WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Vb n NnNn (k) Vb exp -ikt · f a n = L n(11) F f F Разложим функцию (k) в ряд Фурье по симметризо ванным плоским волнам Pn(k) exp ik · ( f an - f an ) f an- f an,a(L) f F f F (17) (k) = CnPn(k). (12) или для симметричного и несимметричного преобразоn вания (1) соответственно L Коэффициенты Фурье этого разложения в силу (11) (k) (k) Pn kt P kt n вычисляются по формулам t= max |an- f an | L n,n Cn = P (k)(k) dk. (13) Nn Pn (k)n, Vb n,Rn =min |an- f an | Vb = (18) max |an- f an | L n,n Nn Pn (k)n, В частности, нулевой коэффициент Фурье,Rn =min |an- f an | где C0 = (k) dk = (k)(14) Vb Nn Vb Pn (k) = exp ik · f an f an,a(L), nF f F an () связан со значением интеграла от функции (k) по ЗБ.

NnNn n,n (L) Группа трансляций T содержит конечное число L Nn, (19) (L) nF Nn элементов an. Неприводимые представления группы T t одномерны с характерами (k )(an) =exp(-ikt · an) а и нумеруют координационные сферы и звезды век (0) (L) (t = 1, 2,..., L), где kt kt (8). Для них так назы- торов a(L) T. Сумма по an в (19) содержит не все слагаемые, соответствующие звезде f an, а только те, ваемые вторые соотношения ортогональности выглядят следующим образом: которые являются векторами a(L) более редкой решетки.

Поскольку Pn(k) и их произведения — полносимметричные функции, суммирование в (18) по набору (8) L в ЗБ можно заменить суммированием по представителям exp(ikt · an) · exp(-ikt · an ) =L, (15) an-an,a(L) звезд j этого набора в неприводимой части ЗБ (НЗБ).

t= Обозначим через N(k) число точек (8) в j-й звезде и j где an можно считать определенными с точностью до введем весовые множители w(jk) = N(k)/L. Тогда соотноj векторов РЭЯ a(L) (5). Умножим соотношение (15) шение (18) можно переписать в виде на exp ik · (an - an ) и перепишем его в виде N(k) w(jk)Pn k(jk) Pn k(jk) L (k) (k) j=exp ikt · an · exp -ikt · an t=max |an- f an | n,n Nn Pn (k)n, = L exp ik · (an - an ), (16),Rn =min |an- f an | an-an,a(L) = (20) max |an- f an | n,n Nn Pn (k)n, где суммирование выполняется по сдвинутому набору,Rn =min |an- f an | точек (8) в ЗБ. Записав соотношение (16) для всех векторов f an и f an ( f, f F), т. е. для звезд n и n, где N(k) — число точек набора (8) в НЗБ.

Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. Специальные точки для интегралов по примитивным ячейкам периодических систем Пусть функция (k) представлена отрезком ряда не обладают этим свойством. В любом случае соотноФурье (12) шение (23) следует применять к полносимметричной функции (k), т. е. после симметризации по точечной M-группе системы.

(k) = Cn Pn(k). (21) Среди несимметричных преобразований (1) наиболее n=полезны в кубических решетках такие, для которых в Число членов в этой сумме (M) называют точностью качестве a(L) выбираются векторы из одной координациj аппроксимации функции (k) и различных интегралов с онной сферы радиуса RM векторов исходной решетки.

ее участием.

Чтобы они образовывали первую координационную сфеИз (20) видно, что сумма, стоящая слева, отличру новой решетки, сумма и разность любой пары таких на от нуля только на неприводимых звездах вектовекторов должны давать вектор, не меньший по длине ров f an, содержащих векторы a(L) более редкой ре выбранных векторов a(L). Это приводит к требованию, j шетки, т. е. она равна нулю, например, для звезд на чтобы углы j j между этими векторами удовлетворяли координационных сферах с радиусами Rs в диапазоне условию /3 j j 2/3, что всегда может быть 0 < Rs < min a(L) = 0 RM. Если выбрать k так, чтобы выполнено. Поэтому всегда можно построить такую j Pn (k) =0 (или Pn (k) =0 для несимметричного последовательность наборов СТ, в которой точность преобразования (1)) для первой (первых) координацион- наборов последовательно увеличивается на единицу.

ной сферы более редкой решетки, то точность набора СТ В этой последовательности присутствуют и наборы СТ, можно увеличить до Meff > M, которой соответствует соответствующие симметричным преобразованиям (1).

радиус, координационной сферы RM. При этом коли- В табл. 2 приведены матрицы L преобразований (1) в eff чество точек набора в НЗБ может как уменьшиться, прямой решетке и получаемые наборы СТ (8) с k = 0.

так и возрасти (см. далее). Таким образом, сумма слева Для каждого из наборов указаны веса w(j0) входящих в (20) отлична от нуля для звезд векторов f an на в них векторов k(j0), точность набора M (для интегракоординационных сферах с радиусами в диапазоне ла (14)) и число точек в нем. Точность набора можно 0 < Rs < RM RM. (22) также задать в виде радиуса RM сферы соответствующих eff векторов трансляции (в единицах постоянной квадратЧтобы не выходить за пределы интервала (22), n и n ной решетки a). При несимметричных расширениях должны быть такими, что Rs = Rn + Rn < RM, поeff ячейки в прямой решетке выбор различных векторов скольку max an- f an |an| + |an |=Rn + Rn ( f F).

трансляции, принадлежащих одной сфере, может приКоэффициент Cn (n < M) разложения (21) может вести к наборам СТ различной точности. На рис. 2, a быть вычислен по значениям функций (k) и Pn(k(jk)) в показаны векторы трансляции СЗБ, соответствующие точках (8), если RM + Rn RM ( f F). Действительприведенным на рис. 1 преобразованиям перехода к РЭЯ.

eff но, Поясним теперь на примере квадратной решетки, что эффективность полученного методом РЭЯ-СЗБ набо M- ра СТ можно повысить, сдвигая одновременно все w(jk) k(jk) · Pn k(jk) = Cn точки в ЗБ на вектор k = 0 (рис. 2, b). Как следует j n =из табл. 1, при преобразовании РЭЯ-СЗБ с матрицей 1 w(jk)Pn k(jk) · Pn k(jk) = Cn. (23) L = и выборе k =(1/4, 1/4) набор содержит -1 j одну точку в НЗБ (рис. 2, b) вместо двух, получаемых Коэффициент Cn (n < M) вычисляется с помощью при k = 0. Если, однако, учесть, что звезда вектора набора СТ (8) с точностью, определяемой соотноше- k =(1/4, 1/4) состоит из четырех векторов, то оказыва нием RM (RM - Rn) и зависящей от его номера n. ется, что полученный сдвигом на вектор k =(1/4, 1/4) eff В частности, наиболее точно (M = Meff) определяется набор для L = 2 соответствует набору, полученному для коэффициент C0 (n = 0, Rn = 0), т. е. значение интегра- 2 L = 4 с матрицей L = с последующим сдвигом ла (14) от функции (k) по ЗБ. Наименее точно опре- 0 деляются коэффициенты CM-1,, т. е. интегралы(13) для на тот же вектор k =(1/4, 1/4). Следовательно, выбирая n = M - 1. Для них точность M находится из неравен- определенным образом вектор k в СЗБ, можно строить ства RM-1 RM /2. Эффективностью набора СТ в ЗБ достаточно эффективные наборы СТ уже при малых eff (k) расширениях ячейки в прямой решетке. В табл. 2 приназывают Eeff = Meff/N(k).

ведены полученные нами для квадратной решетки при При симметричном (сохраняющем точечную симмет F = C4v наборы СТ, соответствующие как k = 0, так и рию F) преобразовании получаемые наборы СТ (8) при k = 0 состоят из целых звезд векторов. Как правило, различным сдвигам k = 0. Из табл. 2 видно, что с точки сдвинутые наборы СТ (при k = 0), а также наборы, зрения эффективности получаемого набора СТ преоб получаемые при несимметричном преобразовании (8), разование РЭЯ-СЗБ с последующим сдвигом можно 3 Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. 1186 Р.А. Эварестов, В.П. Смирнов Таблица 3. Параметры наборов СТ для кристаллов кристал- табл. 3, метод Монкхорста-Пака не позволяет получить лографического класса Oh (ГЦК-решетка) для ГЦК-решетки Браве (n1 = n2 = n3 = n) монотонный рост точности набора M с увеличением n. Действи До сдвига После сдвига k тельно, для n = 3, 4, 5, 6, 7 наборы Монкхорста-Пака соответствуют точности M(Meff) =9, 30, 24, 67, 46.

n L M N M/N RM Leff Meff Neff Meff/Neff RMeff Метод РЭЯ-СЗБ приводит к наборам, точность Meff 1 0 0 которых монотонно возрастает с ростом n.

L = n 0 1 0, L = n3, k = (1, 1, 1) Кратко остановимся на связи получаемых наборов СТ 2n 0 0 с моделью циклического кластера, широко применяемой для расчета дефектов в кристаллах [10–12]. В модели 2 8 4 3 1.3 2 32 8 2 (6) 4.0 (1.3) 3 27 9 4 2.2 3 2/2 108 17 6 (10) 2.8 (1.7) 4.5 циклического кластера бесконечный кристалл заменяет 4 64 15 8 1.9 2 2 256 30 10 (19) 3.0 (1.6) 4 ся областью конечного размера (совпадающей с РЭЯ 5 125 24 10 2.4 5 2/2 500 47 19 2.5 12.в прямой решетке), для которой вводятся циклические 6 216 34 16 2.1 3 2 864 67 28 2.4 граничные условия, т. е. все трансляции РЭЯ как целого 7 343 46 20 2.3 7 2/2 1372 91 44 2.1 24.предполагаются совпадающими с нулевой трансляци 8 512 59 29 2.0 4 2 2048 118 60 2.0 ей. В [7] показано, что использование для построе 9 729 75 35 2.1 9 2/2 2916 148 85 1.7 40.ния приближенной одноэлектронной матрицы плотности бесконечного кристалла набора СТ, полученного -1 1 L = n 1 -1 1, L = 4n3, k = (1, 1, 1) методом РЭЯ-СЗБ, приводит к модели циклическо4n 1 1 -го кластера, соответствующего выбранной РЭЯ. При этом, очевидно, в полученном наборе СТ присутствует 1 4 2 2 1.0 1 32 8 2 4.0 k = 0, так как группа симметрии циклического класте2 32 8 6 1.3 2 256 30 10 3.0 3 108 17 10 1.7 3 864 67 28 2.4 18 ра (рассматриваются лишь симметричные расшерения) 4 256 30 19 1.6 4 2048 118 60 2.0 имеет тождественное представление, соответствующее центру ЗБ.

3 -1 - L = n -1 3 -1, L = 16n3, k = (1, 1, 1) Рассмотренный выше сдвиг на вектор k при по4n -1 -1 строении наборов СТ фактически соответствует рас смотрению циклического кластера большего размера, 1 16 6 3 2.0 3 32 8 2 4.0 т. е. большей точности интерполяции по ЗБ при построе2 128 23 11 2.1 23 256 30 10 3.0 нии матрицы плотности. Заметим, что в модели цик3 432 51 22 2.3 33 864 67 28 2.4 4 1024 89 45 2.0 4 3 2048 118 60 2.0 32 лического кластера целесообразно использовать лишь симметричные расширения при построении РЭЯ (только П р и м е ч а н и е. В скобках указаны Neff и Meff/Neff, которые соответв этом случае сохраняется симметрия одноэлектронствуют набору СТ с L = Leff, содержащему (k = 0).

ной матрицы плотности кристалла). При построении наборов СТ исходной является модель бесконечного кристалла, а несимметричное расширение лишь обесперассматривать как соответствующее преобразованию с чивает правильные веса в наборе СТ и точность набора.

большим Leff, что обеспечивает эффективно большую Как уже отмечалось, при использовании полученного точность набора Meff и большее значение Eeff = Meff/Neff.

несимметричным расширением набора СТ для построеВ табл. 3 приведены параметры различных набония матрицы плотности необходимо суммировать по ров СТ для ГЦК-решетки (кристаллический класс Oh), звездам векторов из НЗБ, которые вошли в полученный полученные при симметричных расширениях в прямой набор СТ. В следующем разделе рассмотрим задачу решетке как с диагональной матрицей преобразования интегрирования по примитивной ячейке прямой решетки (сохранение ГЦК-решетки Браве), так и с недиагополносимметричной функции, заданной в прямой ренальными матрицами, соответствующими переходу к шетке.

кубическим простой и объемно центрированной решеткам. Данные этой таблицы дополняют результаты, полученные в [2], указанием на конкретный вид 3. Расширенная элементарная ячейка преобразования РЭЯ-СЗБ, приводящего к получаемым наборам СТ.

в обратной решетке и специальные Частным случаем рассматриваемого здесь метода точки ячейки Вигнера-Зейтца РЭЯ-СЗБ построения СТ в ЗБ является метод Монкхорста-Пака [5], соответствующий преобразованию (1) Метод РЭЯ для построения наборов СТ в ячейке ВЗ с диагональной матрицей (Lji = niji, i, j = 1, 2, 3) аналогичен методу РЭЯ для построения СТ в ЗБ и сдвигом k = (n1, n2, n3) для четных n1, n2, n3 (см. раздел 2). В настоящем разделе остановимся лишь и без сдвига k = 0 для нечетных. Как видно из на тех моментах, в которых они различаются.

Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. Специальные точки для интегралов по примитивным ячейкам периодических систем используются плоские волны exp(ibm · r), симметризованные по пространственной группе F(s) (подобно (10)) Nmµ Q(s)(r) = exp ibm · ( f |t(s))-1r mµ f nF f F = exp(i f bm · r) · exp -i f bm · t(s). (25) f f F Симметризованная волна Q(s)(r) соответствует µ-й звезm де на m-й координационной сфере радиуса Km в обратной решетке. Nmµ — число лучей в звезде mµ.

Сравнивая симметризованные комбинации плоских волн (10) и (25) в пространствах обратной и прямой решеток, отметим, что (в отличие от первых) последние получаются различными для разных пространственРис. 3. Неприводимые части ячейки Вигнера-Зейтца для ных групп одного кристаллического класса, что обуслоевых групп P4mm и P4bm.

словлено наличием в (25) множителя exp(-i f bm · t(s)).

f В табл. 4 приведены симметризованные комбинации плоских волн Q(s)(r) для двух слоевых групп P4mm mµ Пусть функция U(r) является полносимметричной и P4bm, относящихся к одному кристаллическому класотносительно пространственной группы кристалла F(s) су.

При приближенном вычислении интегралов по ячей -U(r + an) =U(r) =U f r, (24) ке ВЗ используется разложение в ряд по Q(s)(r) (подобmµ t(s)n f но (12)) где f f |t(s) + an F(s) — операции группы симf U(r) = C(s)Q(s)(r)(26) t(s)n mµ mµ f mµ метрии кристалла. В (24) t(s) — несобственные трансf с последующей заменой его отрезком ряда из конечного ляции, сопровождающие ортогональные операции f точисла слагаемых (ср. с (21)).

чечной группы кристалла F (для симморфных пространАналогично (8) набор СТ в ячейке ВЗ состоит из ственных групп все несобственные трансляции можно точек считать нулевыми за счет определенного выбора начала координат). В отличие от полносимметричных функ(r) rt = r + qt j a(S), t = 1, 2,..., L, (27) ций (k) в обратной решетке функции U(r), удовлет- j j воряющие (24), обладают разной симметрией для пространственных групп одного кристаллического класса и где a(S) — векторы, определяющие суженную ячейку ВЗ j одной сингонии из-за различия наборов несобственных (ср. с (8)). Числа qt j выбираются таким образом, чтобы трансляций t(s), сопровождающих операции f F.

f (r) точки rt не выходили за пределы ячейки ВЗ, а из По аналогии с неприводимой частью ЗБ в обратной эквивалентных точек на поверхности ячейки ВЗ (отлирешетке можно ввести неприводимую часть ячейки ВЗ чающихся друг от друга на векторы прямой решетки am) в прямой решетке (НВЗ — IWS), включая в нее по (s) учитывалась только одна.

одному представителю от каждой звезды f r ( f F).

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.