Отметим, что в использованном нами сферическом + pu0(q)Pu0 Pu0. (83) приближении и в приближении бесконечно высоких Sl, Su определены в (52), а ненулевые компоненты Pi барьеров тип верхней подзоны определяется отношением ml/mh. При ml/mh < 1/4 верхняя подзона сформироваравны:

на тяжелыми дырками, при ml/mh > 1/4 — легкими.

(Pu+)u1 =(Pu-)u2 =1, (Pu0)u1 =(Pu0)u2 =1/ 2. (84) Однако в реальных структурах тип подзоны зависит u1 u2 u2 uне только от отношения масс, поэтому при сравнении Выражения для коэффициентов si и pi зависят от сотеории с экспериментальными данными можно испольотношения между временем межподзонных переходов зовать те выражения для времен спиновой релаксации и временем импульсной релаксации в верхней подзоне.

(87), (88) или (89), (90), которые соответствуют типу При ul u коэффициенты pul и pu0 не имеют вида возбужденной подзоны.

диффузионного полюса и не дают вклада в эффекты сла- Выражение для (H) имеет вид бой локализации, а выражения для si совпадают с (68), e2 H H (69). Соответственно зависимость (H) определяется (H) = 2 f2 +f2 (u) формулой (78). H (u) H В обратном случае, когда ul u, уравнения для puи pu1 имеют вид, подобный (30), (31), в которых нужно H H -f2 -f2, (91) учесть редкие переходы в нижнюю подзону. Поэтому H- H+ Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, № 1228 Н.С. Аверкиев, Л.Е. Голуб, Г.Е. Пикус где Weak localization in p-type quantum wells c 1 1 H (u) = + +, (92) (u) N.S. Averkiev, L.E. Golub, G.E. Pikus 4eD(0) (u) ul u A.F. Ioffe Physicotechnical Institute, c 1 1 (u) Russian Academy of Sciences, H = + +, (93) (u) (u) 4eD(0) ul 194021 St. Petersburg, Russia u а величины H± определяются формулами (80).

Abstract

The weak localization theory leading to the anomalous При H± < H (u) зависимость (H) изменяет знак, а, magnetoresistance is developed for quantum heterostructures with если H± > H (u), то величина (H) положительна во strong spin-orbit interaction. Real quantum wells with a few, всей своей области применимости диффузионной теории.

occupied subbands of size quantization have been considered. We С увеличением концентрации носителей в верхней have shown that the parameters which define the conductivity in (u) подзоне времена спиновой релаксации в ней (u) и classically weak magnetic fields average effectively at intensive elastic transitions between them. In the other limiting case, all уменьшаются и первые два слагаемых в формуле (91) the subbands give independent contributions to the anomalous исчезают. При этом формула (91) переходит в формулу magnetoresistance. Relevant characteristic magnetic fields have (79).

been calculated for an arbitrary relation between the times of phase breaking and intersubband transitions.

5. Заключение Построена теория слабой локализации в квантовых ямах с сильным спин-орбитальным взаимодействием.

Учтена возможность заполнения нескольких подзон размерного квантования. Получены выражения для магнетосопротивления при различных соотношениях времен спиновой релаксации, импульсной релаксации, времени релаксации фазы и времени межподзонных переходов.

Характерные магнитные поля, при которых возможно появление особенностей в магнетосопротивлении, вычислены с учетом реальной зонной структуры квантоворазмерных систем.

Данная работа частично поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (гранты 96-0216959a, 96-15-96955), Программой ”Физика твердотельных наноструктур” и Фондом Фольксвагена (Volkswagen Foundation).

Список литературы [1] S. Hikami, A. Larkin, Y. Nagaoka. Progr. Theor. Phys., 63, (1980).

[2] Б.Л. Альтшулер, А.Г. Аронов, А.И. Ларкин, Д.Е. Хмельницкий. ЖЭТФ, 81, 768 (1981).

[3] С.В. Иорданский, Ю.Б. Лянда-Геллер, Г.Е. Пикус. Письма ЖЭТФ, 60, 199 (1994).

[4] F.G. Pikus, G.E. Pikus. Phys. Rev. B, 51, 16 928 (1995).

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.