WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 2000, том 42, вып. 7 Движущиеся околощелевые солитоны в нелинейной оптической среде © А.С. Ковалев, О.В. Усатенко, А.В. Горбач Физико-технический институт низких температур, 310164 Харьков, Украина Харьковский национальный университет, 310077 Харьков, Украина E-mail: Oleg.V.Usatenko@univer. kharkov.ua (Поступила в Редакцию 4 ноября 1999 г.) Найдены новые двухпараметрические солитонные решения уравнений электродинамики, описывающие распространение волн в одномерной нелинейной оптической среде с периодически изменяющимся коэффициентом преломления. Эти решения представляют собой две взаимодействующие волны, распространяющиеся во взаимно противоположных направлениях. Частота нелинейных колебаний каждой из волн может лежать как в запрещенной щели линейного спектра, так и вне ее, а групповая скорость может изменяться от нуля до максимального значения, определяемого характеристиками среды. Найдены также алгебраические солитонные решения как предел нелинейных решений при стремлении частот нелинейных волн к частотам одной из ветвей линейного спектра.

Существование щелевых (брэгговских) солитонов бы- 1. Основные уравнения ло теоретически предсказано в работах Милса, ТралинРассмотрим одномерную оптическую среду с периоджера и Чена [1,2] при изучении решений нелинейных дически меняющимся с координатой x коэффициентом уравнений Максвелла, описывающих распространение преломления n(x) = n0 + n1 cos(20x). Модуляция нелинейных волн в оптической среде с периодически коэффициента преломления приводит к возникновению меняющимся в пространстве показателем преломления.

в законе дисперсии линейных волн = ck/n0 послеПри этом были найдены лишь неподвижные щелевые довательности щелей с волновыми числами km = m0 солитоны с частотами в щели спектра линейных волн.

(m = 1, 2,... ). При этом величина первой щели Подобные нелинейные возбуждения могут возникать и в оказывается пропорциональной амплитуде модуляции n1, других модулированных системах, в частности в кристала в общем случае щель пропорциональна nm. Будем лах со сложной элементарной ячейкой [3–6] и во многоизучать нелинейные волны с волновыми числами и подрешеточных магнетиках [7]. В работах [8–10] было частотами, лежащими в окрестности главной щели, т. е.

указано на возможность существования неподвижных при k 0 и 0c/n0. Динамическое уравнение солитонов с более сложной структурой и с частотами для напряженности электрического поля в нелинейной вблизи щели спектра линейных волн (”околощелевых” волне, распространяющейся в рассматриваемой среде, солитонов). Нахождение явных решений для движущихможно записать в виде ся солитонов в модулированных средах является более сложной проблемой. Впервые такие решения для щеле- 2E c2 = n2E + 2n0n1 cos(20x)E + |E|2E, (1) вых оптических солитонов обсуждались в работах [11,12] x2 t2 и позже для движущихся упругих щелевых солитонов — где — нелинейный коэффициент Керра.

в работе [13].

Ищем решение уравнения (1) в виде суперпозиции В данной работе анализируются движущиеся околощедвух волн EF и EB, распространяющихся в противополевые солитонные решения, описывающие распростраложных направлениях, что соответствует так называемонение волн в нелинейной оптической среде с модулиму двухволновому приближению [12,13], рованным показателем преломления. Данные решения E = EF(x, t) exp(ix) относятся к семейству двухпараметрических солитонов и представляют собой локализованные возбуждения на + EB(x, t) exp(-ix) exp(-it) +c.c. (2) фоне неубывающей на бесконечности нелинейной волны.

Солитоны огибающей движутся с групповой скоростью Из предположений о малости амплитуды модуляции линейных волн. Рассмотрен также предельный переход коэффициента преломления n1 и амплитуды поля E к неподвижным и так называемым ”алгебраическим” солитонам, т. е. солитонам с параметрами, лежащими на n1 n0, E2 n2 1 (3) одной из ветвей спектра линейных волн, разграничивающей в линейном пределе щелевые и околощелевые следует, что амплитуды EF и EB являются плавными решения. функциями координаты x и времени t, т. е. E/x E Движущиеся околощелевые солитоны в нелинейной оптической среде и E/t E. Поэтому при подстановке решения огибающие солитонов в виде бегущих волн с групповой (2) в уравнение (1) можно ограничиться лишь первыми скоростью V. Тогда система уравнений (8) перепишется производными от амплитуд по координате и времени. следующим образом:

В результате для величин EF и EB получается система F1 i дифференциальных уравнений в частных производных (1 - V) = iF2 - iF1 - |F1|2 + 2|F2|2 F1, первого порядка x F2 i EF n2 EF i + = - EF c22 - 2n2 -(1 + V ) = iF1 - iF2 - |F2|2 + 2|F1|2 F2. (10) x x c2 t 2c n0nДля этой системы спектр линейных волн + i EB exp -2i( - 0)x 2c2 F exp it - ik(x - Vt) представляется в виде + i |EF|2 + 2|EB|2 EF, (4) =-kV ± 1 + k2 = ± 1 - V2, 2c EB n2 EB i где групповая скорость V = /k.

- + = - EB c22 - 2nx c2 t 2c2 Далее будут приведены солитонные решения данной системы с V = 0 (неподвижные солитоны) и V = n0n+ i EF exp 2i( - 0)x (движущиеся солитоны).

2c + i |EB|2 + 2|EF|2 EB. (5) 2c2. Неподвижные решения В нулевом приближении по малым параметрам (3) Неподвижные солитоны в модулированных средах несистема уравнений (4), (5) определяет спектр линеариоднократно анализировались [1-10]. Поэтому не будем зованной системы в отсутствие модуляции 0 = c/n0.

подробно останавливаться на данном вопросе и привеИз (4) и (5) следует также, что решение (2) справедливо дем лишь частный случай для околощелевых солитопри выполнении неравенства | -0| 1/a, где a —ханов [8-10], которым и посвящена данная работа.

рактерный размер области локализации солитонного реПолагая в (10) V = 0, получим следующую систему шения. Вводя обозначения = 0n1/2n0, = 0/2n2, уравнений:

v = c/n0 и полагая = 0, имеем F1 i EF 1 EF = iF2 - iF1 - |F1|2 + 2|F2|2 F1, + = iEB - i |EF|2 + 2|EB|2 EF, x x v t EB 1 EB F2 i - + = iEF - i |EB|2 + 2|EF|2 EB. (6) - = iF1 - iF2 - |F2|2 + 2|F1|2 F2. (11) x v t x В линейном приближении спектр этой системы есть Удобно проводит анализ, используя вещественные переменные = 0 ± v 2 + k2, (7) g = F1 + F2, f = i(F1 - F2). (12) где k = - 0.

Производя перенормировку амплитуд, координат и Для них имеем следующую систему дифференциальвремени e1 = 2/EF, e2 = 2/EB, x x, ных уравнений:

vt t, приходим к системе уравнений в безразмерных переменных g = - f (1 +) - f (g2 + f ), x e1 e1 i + = ie2 - |e1|2 + 2|e2|2 e1, t x f - = g(1 - ) - g(g2 + f ). (13) e2 e2 i x - = ie1 - |e2|2 + 2|e1|2 e2. (8) t x Анализ этой системы подробно проводился в рабоИщем решение этой системы уравнений в виде тах [3,7]. Она обладает следующим ”интегралом движения”:

ei = Fi exp(it), (9) 2 E = -(1 +) f +(1 - )g2 - (g2 + f )2. (14) где отклонение частоты от середины щели является одним из параметров двухпараметрического семейства решений. Кроме того, полагаем зависимость амплитуд Fi Нас будут интересовать околощелевые солитоны с от координаты и времени в виде Fi = Fi(x-Vt), т. е. ищем < -1. Солитонные решения в данном случае 5 Физика твердого тела, 2000, том 42, вып. 1220 А.С. Ковалев, О.В. Усатенко, А.В. Горбач выглядят следующим образом: Из первых двух уравнений получаем интеграл движения 1 ± - cosh 2 -1 - x 8 (1 - V)u2 - (1 + V)u2 = C, (20) 1 g = (1 +), cosh2 2 -1 - x + где константа C определяется соотношением амплитуд u1 и u2 на бесконечности (x ±). Для щелевых 8 солитонов эта константа равна нулю, поскольку в таких f = (1 +) sinh 2 -1 - x солитонах оба поля убывают до нуля на бесконечности. В околощелевых солитонах одно или оба поля могут иметь 1 ± - cosh 2 -1 - x отличную от нуля асимптотику на бесконечности, что. (15) cosh2 2 -1 - x + соответствует так называемым ”солитонам на пьедестале”. Таким образом, для этих солитонов константа C, При -1 решения переходят в так называемый вообще говоря, может быть и не равной нулю. В этом ”алгебраический” солитон со степенным убыванием амслучае она является третьим независимым параметром плитуд на бесконечности солитона (первые два параметра — частота искорость V). Мы ограничимся в этой работе обсуждением свойств 4 2 1 4 2 2x g =, f =. (16) двухпараметрических солитонов. Трехпараметрические 1 + 4x2 1 + 4x3 солитоны будут исследованы в дальнейшем.

Для изучения свойств двухпараметрических солитонов Данное решение разграничивает щелевые и околощелеполагаем константу C в соотношении (20) равной нулю вые солитоны.

и получаем связь между амплитудами u1 и u2:

В исходных переменных F1, F2 околощелевой солитон имеет вид 1 - V u2 = u1. (21) 1 + V - cosh 2 -1-x - F1 = F2 = - -1- Вводя перенормированную координату - cosh 2 -1-x + z = (x - Vt)/ 1 - V2 и исключая переменную u2, получим следующую систему уравнений для u1, s и q:

exp -i arctan sinh 2 -1 - x. (17) 1 + du= u1 sin(2s), dz ds 3. Движущиеся околощелевые = cos(2s) - - (V)u2, dz солитоны dq = -V - (V )u2, (22) Для анализа движущихся околощелевых солитонов dz вернемся к системе (10). Сделаем замену переменных где F1 = u1 exp(iq + is), F2 = u2 exp(iq - is) (18) =/ 1 - V2, (V ) =(3 - V )/2(1 + V ) 1 - V и получим следующую эффективную ”динамическую и систему” в терминах u1, u2, s, q:

(V ) =V/(1 + V) 1 - V2.

Первые два уравнения отделяются и представляют u1 u2 sin(2s) =, собой эффективную гамильтонову систему с гамильтоx (1 - V ) нианом H =[cos(2s) - ]u2 - u4 (23) 1 u2 u1 sin(2s) =, x (1 + V) для канонически сопряженных обобщенных координаты 2s и импульса u2. Наличие интеграла движения H s cos(2s) (1 + V)u2 +(1 - V)u2 позволяет проинтегрировать систему уравнений (22).

= x 1 - V 2u1uФазовые портреты рассматриваемой системы для раз 3(u2 + u2) - V(u2 - u2) личных значений частоты приведены на рис.1, a и b.

1 2 2 - + = 0, 1 - V2 4(1 - V2) При > 1 - V (что соответствует значению >1) особые точки для фазовой плоскости u1, s отсутствуq cos(2s) (1 + V)u2 - (1 - V)u2 1 ют и солитонных решений в этой области нет. При = x 1 - V2 2u1u = 1 - V, т. е. = 1 (что отвечает верхней ветви спектра линейных волн), единственной особой точкой V (u2 - u2) - 3V (u1 + u2) 1 2 2 - + = 0. (19) 2 является точка s = u1 = 0, которая расщепляется на 1 - V 4(1 - V2) Физика твердого тела, 2000, том 42, вып. Движущиеся околощелевые солитоны в нелинейной оптической среде 2 Рис. 1. Фазовый портрет системы уравнений (22). a —при - 1 - V < < 1 - V (частота и волновой вектор лежат внутри области, ограниченной двумя ветвями спектра линейных волн). Координаты седловых точек: u1 = 0, cos(2s0) =. b —при < - 1 - V (частота и волновой вектор лежат под нижней ветвью спектра линейных волн). Координаты седловых точек:

u1 = ± (-1 - )/, s = ±/2.

четыре особые точки в области -1 < < 1 (центры Используя соотношения (9), (18), (24) и возвращаясь s = 0, u1 = ± (1 - )/ и седла s = ±0.5 arccos, к исходным переменным, получим u1 = 0). В этой области (область A на рис. 2) 2(1+V) существуют щелевые движущиеся солитоны, соответe1 = - 1 - V - 13 - V2 - cosh ± ствующие сепаратрисам C и C на рис. 1, a. В случае < - 1 - V2, т. е. <-1 (область B на рис. 2), каждая из седловых точек расщепляется на две с координатами exp i arctan sinh 1 + s = ±/2, u1 = ± (-1 - )/, отвечающими ненулевому состоянию системы на бесконечности. Сепаратрисы V(x - Vt) 1 + C, C, B, B, соединяющие эти точки, описывают два exp it + i - + 3 - V 1 - Vтипа движущихся околощелевых солитонов с частотами, лежащими под нижней ветвью спектра линейных волн.

4V - exp ± Решения для этих околощелевых солитонов имеют вид + i arctan, 3 - V-1 - s = arctan sinh 2 -1 - z, 2(1-V ) 1 + e2 = - 1 - V2 - 1- 3 - V2 - cosh ± 1 u1 (-1 - ) 1 -.

exp -i arctan sinh - cosh 2 -1 - z ± 1 + (24) После подстановки найденного выражения для u1 в V(x - Vt) 1 + exp it + i - + уравнение для переменной q получаем явный вид этой 3 - V 1 - V функции 4V - exp ± + i arctan, (26) 3 - V-1 - 1 + q = Vz - + 3 - Vгде = 2 -1 - (x - Vt)/ 1 - V.

Найденные околощелевые солитоны представляют со - exp 2 -1-z ± 4V бой так называемые солитоны ”на пьедестале”, движу+ arctan. (25) 3 - V-1 - щиеся с той же скоростью, что и нелинейные волны с Физика твердого тела, 2000, том 42, вып. 1222 А.С. Ковалев, О.В. Усатенко, А.В. Горбач Полагая в формулах (26) V = 0 и переходя к переменным f, g (см. (12)), мы получим уже ранее приводившееся выражение для неподвижного ”алгебраического” солитона (16).

В настоящей работе получены и проанализированы солитонные решения в нелинейной оптической среде с модулированным коэффициентом преломления. Параметры солитонов лежат внутри щели спектра линейных волн (так называемые щелевые солитоны) и вблизи нее (околощелевые солитоны). Основным результатом является впервые полученное аналитическое выражение для движущихся околощелевых солитонов, которые представляют собой локализованные возбуждения на фоне нелинейных волн с неубывающей на бесконечности амплитудой (так называемые солитоны на пьедестале).

Скорость околощелевого солитона равна групповой скорости фоновой нелинейной волны.

Мы рассматривали случай так называемой фокусирующей нелинейной оптической среды с положительным коэффициентом в уравнении (1). При этом околощеРис. 2. Область существования солитонных решений на левые солитонные решения существуют в области под плоскости параметров, V. Окружность соответствует закону нижней ветвью спектра линейных волн. В случае отридисперсии линейных волн = ± 1 - V. Заштрихованная цательных значений коэффициента (дефокусирующая область A внутри окружности отвечает щелевым солитонам, среда) характер солитонных решений в щели и около нижняя дуга окружности — ”алгебраическим” солитонам, пощели качественно не изменится, однако околощелевые лоса ниже окружности (область B) — околощелевым солитосолитоны будут существовать в области над верхней нам.

ветвью спектра линейных волн.

постоянной амплитудой. В этом легко убедиться, рассмотрев асимптотики решения на бесконечности Список литературы 2(1 ± V ) e = ± i - 1 - V2 - [1] W. Chen, D.L. Mills. Phys. Rev. Lett. 58, 160 (1987).

1,3 - V [2] D. Mills, J. Trullinger. Phys. Rev. B36, 947 (1987).

V (x - Vt) 2V [3] O. Chubykalo, A. Kovalev, O. Usatenko. Phys. Rev. B47, exp it + i + i, (27) 3 - V2 (1993).

1 - V [4] A.S. Kovalev, K.V. Kladko, O.V. Usatenko. J. Phys. Soc. Jpn.

совпадающие с решением системы (8) для простран64, 2464 (1995).

ственно однородных, нелинейных волн.

[5] O.V. Usatenko, A.S. Kovalev, A.A. Vialov. Fluctuation PheПри изменении координаты от - до + фаза nomena: Disorder and Nonlinearity / Ed. by A.R. Bishop, высокочастотного ”заполнения” солитона приобретает S. Jimenez, L. Vazquez. World Scientific (1994). P. 286;

сдвиг =(3 + 2V - V2)/(3 - V2). О.В. Усатенко, А.С. Ковалев, А.А. Вялов. ФТТ 37, (1995).

Представляет интерес предельный переход от дви[6] O. Chubykalo, Yu. Kivshar. Phys. Rev. E48, 4128 (1993).

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.