WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. 7 Нелинейное экранирование иона легирующей примеси на металлической стороне фазового перехода Мотта в полупроводниках © Н.А. Поклонский, С.А. Вырко Белорусский государственный университет, 220050 Минск, Белоруссия E-mail: poklonski@bsu.by (Поступила в Редакцию 30 июля 2001 г.) Дан анализ нелинейного экранирования ионизованного донора вырожденным газом электронов проводимости кристаллического полупроводника. При нелинейном экранировании плотность заряда экранирующего ион электронного облака не пропорциональна суммарному электростатическому потенциалу иона и облака.

В результате потенциал слабее спадает с расстоянием от иона, чем в линейном приближении, и величина энергии электростатической корреляции иона с экранирующим облаком меньше.

Работа поддержана грантом Белорусского государственного университета.

Явление экранирования заключается в том, что ион иона с экранирующим его облаком электронов в при„собирает“ вокруг себя неравномерно заряженное, в ближениях линейного и нелинейного экранирования.

среднем сферически симметричное облако из подвиж- 1. Рассмотрим нелинейное экранирование ионизованных зарядов противоположного знака [1,2]. Заряд облака ного донора вырожденным газом электронов проводиравен по величине и противоположен по знаку заряду мости в электронейтральном кристаллическом полупроиона, и совместно они создают электростатический воднике, исходя из уравнения Пуассона [5–8] (средний по времени) потенциал (r), где r —радиус1 s (r) e n(r) - n вектор, направленный от центра иона к экранирующему = - +Ze(r) = -Z(r), (2) 0 r 0 r облаку.

Для описания экранирования ионов в вырожденном где (r) — трехмерная дельта-функция Дирака, s(r) — электронном газе полупроводника используют модель плотность экранирующего заряда, n(r)-n — отклонение Томаса–Ферми [3–8], в которой зависимость энергии от среднего значения n концентрации электронов c-зоны электрона E от квазиволнового вектора k на расстона расстоянии r от иона.

янии r от иона имеет вид E = ( k)2/2m - e(r), В свою очередь в окрестности иона концентрацию где e и m — модуль заряда и эффективная масса электронов проводимости, соответствующую электроэлектрона.1 В приближении линейного экранирования статическому потенциалу (r), слабо меняющемуся на полагается, что по абсолютной величине потенциальная длине волны „среднего“ электрона, можно записать в энергия „среднего“ электрона |e(r)| мала по сравнению виде [9] с энергией Ферми EF и плотность заряда экранирующего облака пропорциональна (r). Тогда суммарный + электростатический потенциал иона с зарядом Ze и n(r) = g(Ekin) f (Ekin - e(r) - EF)dEkin экранирующих его электронов c-зоны описывается выражением [1–8] + Ze -r = g E + e(r) f (E - EF)dE, (3) (r) = exp, (1) 4r где = r 0 — диэлектрическая проницаемость полугде E = Ekin - e(r) — полная энергия электрона, равпроводника, обусловленная электронами v-зоны, 0 — ная сумме кинетической Ekin и потенциальной -e(r);

электрическая постоянная, —длина (радиус) экраниg(Ekin) — плотность состояний электронов в c-зоне, рования кулоновского потенциала.

- f (E - EF) = 1 + exp (E - EF)/kBT — функция Цель работы — описать нелинейное экранирование иона с зарядом Ze > 0 в полупроводнике n-типа, т. е. слуФерми–Дирака, EF — уровень (энергия) Ферми, kBT — чай, когда энергия электрона |e(r)| в поле иона не мала тепловая энергия.

по сравнению с энергией Ферми EF и плотность заряда В формуле (3) за начало отсчета энергии выбрано экранирующего облака не пропорциональна (r). Далее дно c-зоны (E = 0) и учтено то обстоятельство, что сопоставлены энергии корреляционного взаимодействия энергия электрона проводимости, не захваченного на 1 связывающую орбиталь ионом, не может принимать В [4] учитывалось изменение квадратичной зависимости E(k) от квазиимпульса k при заполнении v-зоны дырками. отрицательные значения (рис. 1). Если электроны могут 3 1186 Н.А. Поклонский, С.А. Вырко В работах [14,15] подстановка в уравнение Пуассона (2) точного выражения (3) вызывает возражения.

Дело в том, что если в уравнении (2) под (r) понимать среднее во времени значение потенциала в точке с радиус-вектором r, то в правой части (2) с учетом (3) среднее значение функции s заменяется функцией от среднего значения, что допустимо только для линейных функций от (r). Поэтому при наличии значительных флуктуаций потенциальной энергии электронов имеет смысл только линеаризованное уравнение Пуассона = -2 и соответствующее ему решение (1).

Одноэлектронная плотность состояний (4) применима для описания экранирования стороннего иона в кристаллическом металле, когда вырожденный электронный газ существует на фоне регулярно расположенных ионРис. 1. Функция экранирования S(r) ионизованного донора ных остовов и отсутствуют флуктуации потенциальной в n-Si (1) и n-GaAs (2) при n = 1019 cm-3 и T 0K, энергии электронов проводимости. В полупроводнике 3 — S(r) =exp(-r/). На вставке — заполнение зоны провоn-типа большая концентрация электронов проводимости димости электронами (затененная область) при экранировании является следствием большой концентрации ионов леиона; -e(r) < 0 — потенциальная энергия электрона на расгирующей примеси (доноров). Поскольку расположение стоянии r от иона, штриховая — приближение линейлиния ионов примеси в решетке кристалла случайное, возного экранирования, g(Ekin) Ekin — зависимость плотности никают пространственные флуктуации потенциальной состояний электронов c-зоны от кинетической энергии.

энергии электрона с дисперсией, которую обозначим W.

Однако, если энергетические уровни примесных атомов располагаются в зоне разрешенных энергий кристалзанимать состояния ниже дна c-зоны, что имеет мелических полупроводников, возможна ситуация, когда сто при экранировании ядра сверхатома — селективно EF kBT, т. е. электронный газ вырожден, и в то же легированной донорами наноразмерной области в собвремя EF > W. Например, это имеет место (по меньственном полупроводнике [10], — то нижний предел шей мере при температуре T 0) для кристаллов интегрирования в (3) следует заменить на -e(r) < 0.

PbTe:Tl [16] и HgSe:Fe [17]. В частности, атомы Fe в Плотность состояний электронов в c-зоне полагаем HgSe являются донорами, уровни которых расположеравной плотности состояний в нелегированном полупроны в c-зоне на расстоянии примерно 220 meV от ее воднике [3,7] дна. При концентрации железа N < 5 · 1018 cm-3 все 21/2m3/2 ионы Fe2+ автоионизуются, превращаясь в ионы Fe3+.

g(Ekin) = Ekin, (4) При этом концентрация электронов проводимости n 2 равна концентрации ионизованных доноров N. При где m — эффективная масса плотности состояний элекдальнейшем увеличении концентрации атомов железа тронов в одной долине, — число эквивалентных энер(доноров) только часть их оказывается ионизованной.

гетических долин (минимумов кинетической энергии) в В этом случае уровень Ферми стабилизируется в окрестc-зоне, — постоянная Планка.

ности донорного уровня. Корреляция в расположении Итак, уравнение (2) с учетом (3) и (4) дает согласодоноров Fe3+ возникает вследствие их кулоновского ванное описание рассматриваемой задачи нелинейного отталкивания, которое стремится расположить положиэкранирования иона примеси с зарядом Ze > 0 без учета тельные заряды на тех атомах железа, которые как флуктуаций потенциальной энергии электронов c-зоны в можно дальше отстоят друг от друга. Ясно, что если кристаллическом полупроводнике.

все хаотически расположенные доноры ионизованы, то Отметим, что по [11] в кристаллическом полупроих упорядочения не возникает [18], поскольку половоднике относительная диэлектрическая проницаемость жения доноров фиксированы в пространстве, и тогда r зависит от расстояния до экранируемого иона приусловием применимости формулы (4) является неравенмеси, находящегося в узле (или междоузлии) кристалство EF > W.

лической решетки. Согласно расчетам для кристаллов кремния [12] и германия [13], проницаемость r, обус- Далее будем рассматривать экранирование кулоновского потенциала иона примеси в таком легированном ловленная электронами валентной зоны, изменяется от кристаллическом полупроводнике, для которого плотr = 1 вблизи иона до r = 11.47 (Si) и 15.40 (Ge) на ность состояний электронов имеет вид (4).

расстояниях порядка постоянной решетки a. Поэтому уравнение (2) применимо на расстоянии от иона r > a, Для случая линейного экранирования иона, т. е. при когда диэлектрическая проницаемость кристаллической e|| EF (в вырожденном электронном газе) и при решетки равна r 0. e|| kBT (в невырожденном газе), уравнение (2) с Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. Нелинейное экранирование иона легирующей примеси на металлической стороне... учетом (3) и (4) сводится к линейному уравнению [19] Хевисайда, то уравнение (11) упрощается 3/s d2S 27/2m3/2 Ze2S = - · =, (5) = + EFr =dr2 3 r решением которого является (1) с длиной экранирова- 3/Ze2S ния - - (EFr)3/2 (12) e2 n e2 21/2m3/-2 = = Ef (1- f )dE. (6) и при = 1, r = 1 сводится к уравнению работы [6].

EF =0 2 kBT Анализ решения уравнения (12) проведем для Z = +1; уровень Ферми EF нормируем на 2/3EB, где В вырожденном полупроводнике, когда f (1 - f ) EB = e2/8aB; aB = 4 /e2m — боровские энергия kBT (E - EF), где (E - EF) — дельта-функция и радиус для электрона в одной долине c-зоны. (ЧтоДирака, из (6) следует длина экранирования Томаса– бы получить решение для Z > 1, в S(r) для Z = Ферми необходимо произвести следующие замены: r rZ, EF EF/Z2, kBT kBT /Z2).

2EF 1/ =. (7) На рис. 1 представлены зависимости S(r), численно 3e2n рассчитанные по нелинейному уравнению (12) для n-Si Для случая нелинейного экранирования в рабои n-GaAs с концентрацией электронов n = 1019 cm-3 при тах [20,21] доказано, что уравнение (2) с учетом (3) температуре T = 0. При этой концентрации электронов и (4) в термодинамическом равновесии при s / < проводимости и n-Si, и n-GaAs находятся на металлиимеет единственное устойчивое решение, которое в ческой стороне перехода изолятор–металл по Мотту.

трехмерном пространстве можно представить в виде [6] (Соответствующие переходу Мотта значения концентрации водородоподобных примесей для слабо комZe пенсированных полупроводников собраны в [22]). При (r) = S(r), (8) 4r расчете для n-Si (кривая 1) принималось m 0.33m0, = 6, r 11.5, EB2/3 112 meV, EF 16 meV, где S(r) — функция экранирования кулоновского потен = 0.8 nm; для n-GaAs (кривая 2) m 0.067m0, = 1, циала, удовлетворяющая граничным условиям r 12.4, EB 5.9meV, EF 260 meV, = 3.45 nm.

Видно, что чем больше энергия Ферми EF, тем сильнее lim S(r) =1, lim S(r) =0;

r0 r нелинейное экранирование и тем S(r) по (12) ближе к линейному приближению S(r) = exp(-r/) с длиной линейному приближению соответствует S(r) = экранирования по (7).

= exp(-r/).

2. Для описания электростатических корреляций [1,2] Лапласиан от потенциала (8) в сферической системе в электронной (дырочной) или электронно-дырочной координат есть плазме возникает необходимость расчета энергии взаимодействия экранируемого заряда с экранирующим Ze d2S(r) (r) =, (9) облаком электронов E1 < 0 и электронов облака 4r drмежду собой E2. При линейном экранировании энергия корреляции E(cor) = -(E1 + E2) найдена в [9,23–27] так что из (2) следует плотность заряда экранирующего ион электронного облака 3 3eE(cor) = -(E1 + E2) =- E1 =, (13) Ze d2S 4 s = - = -e n(r) - n, (10) 4r drгде длина экранирования иона вырожденным электронным газом определяется (7).

где n(r) дается формулой (3).

Уравнение (2) с учетом (3)–(10) относительно функ- В случае нелинейного экранирования энергия кулоции экранирования S(r) иона принимает вид новского взаимодействия иона с зарядом +e и экранирующего облака электронов с плотностью s(r) в виде (10) есть d2S 21/2m3/2 Ze2S = 4r E + - E f dE. (11) e s(r) e e d2S dr2 2 3 4r E1 = d3r = - 4r2 dr 4 r 4 4r2 drЕсли экранирование иона примеси осуществляется 2/ 32n e2 dS вырожденным электронным газом EF = 2m = - < 0. (14) 4 dr kBT, тогда f (EF - E), где (EF - E) — функция r=3 Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. 1188 Н.А. Поклонский, С.А. Вырко Энергию взаимодействия электронов сферическисимметричного экранирующего облака между собой с учетом формулы (10) можно представить в виде 1 1 s(r ) E2 = s(r)d3r d3r > 0. (15) 2 4 |r - r | При взятии интеграла в (15) по d3r = = -2r 2dr d(cos ) полярную ось направляем вдоль r, так что cos = cos(r, r ). Это дает r 1 s(r ) 1 r 2s(r ) d3r = dr d(cos ) 4 |r - r | 2 |r - r | 0 -+ Рис. 2. Нормированная на боровскую энергию EB и число доr 2s(r ) + dr d(cos ). (16) лин в зоне проводимости зависимость по (19) с учетом (12) |r - r | корреляционной энергии E(cor) от уровня Ферми EF при r -T 0 (1); 2 — приближение линейного экранирования (13).

Используя соотношение [28,29] 1 r l Pl(cos ) для r < r, r r В приближении линейного экранирования, когда 1 l== S(r) =exp(-r/), из (19) следует (13).

l |r - r | 1 r Энергии E(cor) при экранировании иона, рассчитанные Pl(cos ) для r > r, r l=0 r по (19) и (13), в зависимости от EF при T приведены на рис. 2, где энергии нормированы на 2/3EB;

где Pl(cos ) — функции Лежандра, и интегрируя (16) концентрация электронов в одной долине c-зоны равна по cos, получаем n/. Видно, что корреляционная энергия E(cor), численно r + рассчитанная по (19) с использованием точной функции 1 s(r ) r d3r = s (r )dr + r s (r )dr.

экранирования S(r) из уравнения (12), стремится к 4 |r - r | r значению E(cor) в линейном приближении (13) с ростом r (17) энергии Ферми.

Из (17) с учетом (10) имеем Отметим, что на величину E(cor) уменьшается энергия термической ионизации водородоподобных атомов приr 1 s (r ) e r d2S(r ) меси по сравнению со случаем изолированных (уедиd3r = dr ненных) примесей [24]. Энергия E(cor) также вносит 4 |r - r | 4 r dr основной вклад в величину сужения запрещенной зоны кристаллических полупроводников при сильном легиро+ d2S(r ) e вании [9].

+ dr = 1 - S(r), dr 2 4r Согласно моделям [9,27,30], сужение запрещенной r зоны кристаллического полупроводника, определяемое так что интегрирование в (15) по r дает методом фотолюминесценции, равно сумме уменьшения энергии неравновесной дырки2 за счет экранирования ее + электронами c-зоны и уменьшения энергии электронов 1 e d2S E2 = 4r2 1 - S(r) dr за счет их обменного взаимодействия 2 4r dr(cor) (exc) Eg Eg0 - Eg = Eg + Eg > 0, (20) + e2 dS = dr. (18) где Eg0, Eg — ширины запрещенных зон нелегиро8 dr ванного и легированного кристаллов соответственно (cor) Eg = E(cor) > 0 — электростатическая энергия корСуммарная корреляционная энергия, обусловленная реляции дырки с электронами из экранирующего ее обнелинейным экранированием иона примеси электронами (exc) лака, Eg = E(exc) > 0 — уменьшение энергии элекпроводимости, по (14) и (18) есть трона в результате обменного взаимодействия с другими + электронами c-зоны.

e2 dS 1 dS E(cor) = -(E1 + E2) = - dr.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.