WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 1998, том 40, № 7 Вклад неравновесных оптических фононов в эффекты Пельтье и Зеебека в полярных полупроводниках © Ю.В. Иванов, В.К. Зайцев, М.И. Федоров Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия (Поступила в Редакцию 19 сентября 1997 г.

В окончательной редакции 6 января 1998 г.) Рассчитаны аддитивные вклады в коэффициенты термоэдс и Пельтье, обусловленные неравновесностью продольных оптических фононов. Полученные результаты корректны для любых температур и применимы к полярным невырожденным полупроводникам с низкой концентрацией носителей заряда. Вычисленные составляющие термоэлектрических коэффициентов экспоненциально малы в области низких температур и достигают максимума при kBT 0. В материалах с большой массой носителей заряда и сильным электронфононным взаимодействием вклад оптических фононов в коэффициент термоэдс может превышать 1 mV/K.

В настоящее время достаточно хорошо исследованы Пельтье, так как ответственные за него изотермические как увлечение носителей заряда акустическими фонона- процессы проще и нагляднее.

ми, так и обратный процесс. При низких температурах В расчете будем использовать изотропные параболичеименно эти явления часто определяют соответственно ские спектры носителей заряда и продольных оптических эффекты Зеебека и Пельтье. В полярных полупроводни- колебаний ках взаимодействие носителей заряда с упругими опти2 k2 ческими колебаниями значительно сильнее, чем с акуk =, q = 0 + aq2. (1) 2m стическими. Поэтому, несмотря на меньшую групповую скорость оптических фононов, учет их неравновесности Здесь m — эффективная масса носителей. Параметр a необходим при рассмотрении явлений переноса в этих определяет дисперсию фононов.

материалах.

Законы сохранения разрешают электрону с волновым Различные варианты увлечения квазичастиц с участи- вектором k взаимодействовать с квазичастицей, у котоем неравновесных оптических фононов исследовались рой q max{k, }, где — абсцисса точки пересечения в работах [1–5] (см. также ссылки в [2,3]). Из-за спектров (1). Поэтому в полупроводниках не слишнеупругости рассеяния электронов расчеты выполнялись ком тяжелые носители увлекают лишь длинноволновые в пределах низких и высоких температур, допускающих фононы. Для них слагаемое aq2 мало по сравнению с использование приближения времени релаксации. Од- предельной частотой 0. Однако пренебречь дисперсией нако вклад увлечения в явления переноса максимален нельзя1. В противном случае обратится в нуль групповая при kBT 0 (0 — предельная частота продольных скорость оптических фононов, а вместе с ней и перенооптических фононов). Только в этом случае число ква- симый ими тепловой поток.

зичастиц в фононной подсистеме достаточно велико, и В линейном по параметру a приближении фононная отклонение от равновесности не слишком мало. добавка к коэффициенту Пельтье имеет вид В данной работе в рамках простой модели, но для wp Pp произвольной температуры рассчитаны добавки к коэфp = =, (2) j e Pe фициентам Пельтье и Зеебека полярного полупроводника, обусловленные неравновесностью продольных оптигде wp и j — плотности соответственно теплового ческих фононов. Для упрощения вычислений мы предпотока, переносимого продольными оптическими фоноположили, что из всех взаимодействий, в которых принами, и электрического тока, e — заряд носителей (для нимают участие оптические фононы, наиболее сильным электоронов e < 0), Pp и Pe — полные квазиимпульсы является взаимодействие с акустическими колебаниями.

фононной и электронной подсистем, Это приближение справедливо при малой концентрации 2mносителей заряда.

= a2, 2 =. (3) Все перечисленные векторы параллельны электриче1. Основные уравнения скому полю, и лишь их модули использованы в скалярном коэффициенте (2).

Хорошо известно, что коэффициенты Зеебека S и Мы не будем рассматривать акустооптическое увлечение [3], при Пельтье связаны соотношением Томпсона: = TS.

котором оптические фононы лишь передают полученный от электронов Поэтому достаточно рассчитать один из них. Мы рассмоквазиимпульс акустическим колебаниям и могут быть бездисперсионтрим вклад неравновесных оптических фононов в эффект ными.

1210 Ю.В. Иванов, В.К. Зайцев, М.И. Федоров В рассмативаемой задаче функция распределения про- Ее температурная зависимость определяется в основном дольных оптических фононов определяется неравновес- сомножителем в квадратных скобках. Кроме того, эта ными процессами в электронной подсистеме. Удобно частота практически не зависит от волновых векторов исключить ее из рассмотрения. Для этого воспользуемся квазичастиц [10]. Поэтому параметр pa можно считать фононным уравнением Больцмана константой.

Теперь легко выразить N1(q) через n1(k). Подставляя 0 = Spe + Spa, (4) (5), (6), (10) в (4), находим где Spe и Spa — интегралы столкновений продольных N1(q) =p(q)Se, (12) pe оптических фононов соответственно с носителями заряда и акустическими колебаниями. Левая часть уравнения где p(q) = (pa + pe)-1. Используя это равенство, обращается в нуль из-за изотермичности эффекта Пель- преобразуем квазиимпульс Pp в исходной формуле (2) к тье. Интеграл Spe представим в виде суммы виду 2d3k p Spe = Spe + Se, (5) Pp = kE f (k)n1(k), (13) pe (23) где где p Spe = -pe(q)N1(q), (6) f (k) =2-1k-2 p(q)w(q) (q2 -2)[N0(0) Se =w(q) n1(k) 1 + N0(0) - n0(k-q) pe + n0(k+q)](k - k+q + 0) +(q2 +2) (k - k-q - 0) - N0(0) [1+N0(0) -n0(k-q)] 2d3k + n0(k+q) (k - k+q + 0), (7) d3q (2) (k - k-q - 0), (14) (2)n0(k) и N0(0) — соответственно функции Ферми и а kE — проекция волнового вектора на направление Планка, n1(k) и N1(q) — линейные по электрическому полю анизотропные части функций распределения. Ча- электрического поля E. Произведение k f (k) можно стота столкновений фононов с равновесными носителя- рассматривать как средний вклад электрона с волновым вектором k в полный квазиимпульс увлекаемых фононов.

ми заряда При малой концентрации носителей заряда pe(q) =w(q) [n0(k) -n0(k+q)] pa max pe(q), (15) 2d3k и интеграл (14) берется в элементарных функциях (см.

(k - k+q + 0) (8) Приложение).

(2)Трехкратные интегралы, определяющие квазиимпульи функция сы Pp и Pe, легко свести к однократным, если разложить w(q) =82 0-1q-2, (9) n1(k) по сферическим гармоникам определяющая вероятность трехчастичных столкновений n1(k) = nlm(k)Ylm(, ). (16) в полярных полупроводниках [6], зависят от безразlm мерной константы электрон-фононного взаимодействия. Каждое из слагаемых в линеаризованном интеграле Полярный угол отсчитывается от направления элекстолкновений (5) описывает процессы, в которых лишь трического поля. Учитывая, что f зависит только от одна из взаимодействующих подсистем является неравмодуля k, а kE Y10, вместо (13) получаем новесной. Верхний индекс указывает на эту подсистему.

Основным неэлектронным каналом релаксации неравP = k3F(k)n10(k)dk, (17) новесных оптических колебаний, по-видимому, является распад на два акустических фонона [7–10]. При темпе- ратурах kBT 0 акустическая подсистема близка к где F(k) = f (k) для квазиимпульса Pp и F(k) =1 для Pe.

равновесной. Поэтому интеграл столкновений Spa в (4) Чтобы вычислить коэффициент n10(k) в разложении можно записать в приближении времени релаксации (16), воспользуемся электронным уравнением Больцмана, записанным в виде Spa = -paN1(q). (10) n1(k) =n0(k) +ed(k)Sep, (18) Частота процессов распада длинноволновых квазича- стиц pa имеет вид [7,9] где n0 eed(k) n0(k) =- uk, u = E. (19) pa = pa 1 + 2N0. (11) k m Физика твердого тела, 1998, том 40, № Вклад неравновесных оптических фононов в эффекты Пельтье и Зеебека... Предполагается, что кроме взаимодействия носителей Оставшееся в (21) слагаемое в принятом приближес оптическими фононами, описываемого интегралом нии имеет вид столкновений Sep, имеется дополнительный механизм e рассеяния, для которого справедливо приближение вреSep = - ep(k)n1(k) + w(k -k) мени релаксации. Условно назовем его взаимодействием электронов с ”дефектами”. Предположим также, что N0(k -k - 0) +(N0 +1) зависимость соответствующего этому процессу времени релаксации от k является степенной d3k (k -k + 0) n1(k ), (24) (2)ed(k) =edx2r, (20) где где x = k/. Например, при рассеянии на акустических фононах r = -1/2, при рассеянии на ионизированных ep(k) =20x-1 N0 ln(x + x2 + 1) +(x -1) примесях r = 3/2.

Интеграл столкновений Sep опять удобно разбить на (N0 +1) ln(x + x2 - 1), (25) две части e p Sep = Sep + Sep. (21) N0 N0(0), а функция (t) равна нулю при t < 0 и единице при t 0.

Слагаемое Se зависит только от электронной функции pe Чтобы вывести уравнение для коэффициента n10(x)2, распределения n1(k) и описывает столкновения с равноумножим (18) на Y10(, ) и проинтегрируем по углам, p весными фононами. Слагаемое Sep учитывает неравноучитывая ортогональность сферических гармоник. В ревесность последних и ответственно за обратное увлечезультате получим ние носителей фононами. Очень трудно рассчитать вклад взаимного увлечения квазичастиц [3] в термоэлектричеb1(x)n10( x2 - 1) +b2(x)n10(x) ские эффекты. Мы рассмотрим полупроводник с малой концентрацией носителей заряда, удовлетворяющей не+ b3(x)n10( x2 + 1) =n0 (x), (26) p равенству (15). В этом предельном случае добавкой Sep e по сравнению с Sep можно пренебречь.

где Понять взаимосвязь неравенства (15) с малостью b1(x) = -0edN0(x - 1)x2r-обратного увлечения несложно. В нормальных процессах рассеяния квазиимпульс сохраняется. Поэтому при лю- 2x2 - бых функциях распределения скорость передачи квази ln(x + x2 - 1) - 1, (27) x x2 - импульса одной подсистемой с точностью до знака равна скорости приема его другой подсистемой. В рассматриb2(x) =1 +ed(x)ep(x), (28) ваемом случае это утверждение сводится к равенствам b3(x) = -0ed(N0 + 1)x2r-2d3k d3q e kSep = qSe, (22) 2x2 + (2)3 pe (2) ln(x + x2 + 1) - 1, (29) x x2 + 2d3k d3q n0 (x) =Cedx2r+1 exp(-x2), (30) p p kSep = qSpe. (23) (2)3 (2) = 0/kBT, а C — некоторый независящий от x множитель, который сокращается при вычислении отноЕсли выполнено соотношение (15), а также уравнения шения Pp/Pe.

(4), (6), (10), то правая часть (22) много больше правой Будем рассматривать переменную x как фиксированчасти (23). Следовательно, также соотносятся и левые ный параметр. Тогда коэффициенту n10(x) соответствует части равенств (22) и (23). Другими словами, в элекноситель с энергией k = 0x2, а линейное уравнение тронную подсистему возвращается лишь незначительная (26) связывает искомый коэффициент с двумя другими, часть передаваемого фононам квазиимпульса. Остается соответствующими энергиям 0(x2 ± 1). Именно на заметить, что нигде ранее мы не фиксировали явный вид эти уровни происходит переход носителя при взаимодейфункций распределения. Использованные соотношения ствии с оптическим фононом. Уравнение (26) справедлиопределяли только их связь. Поэтому интеграл в левой во для произвольного x. Поэтому можно рассмотреть части (23) должен быть малым при любой определяющей совокупность эквидистантных энергетических уровней его функции N1(q). Это возможно, если мало само по 0(x2 + i) и для каждого из них записать соотношение дынтегральное выражение. Таким образом, почти во вcех точках фазового пространства выпоняется неравенство Вместо n10(x) следовало написать n 10(x) n10(x). Мы опустили p e |Sep| |Sep|. штрих в надежде, что это не вызовет путаницы в дальнейшем.

Физика твердого тела, 1998, том 40, № 1212 Ю.В. Иванов, В.К. Зайцев, М.И. Федоров типа (26). В результате получается бесконечная система линейных уравнений ci jn10( x2 + j) =n0 ( x2 + i), j=i = 0, 1, 2,..., (31) у которой отличны от нуля только следуюшие коэффициенты:

cii-1 = b1( x2 + i), cii = b2( x2 + i), cii+1 = b3( x2 + i). (32) В приведенном виде система справедлива для x < 1. Это не уменьшает общности подхода, как ее решением так является набор зависимостей n10( x2 + i), области определения которых перекрывают весь диапазон изменения энергии носителя.

Функция распределения экспоненциально убывает с ростом энергии, поэтому практически всегда можно оборватьсистему (31) на l-м уравнении, заменив в нем n10( x2 + l + 1) на n0 ( x2 + l + 1) или вообще Рис. 1. Зависимости Dr() при различных значениях r (a) отбросив содержащее эту функцию слагаемое. Число и D() (b).

оставляемых уравнений зависит от температуры. Например, при 1 вполне можно ограничиться двумя или тремя уравнениями. В этом случае легко может быть найдено аналитическое решение системы.

В первом случае ed (0)-1; следовательно, при вычислении функции D электрон-фононным взаимодействием можно пренебречь. При этом матрица ci j в (31) 2. Термоэдс увлечения оказывается единичной До сих пор речь шла о вычислении коэффициента n10(x) =n0 (x), (35) Пельтье (2). На практике чаще используют коэффициент и расчет зависимости D(; r, 0) Dr() сильно упротермоэдс. Чтобы определить вклад неравновесных оптищается. В ряде случаев удается выразить Dr() через ческих фононов в эффект Зеебека, достаточно разделить модифицированные функции Бесселя (см. Приложение).

(2) на температуру. Учитывая при этом явный вид функСемейство кривых Dr() представлено на рис. 1, a.

ции f (k) в приближении малой концентрации носителей Во втором случае ed (0)-1, поэтому только заряда (П1), получаем электрон-фононное взаимодействие обеспечивает релаксацию квазиимпульса носителей. В диагональных элеkB Sp = D(; r, s), (33) 0 ментах матрицы ci j можно опустить аддитивные едиepa ницы, а затем резделить все уравнения системы (31) где на 0ed( x2 + i). В результате этой процедуры из Pp уравнений исключаются множители, содержащие ed, а D(; r, s) =, (34) решение оказывается пропорциональным (0)-1. ПоPe следняя комбинация параметров не влияет на отношение s = 0ed, а Pp отличается от Pp отсутствием множитеPp/Pe. Из аргументов зависимости D(; r, ) D() соля 0/pa в f (k). Функция (34) всегда положительна.

храняется только обратная приведенная температура.

Поэтому знак термоэдс зависит от знака параметра a в Функция D() представлена на рис. 1, b.

спектре фононов и типа носителей. Если a > 0, то знак Температурная зависимость коэффициента термоэдс Sp совпадает со знаком диффузионной термоэдс.

(33) определяется в основном функцией D. Та или иная Безразмерный параметр s определяет относительную кривая представленного на рис. 1 семейства выбираетроль взаимодействий носителя с оптическими фононами ся в соответствии с механизмом релаксации электрони ”дефектами”. Представляют интерес два предельных ной подсистемы. Величина Sp определяется множителем случая: 1) s 0, 2) s. kB/epa. Максимумы приведенных на рис. 1 кривых Физика твердого тела, 1998, том 40, № Вклад неравновесных оптических фононов в эффекты Пельтье и Зеебека... Dr() вниз наблюдается при уменьшении параметра r (рис. 1, a). У этих двух особенностей общая причина.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.