WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

49 49 b Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. 1198 С.О. Гладков, И.В. Гладышев Экспериментальные значения параметров некоторых диэлектриков Постоянная Число, cl, ct, C111111, Группа A, cs,, |e|, решетки, атомов g/cm3 105 cm/s 105 cm/s D 10-12 cm3/dyn симметрии 10-8cm 105 cm/s K 1012 dyn/cm10-8 cm на ячейку [10] [10] [10] [15] C m3m 3.57 [11] 8 1.785 3.51 18.1 12.1 13.22 1.5 1850 [10] (алмаз) 1860 [10] - 2250 [10] NaCl m3m 5.64 [11] 6 3.1 2.17 4.57 2.69 2.98 1.7 320 [10] 275 [10] -8.43 SiO2 32 a, b=4.913 9 2.438 2.65 5.96 4.44 4.77 1.34 580 -2.1 (-кварц) c=5.404 [12] -8.15 (C333333) Расчет по данным таблицы.

Прежде чем переходить к описанию коэффициен- Усреднив (14) по направлениям фононов и оставляя та теплопроводности, скажем еще несколько слов по наиболее быстрый продольный механизм релаксации, поводу параметра. По определению приповерхност- получаем ный слой диэлектрика представляет собой термостат, c2 Nl(k) l и его толщина определяется временем упругой релак = l(k) lkd3k, (15) (2)3 T сации поверхностных (но тем не менее трехмерных) фононов благодаря их рассеянию непосредственно на где параметр -1 = 31/3(1 + 23)2/3. Во избежание загранице диэлектрика. Как видно из численных оценок громождения текста будем в дальнейшем писать без времени релаксации (рис. 2), в случае алмаза оно черточки.

соответствует llt(T0), т. е. величина должна быть Несмотря на простоту приведенной формулы, она меньше, чем cl · llt(T0). Взяв llt 10-7 s, получаем тем не менее, позволяет проанализировать весь ход <1.8 · 106 · 10-7 = 0.18 cm. Для образца с линейным температурной зависимости при любых T ; зада размером L 0.5 cm параметр малости, связывающий = ча должна заключаться только в оценке времен ревременаllt и lT t, согласно (1), будет = 2/L = 0.72.

l лаксации lk. Можно показать, что законами сохраВ качестве параметров расчета (a,, и др.) исD нения энергии и импульса разрешены только четыпользовались справочные экспериментальные данные, + ре диссипативных процесса: 1) b+btk blk ; 2) b+btk btk ;

lk lk 1 2 1 численные значения которых представлены в таблице.

3) b+btk ; 4) b+bok b+. Для процесса 1) разрешенные lk lk okРасчет обратного времени 3-1 (по порядку величины значения виртуального волнового вектора определены -совпадающего с llT ) и u-1 показал, что до размеров cl-ct неравенством k1 · k. Для процесса 2) имеем образца L < L0 = 3-10 cm будет преобладать механизм 2cl cl cl k k связи продольных фононов с поперечными фононами - 1 k1 + 1. Для процесса 3) ограни2 ct 2 ct термостата. Для массивных образцов (L > L0) и в опреcl чений нет. Для процесса 4) k1 + k, где деленных областях плоскости T -L (рис. 3) начинают вводится из определения спектра оптических фононов „работать“ процессы переброса.

0k = 0 - k2, справедливого в длинноволновом приНадо заметить, что зависимость коэффициента теплоближении; o 2(cs /a), а acs/4.

= проводности (T ) при любых T, и в том числе в области В результате оказывается, что обратное время релакправее максимума, аналитически не просчитывается, сации есть сумма хотя именно она и является наиболее интересной. Благодаря же методам численного интегрирования задача 1 1 1 1 1 cl = + + + +, (16) оказывается решаемой.

lk 1lk 2lk 3lk imp k L Анализ зависимости (T ) начнем с общего выражения где входящие сюда времена релаксации определяются для тензора ij, где индексы i, j = x, y, z. Используя выражениями хорошо известное газокинетическое приближение [2], представим его в виде k 1 a Nl(k) d3k = 1 D 2 · dk1 · Nl(k - Nlk 1-k) ij = lkviv lk 1lk M3c2ct j l T (2)k Nt(k) d3k k2A2 (k1 - k)22 - (k1A - k)+ tkviv tk, (14) j T (2) 2 + 6 · k4 1 - A)2 + 36 · k2 1 - A2 · (k1A - k)2, (17) где дисперсия фононов lt(k) =cl,tk.

1 Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. ство е Вещ К теории теплопроводности диэлектриков при учете связи с термостатом... 1 a приведены значения размерной константы e, связанной = 2 D 2lk M3clct с простым соотношением e = /a3 (по алмазу e D дано для типа IIa). При этом, поскольку в выражеz k ния (П1)-(П4) входит только 2, e можно опреде k4(1 - B2) · dk1 1 + Ntk - N(lk - tk ), (18) лить лишь по абсолютному значению. Для imp было 1 z k 1 принято значение 102. Некоторая сложность возникает с выбором значения температуры Дебая. Дело в том, что в разных работах (а иногда и в одном издании) 1 a = 3 D 2 · k1 · Nok - No(lk - ok ) приводятся различные значения для одного и того D 1 3k M3clo же материала (разница может достигать более 20% — z см. таблицу). Для алмаза и NaCl были использованы cl 6 cl 2 значения, взятые из работы [8], статья „ТеплоD k4 - kk2 + k2 + k - k2k2 dk1, (19) 1 1 49 емкость“: алмаз — 2250 K, NaCl — 275 K. Эти данные лучшим образом соответствуют температуре Де2 · ci · imp a34k4 бая, определенной по выражению = cs(62N/V )1/3.

D D =, (20) 2 Что касается кварца, то, так как данные по для D imp k 18 · M2ct cl него в [8] отсутствуют, была взята температура Дебая, 1 вычисленная по той же формуле и по приведенным где параметры 1 = 2 · 108 · = 1.94 · 10-62, в таблице экспериментальным данным ( = 580 K).

D k2+k2-2(k-k1)A =, причем A 1, = cl/ct 1, Заметим, что разное определение температуры Дебая 2kkприводит к некоторому (несущественному) разбросу в =( + 1)/( - 1), 2 = 2 ·49 · = 9.5 · 10-52, 392 поведении (T). Размеры образцов, для которых даются k(1-2)+2kэкспериментальные результаты по теплопроводности, B =, z =( - 1)/2, z =( + 1)/2, 1 2kсоставляли: для алмаза и NaCl 0.5cm (при расчете L, cl z = k +. Константа 3 = 2 ·49 · 27 = 3.7· 10-52.

3 принято равным 0.5 cm); для кварца —0.5 0.5 4cm 2 392 ( измерялось по оси C и поэтому размер был выбран Время L/cl учитывает механизм кнудсеновского расL = 4cm).

сеяния продольных фононов на границах образца. Это Рис. 4 и 5 дают хорошее согласие результатов чисвремя релаксации, ответственное в основном за уширеленного интегрирования приведенного теоретического ние линии (T), играет важную роль только в области выражения для коэффициента теплопроводности диэлекнизких температур.

триков с экспериментальными данными. Пренебречь же С помощью формул (16)–(20) коэффициент теплопровлиянием примесного рассеяния здесь нельзя даже для водности (15) приводится к следующему компактному наиболее чистого алмаза типа IIa (рис. 4, a), поскольвыражению:

ку в природе не встречается полностью идеальных 3 кристаллов, а синтетические („искусственные“) алмазы L T cl (T,, R) = · пока что еще более „дефектны“, чем натуральные.

a 2 · 31/3 a2(1 + 23)2/D В итоге, для алмаза типа IIa при оговоренных выше параметрах интегрирования получены следующие зна /T D y4Ny (1 + Ny ) чения: e 1.35 · 1014 erg/cm3 и ci 3 · 10-6, что соот dy, (21) 1 + F(y) ветствует концентрации примеси порядка 5 · 1017 cm-3.

Здесь необходимо особо отметить, что, во-первых, если бы величина imp была принято другой, то и значе 1/ где =, а функция, стоящая в D D ние ci изменилось бы. Во-вторых, концентрация при1+знаменателе, представляет собой сумму F(y) = месей 1017 cm-3 не является для алмаза такой уж = F1(y) +F2(y) +F3(y) +Fimp(y). Входящие сюда большой. Согласно [9], в наиболее чистых алмазах функции приведены в Приложении.

(тип IIa) содержание только „азота в A-форме... составЧисленное интегрирование выражения (21) (с учетом ляет менее 1018 cm-3“, а всего в алмазе насчитывается формул (П1)-(П4)) было проведено с использованием до 50 типов различных дефектов, как примесных, так широко освещенных в литературе методов (см., на- и собственных. В литературе же приводятся, как прапример, [5–7]), а потому не будем заострять на нем вило, усредненные данные. В связи с этим несколько внимание. Отметим только, что в качестве параметров сложнее сравнивать теорию и эксперимент для алмаза использовались экспериментальные данные, представ- типа I и IIb (рис. 4, b), так как среди алмазов типа IIb ленные в таблице (полагалось только, что cl = cl). встречаются и полупроводники [9,10], а тип I обычно Эффективная константа выбиралась из условия соот- так же разбивают на подклассы в зависимости от типа ветствия результатов численного интегрирования экспе- и количества дефектов и примесей [9]. Встречаются и риментальным данным. В последнем столбце таблицы алмазы с концентрацией примесей более 1020 cm-3. КроФизика твердого тела, 2004, том 46, вып. 1200 С.О. Гладков, И.В. Гладышев ме того, при большой концентрации примесей должны меняться плотность, скорость звука и другие параметры материала, по-разному влияющие на ход зависимости (T ). Чтобы не усложнять расчеты и учитывая усредненный характер экспериментальных данных, для алмаза типа I и IIb нами были зафиксированы все параметры интегирования (как для алмаза типа IIa) и варьировались только и ci. В результате было получено: для алмаза типа IIb e 1.7 · 1014 erg/cm и ci 1.5 · 10-5, а для типа I e 2 · 1014 erg/cmи ci 6 · 10-5.

Для NaCl и SiO2 механизм рассеяния акустических фононов на оптических, естественно, учитывался. В то же время эти кристаллы выращиваются достаточно высокого качества и количество примесей в них было принято пренебрежимо малым (ci = 0). Из рис. очевиден вывод: несмотря на то что NaCl — ионный кристалл, а кварц — пьезоэлектрик, главный вклад в зависимость (T ), так же как и в случае алмаза, вносит чисто фононный механизм релаксации, связанный с торможением объемных фононов, движущихся со скоростью увлечения V, на неподвижных термализованных Рис. 5. Температурная зависимость теплопроводности NaCl (a) и SiO2 (b). Точки — эксперимент (по данным [10]), сплошные линии — теория и численный расчет.

фононах граничного слоя. Роль оптических фононов здесь весьма существенна. Относительно значения e для кварца необходимо заметить, что, по-видимому, оно должно отличаться от данных по NaCl и алмазу.

Это связано с тем, что -кварц принадлежит к группе симметрии 32, для которой тензор iklmnp имеет уже не 6, а 14 независимых компонент.

Видно, что с увеличением концентрации примесей величина теплопроводности резко падает. Этот результат не противоречит экспериментальным данным, а сама зависимость (T ) становится при этом более пологой и ее максимум смещается в сторону высоких температур.

В принципе, уже этот механизм может привести к тому, что вплоть до температуры фазового перехода (например, плавления) (T ) не будет достигать максимума. Подобная зависимость наблюдается для ряда стекол [10] (см. также [11–15]). Поведение (T ) для стекол не объясняется так просто, поскольку в случае сильно „дефектных“ и некристаллических материалов Рис. 4. Температурная зависимость теплопроводности алмаза.

по формуле (21) можно оценить лишь качественное Точки — эксперимент: 1, 3, 4 — по данным [10], 2 — по поведение коэффициента теплопроводности, хотя общая данным [13]. Сплошные линии — теория. a —алмаз типа IIa, b —алмаз типа I (3) и IIb (4). тенденция ясна.

Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. К теории теплопроводности диэлектриков при учете связи с термостатом... Таким образом, получены следующие основные результаты.

1) Впервые обращено внимание на корректную постановку задачи о роли поверхностных фононов термостата в теории внутренней микроскопической релаксации кристаллических диэлектриков.

2) Построена теория релаксации, учитывающая четыре основные взаимодействующие подсистемы: продольные и поперечные акустические фононы, оптические фононы и термализованные поверхностные фононы. При помощи численного интегрирования найдено строгое соотношение между временами релаксации, которое невозможно было бы определить чисто аналитически, а следовательно, и выяснить иерархию времен.

Рис. 6. Вид зависимости (T ) при различных значениях кон- 3) Как результат теории релаксации удалось точно станты нелинейного взаимодействия e3(1)> e2(2)> e1(1). описать коэффициент теплопроводности с учетом только На вставке — зависимость температуры Tmax (1) и амплитуды наиболее важных механизмов взаимодействий.

max (2) максимума (T ) от e.

4) С помощью метода численного интегрирования построены точные теоретические кривые зависимости (T ) для некоторых типов кристаллических диэлектриков (алмаз, NaCl, SiO2) и дано адекватное объяснение множеству имеющихся экспериментальных данных во всем температурном диапазоне изменения функции (T ), за исключением лишь области сверхнизких температур.

Этот температурный диапазон должен стать предметом отдельного исследования.

5) При построении кривой (T ) подставлялись численные значения только экспериментально установленных параметров. В нашем рассмотрении не было использовано ни одного подгоночного параметра, кроме константы нелинейного взаимодействия фононов и ширины области контакта, которая в силу малости размера образца была одного порядка с L, так что параметр /L из ответа выпал (см. приведенные выше Рис. 7. Зависимость температуры Tmax (1) и амплитуды оценки). По совпадению с экспериментальными резульmax (2) максимума (T ) от отношения продольной и попетатами можно оценить константу нелинейного взаиморечной скоростей звука. На вставке —те же зависимости, действия фононов. По нашим оценкам, она составляет но в меньшем масштабе (1: 10). Буквами a, b, c, d показапримерно 1013 erg/cm3.

ны экстремальные точки кривых, проявляющиеся в большем масштабе.

Заметим также, что исследование области контакта с термостатом и температурная зависимость (T ) представляют собой важную и не простую как в теоретическом, так и в экспериментальном плане задачу.

На рис. 6 показано влияние эффективной Авторы выражают искреннюю признательность константы взаимодействия. Кривой 1 соответствует А.С. Сигову, сделавшему ряд полезных замечаний.

e =1.5 · 1014 erg/cm3, а кривой 3 — e =3.5 · 1014 erg/cm3.

С ростом e величина уменьшается, а максимум (T ) смещается в сторону низких температур. Скорость Приложение изменения (e) говорит о сильном влиянии константы нелинейного взаимодействия на максимумы теплопроВходящие в (21) функции таковы водности, положения которых практически совпадают для алмаза, NaCl и кварца (рис. 7) и составляют 3 L 2(2 - 1) T cl для экстремумов: a —- 1.35, b — 3.25, c — F1(y) = 1 · y5 · a · a4cl (1 + 23)2 cs D 1.65 и d — 7.8. Интересно отметить, что по экспериментальным данным [10] получается, что как для кристаллических, так и для стеклообразных (x - 1)2 · 1(x) N y(x - 1) - N(xy) dx, (П1) диэлектриков лежит в основном в пределах 1.34-3.1.

4 Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. 1202 С.О. Гладков, И.В. Гладышев 3 · 62 [7] Р.П. Федоренко. Введение в вычислительную физику.

где константа нелинейного взаимодействия 1 = 392 · Изд. МФТИ, М. (1994). 528 с.

= 0.12 2, а функция [8] Физические величины: Справочник / Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. Энергоатомиздат, М. (1991).

1(x) = x2 + 1(x - 1)22 (x + 1)2 - 2(x - 1)1232 с.

[9] С.П. Плотникова. В сб.: Алмаз в электронной технике.

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.