WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. 7 К теории теплопроводности диэлектриков при учете связи с термостатом (теория и численный эксперимент) © С.О. Гладков, И.В. Гладышев Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет), 119454 Москва, Россия (Поступила в Редакцию в окончательном виде 1 декабря 2003 г.) Исследованы внутренние микроскопические диссипативные явления, имеющие место в кристаллических диэлектриках, в которых главным взаимодействием является связь всех подсистем с термостатом.

Показано, что в реальных физических случаях, если учитывается связь не только между взаимодействующими фононными подсистемами диэлектрика, но и с термостатом, процессы переброса для размера образца, меньшего некоторого критического значения L0, играют довольно слабую роль. Для этого случая доказано, что газ фононов „сверхтечет“ по объему без торможения и останавливается лишь благодаря взаимодействию с неподвижными поверхностными фононами термостата.

Численными методами установлено, что umklapp-процессы начинают проявляться лишь при высоких температурах T (когда T превышает величину, приблизительно равную /4, где — температура Дебая) D D и для размеров образца L, больших L0, значение которого, согласно приведенным оценкам, должно быть порядка 10 cm.

При построении теории теплопроводности в кристал- Предположим, что в результате некоторого внешнего лах принципиальное значение имеет, как известно, дис- воздействия (акустической волной или импульсным ласипативная картина установления внутреннего теплово- зерным излучением) внутренняя фононная подсистема го равновесия в релаксирующих подсистемах.

диэлектрика была выведена из положения равновесия, Традиционным этапом окончательного установления а затем диэлектрик мгновенно поместили в термостат равновесия в диэлектриках считался и до сих пор считас температурой T0. Поставим перед собой цель описать ется механизм переброса (так называемые umklapp-проход установления внутренней релаксации с учетом связи цессы (см., к примеру, монографии [1,2])), ответвсех фононных подсистем с термостатом в поверхностственный за релаксацию импульса системы фононов.

ном слое.

Этот механизм впервые был введен в терминологию В результате контакта поверхности диэлектрика Р. Пайерлсом в 1929 г. Процессы переброса действис некоторым тепловым резервуаром (рис. 1) у тельно играют чрезвычайно важную роль, однако лишь поверхностных трехмерных фононов в области в том случае, если образец массивный. В самом деле, за время min = /cl, где cl — продольная сколегко представить ситуацию, когда размер образца L рость звука, всегда большая поперечной скорости ct, сравнительно невелик и время свободного пробега фоустановилось равновесное бозевское распределение нона от границы до границы 0 есть L/cs, где cs — - Ns = exp( t,k/T0) - 1, где t,l = ct,lk — дисперсия средняя скорость звука (так называемый кнудсеновский фононов, k — волновой вектор. Постоянную Больцмаслучай). Поскольку же соответствующее время релакна kB здесь и далее будем полагать равной единице.

сации, обязанное перебросом, экспоненциально велико [1,2], с очевидностью можно утверждать, что часто может быть реализована ситуация, когда неравенство u < L/cs нарушается и становится обратным начиная с некоторых значений L

связи с которой устанавливается равновесное состояние в Исследованию именно такого случая и посвящена насто- системе объемных неравновесных фононов, в случае, когда ящая работа. размер образца L < L0 (относительно L0 см. текст статьи).

К теории теплопроводности диэлектриков при учете связи с термостатом... Сразу подчеркнем, что речь идет о не слишком низких температурах, по крайней мере больших температуры жидкого гелия. Описание установления термодинамического равновесия при температурах, близких к абсолютному нулю, является отдельной задачей.

Взаимодействие объемных фононов с поверхностными приводит к выравниванию неравновесных параметров (T T0, µl 0, Vt 0) и полному термостатированию внутренних подсистем. Забегая вперед, скажем, что это становится ясным после сравнения обратных времен релаксации со временем umklapp-процесса и наглядно показано с помощью численного расчета на рис. 2.

Как видно из приведенного рисунка, при температурах, меньших температуры Дебая, umklapp-процессы подавляются и становятся менее эффективными, а газ фононов „сверхтечет“ до границ образца. Такая ситуация в каком-то смысле сходна с баллистическим течением электронов в металлах в условиях их слабого взаимодействия с фононами.

Для массивных образцов (оценки размеров см. далее) umkla pp-процессы играют главную роль, и торможение неравновесного фононного газа происходит раньше, чем этот газ успеет достичь границ диэлектрика.

Для рассматриваемой модельной ситуации будем предполагать, что время max = /cl меньше всех возможных времен релаксации в системах (max

этим условием накладывается вполне конкретное ограРис. 2. Соотношения между временами релаксации для ничение на ширину области поверхностного контакалмаза, полученные численным расчетом. Здесь введены со та. К примеру, если температура T 100 K, то = кращенные обозначения: llt — обратное время релаксации rel = llt = 5 · 10-9 s (рис. 2) и для cl = 1.8 · 106 cm/s для процессов с двумя продольными и одним поперечным (взятой нами для алмаза) будет выполняться условие фононами; ltt — то же, но для одного продольного и двух <10-2 cm.

поперечных фононов; Opt — обратное время релаксации для С повышением температуры времена rel уменьшаютпроцесса слияния двух продольных в один оптический фонон;

ся, а потому величина также должна уменьшаться. При Imp — обратное время релаксации для процесса трансфорэтом фононы вблизи поверхности становятся полностью мации продольного в поперечный в результате рассеяния на примесях; Unf — обратное время релаксации продольных двумерными. Связь с ними объемных фононов приведет фононов для umklapp-процессов.

к термализации последних. Заметим, что температурная зависимость времен релаксации весьма сильно изменяется при учете взаимодействия с двумерными фононами.

При анализе внутреннего теплового равновесия в процесса обозначим как imp lt. Время установления квадиэлектрике мы рассмотрели следующие четыре подсизиравновесного распределения продольных фононов lll стемы: а) продольные фононы (l), б) поперечные фонооказывается самым большим из перечисленных, но, ны (t), в) оптические фононы (o) и г) термостат (T ) с однако, меньшим, чем время релаксации продольного температурой T0 = const.

фонона, за счет процесса b+ b+ bok с участием оптичеlk ok1 Исходя из принципов, изложенных, например, в моноских фононов. Это время обозначим как loo. Замыкает графии [2] (см. также работы [3,4]), можно сделать вывод цепочку самый медленный по отношению к упомянутым о том, что самое малое время релаксации соответствует механизмам процесс релаксации — механизм переброса трехчастичному процессу рассеяния в системе попереч- с характерным временем u. Как показал численный ных фононов, которое обозначим через ttt. Следующим анализ, существует, однако, некоторая область на плосв иерархической цепочке времен будет время llt, отвеча- кости T -L, внутри которой процессы переброса явля+ ющее процессу взаимодействия b+ blk btk, где b+ (blk) — ются главными (рис. 3); этот случай мы сейчас не расlk lk 1 оператор рождения (уничтожения) продольного фонона сматриваем. Это означает, что все упомянутые времена + с волновым вектором k, а btk(btk) —то же самое для по- объединяются в единое математическое неравенство перечных фононов. Конкурирующий с этим механизмом вида ttt llt imp lt

Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. 1196 С.О. Гладков, И.В. Гладышев В случае важного для нашей задачи учета связи с термостатом (схема на рис. 1) мы имеем право записать следующие неравенства: TTT

L ttT = · ttt, t L lT t = · llt, l Рис. 3. Заштрихованная область в плоскости T -L (L —размер образца), где процессы переброса начинают играть существенную роль. Построение выполнено при фиксированном L imp lTt = · imp lt. (1) значении = 0.18 cm и полагалось, что не зависит от T.

С учетом этого теперь просто записать кинетическое уравнение, которое в -приближении оказывается уравнения. Наконец, последнее уравнение (относительно вполне достаточным для наших целей. Проводя далее его линеаризацию по независимым параметрам Vt, µl эволюции скорости увлечения Vt) представляет собой закон сохранения импульса квазичастиц. Оно получено и T = Tt - T0, где µl — химический потенциал проумножением кинетического уравнения на k и последудольных фононов, получаем уравнения, описывающие ющим интегрированием. Как и должно быть, помимо релаксацию этих параметров времени, связанного с термостатом, в нем присутствует и время релаксации, обязанное процессам переброса u.

= - T, В наиболее интересной с теоретической и экспериментальной точек зрения области температур, а именно при T <, и в случае не слишком массивных образцов 1 D µl = - µl, с линейным размером L (рис. 3) должно выполняться условие 1/3 1/u (рис. 2). Оно означает, что окончательное установление равновесия во всех подсисте1 Vt = - + Vt, (2) мах характеризуется временем lT t (L/2)llt и для 3 u l небольших образцов, когда L 2, будет lT t llt.

l где обратные времена есть Если же образец массивный, то Z 2 и lT t llt.

l Чтобы сравнить 3 с u, необходимо воспользоваться lk Nlk d3k аналитическим выражением для u. Выражение для u lT Tt Tt =T0,µl=Vt =ltk =, (3) в случае трехчастичного взаимодействия продольных 1 lk Nlk d3k фононов имеет вид Tt Tt =T0,µl =Vt= 1 a3k D Nlk = · d3k lT tk ( lk) uk 4 M3c4|k + g| 1 Tt=T0,µl =Vt=0 l l =, (4) 2 Nlk /ak d3k ( lk) Tt=T0,µl =Vt=3 (k + g) x2 37(x + 1)2 + x2 +(x + 1)2 x2 k k2 Nlk |k+g|-k d3k lT tk ( lk) 2k 1 Tt=T0,µl=Vt =l =. (5) 3 k2 Nlk d3k N( lk · x) - N lk · (x + 1) dx. (6) ( lk) Tt=T0,µl=Vt =-Система уравнений (2) определяется следующим обУсреднение обратного времени uk по равновесной разом. Первое уравнение, выражающее закон сохранебозевской функции распределения продольных фононов ния энергии, получено путем умножения обеих часосуществляется с помощью формулы тей кинетического уравнения на lk и последующим dk интегрированием по d3k. Второе уравнение выражает k2Nlk uk закон сохранения числа продольных фононов и найдено =.

u k2Nlk dk просто интегрированием обеих сторон кинетического Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. К теории теплопроводности диэлектриков при учете связи с термостатом... После подстановки сюда явного выражения для 1/uk, Обратное время релаксации для примесного рассеясогласно (6), найдем окончательно ния есть 1 y3N(y) 1 cD l = G dz · dy = ciB y6N(y) dy, (10) u g1()M3c4a2 (y, z ) imp lt a4c5g1() l s -1 где ci — концентрация примесных атомов, B = S(x, y) N(x) - N (x + y) dx, (7) 5 D = 25 Mc2. Здесь — феноменологическая без(y,z )-y l размерная константа связи фононов с примесным ато мом.

где параметры есть G = 2 · 2.44 · 10-5, = /(T ), D Наконец, последнее из времен определяется выражеа функции имеют вид (y, z ) = y2 + yz · 4 + 42, нием S(x, y) =37x2(x + y)2 + 3[x2 +(x + y)2 - (y, z )]2, g1() = y2N(y) dy, N(y) =.

1 cey - = 5.9 · 10-4 · 2 l ltt ac6g1() Для всех остальных средних времен релаксации в s случае кристаллического диэлектрика с кубической сим 3(2 - 1)метрией имеем следующие результаты. Для обратного y2N(y) dy времени релаксации продольного фонона при его взаиa4cl (1 + 23)модействии с одним продольным и одним поперечным виртуальными фононами получаем Bx x 2(x, y) 1 + N + N y - dx, (11) 1 c = 3.9 · 10-4 · 2 l Bllt ac6g1() s - где пределы интегрирования по x есть B1 = y, 2(2 - 1) N(y) · dy 2 2 y +a4cl (1 + 23)2 yB2 = y, а функция 2 = x - y -.

2 2 Среднее время релаксации 3 можно оценить по y формуле (x - y)21(x, y) N (x - y) - N(x) dx, (8) /T D y 1 2 = y4N(y) 1 + N(y) dy, (12) +3 Lg llty где безразмерные параметры есть =, -1 cl cs = cl/ct > 1, =, =, cs = · cl, D D a 1+a /T D а функция 1(x, y) =y4[x2 + y2 - (x - y)22] (x + y)2 где нормировочная функция g = y4N(y) 1+N(y) dy.

- 2(x - y)2 + 6(2 - 1)y2(x - y)2 x2 + y2 - 2(x - y)В раскрытом виде получится + 36(x - y)2 (x + y)2 - 2(x - y)2. Время релаксации с участием оптического фонона будет определяться /T D 1 равенством = y4N(y) 1 + N(y) dy 3 Lg 3 2/3 T 1 c2 = 0.04 · 2 l 1 + 23 · loo acsg1() a4cl D 3 c2 2(2 - 1) T 0.12 · 2 l acs a4cl (1 + 23)2 D 2 D exp - 1 - exp(-y) N(y)y2 dy T (x - 1)21(x) N y(x - 1) - N(xy) dx. (13) x · exp(-x)3(x, y) dx, (9) Необходимо заметить, что все эти выражения для xH (y) времен релаксации были необходимы для численного b расчета, результаты которого приведены на рис. 1.

где нижний предел интегрирования xH(y) = y, 4 b 3 T параметр b = ·, функция 3(x, t) =x2 Поэтому заинтересовавшийся читатель сам сможет про4(1+23)2/3 D верить правильность соотношений между временами 20 5 - xy - bx(y)2 + (by)2 y +. путем численного интегрирования.

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.