WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. 7 Специальные точки для интегралов по примитивным ячейкам периодических систем © Р.А. Эварестов, В.П. Смирнов Санкт-Петербургский государственный университет, 198504 Санкт-Петербург, Россия Институт точной механики и оптики, 197101 Санкт-Петербург, Россия E-mail: vsmir@mkk.ifmo.ru (Поступила в Редакцию 1 декабря 2003 г.) Предложен способ построения эффективных наборов специальных точек в зоне Бриллюэна методом расширенной элементарной ячейки с последующим сдвигом из центра суженной зоны Бриллюэна, который имеет ряд преимуществ по сравнению с широко применяемым методом Монкхорста-Пака. Рассмотрено различие построения наборов специальных точек в прямой и обратной решетке для кристаллов с несимморфной пространственной группой симметрии. Общие положения демонстрируются путем применения к плоской квадратной и гранецентрированной кубической решеткам.

1. Введение обратной решетке). В основе подхода лежит масштабное преобразование (переход к расширенной элементарной Современные расчеты электронной структуры и ячейке (РЭЯ)) в прямой или обратной решетке, учисвойств кристаллов проводятся, как правило, методом тывающее пространственную симметрию кристалла и функционала плотности (DFT — Density Functional обеспечивающее монотонное увеличение точности наTheory) в базисе плоских волн (PW — plane waves) с исбора СТ с ростом РЭЯ. В развитие проведенного в [2] пользованием псевдопотенциала для описания электрорассмотрения предложен способ построения эффективнов остова [1]. При этом существенную часть времени ных наборов СТ в ЗБ методом РЭЯ с последующим расчета занимает Фурье-преобразование периодического сдвигом из центра суженной ЗБ (СЗБ), который имеет в прямой решетке потенциала, необходимое для реряд преимуществ по сравнению с широко применяемым шения одноэлектронных уравнений Кона-Шема в баметодом Монкхорста-Пака [5]. Рассмотрено различие зисе плоских волн. Вычисление коэффициентов Фурье построения наборов СТ в прямой и обратной решетпроводится путем интерполяции по конечному числу ке для кристаллов с несимморфной пространственной точек в минимальной ячейке прямой решетки, которое группой симметрии. Общие положения демонстрируютв свою очередь зависит от количества плоских волн, ся путем применения к плоской квадратной и граневключенных в базис. Оптимальный выбор набора тоцентрированной кубической (ГЦК) решеткам. В раздечек интерполяции в значительной мере определяет и ле 2 рассмотрен метод РЭЯ-СЗБ для построения СТ эффективность всего расчета [2]. При самосогласованЗБ как с сохранением точечной симметрии кристалла ных расчетах электронной структуры кристаллов как в (симметричное расширение), так и с понижением этой базисе плоских волн [1], так и в базисе локализованных симметрии (несимметричное расширение). Получены функций атомного типа [3] на каждой итерации процесса выражения для коэффициентов Фурье разложения песамосогласования приходится вычислять приближенную риодических в обратной решетке функций по симметриматрицу электронной плотности кристалла путем инзованным плоским волнам. Метод РЭЯ-СЗБ со сдвигом терполяции ее значений для конечного числа точек k из центра СЗБ применен для построения наборов СТ в зоне Бриллюэна (ЗБ). При этом используется теория для плоской квадратной и ГЦК-решетки.

специальных точек (СТ) ЗБ, развитая в [4–6]. В [7] В разделе 3 рассмотрено разложение периодической показано, что для сохранения идемпотентности матрицы в прямой решетке функции по симметризованным плосплотности кристалла при суммировании по СТ необхоким волнам. Использованы РЭЯ в обратной решетке и димо определить весовую функцию, введение которой суженная ячейка ВЗ в прямой решетке. Показано, что в эквивалентно заданию циклических граничных условий отличие от симметризованных плоских волн в обратной или циклического кластера [8]. Возникающие для мерешетке симметризованные комбинации плоских волн в таллов трудности применения теории СТ связаны со прямой решетке различны для пространственных групп степенным (а не экспоненциальным) убыванием недиаодного кристаллического класса и одной и той же гональных элементов матрицы плотности и преодолевасингонии. Указанное различие продемонстрировано для ются с помощью k · p-метода, позволяющего существендвупериодических групп кристаллического класса C4v:

но уточнить результаты интерполяции по конечному симморфной P4mm и несимморфной P4bm. В Заключислу СТ [9]. В настоящей работе развивается единый чении обсуждается применение полученных результатов подход к построению СТ для вычисления интегралов по минимальным ячейкам периодических систем (ячей- для проведения самосогласованных расчетов электронке Вигнера-Зейтца (ВЗ) в прямой решетке и ЗБ в ной структуры кристаллов.

Специальные точки для интегралов по примитивным ячейкам периодических систем 2. Расширенная элементарная ячейка прямой решетки, связанных операциями f F. Если их более одной, будем различать независимые звезды одной в прямой решетке и специальные и той же координационной сферы индексом. Суммироточки зоны Бриллюэна вание по векторам решетки an можно организовать следующим образом: суммирование по векторам в пределах Пусть трехпериодической системе (объемному кристаллу) соответствуют векторы основных трансляций ai звезды, затем суммирование по звездам в пределах координационной сферы n и, наконец, суммирование по (i = 1, 2, 3) в прямой решетке и определяемые сооткоординационным сферам n ношением (ai · bj) =2i, j векторы основных трансляций bj ( j = 1, 2, 3) в обратной решетке. Рассмотрен=. (4) ные далее преобразования прямой решетки могут быть an n an(n) применены и для дву- и однопериодических систем.

Определим векторы основных трансляций РЭЯ в прямой Совокупность трансляций на векторы a(L) прямой n решетке с помощью целочисленной матрицы L (L) решетки образует бесконечную группу трансляций T a(L) = Lji ai, L det L. (1) j a(L) = j a(L) T(L), (5) j i j Число ячеек минимального объема в РЭЯ прямой j — целые числа.

решетки равно определителю L матрицы преобразо- (L) (L) Конечная фактор-группа T = T /T является кования (1). В качестве ячейки минимального объема нечной группой „внутренних“ трансляций РЭЯ прямой выберем ячейку ВЗ. Векторы основных трансляций решетки, в которой трансляции an определены с точисходной прямой решетки выражаются через векторы (L) ностью до векторов a(L) T, т. е. является группой по трансляций РЭЯ с помощью соотношений (L) модулю T.

Преобразование (1) векторов основных трансляций ai = (L)-1 a(L). (2) называют симметричным, если построенная из РЭЯ реi j j i шетка сохраняет точечную симметрию исходной решетки (тип решетки при этом может измениться в пределах Как известно, пространственная группа кристалла F(s) данной сингонии). Для симметричного преобразования (s различает пространственные группы, относящиеся в с матрицей L необходимо, чтобы матрица L f(L)-1 была одному кристаллическому классу F) содержит в качецелочисленной. Действительно, при переходе к РЭЯ стве инвариантной подгруппы группы трансляций T на векторы основных трансляций a(L) преобразуются при j векторы an = niai, а кристаллический класс F изооперациях точечной группы кристалла следующим обi разом:

морфен фактор-группе F(s)/T. Независимо от того, симморфна или несимморфна пространственная группа F(s) f a(L) = Lji f ai = Lji fii (L-1)i j a(L) j j кристалла, пространственная группа соответствующей j ii j обратной решетки симморфна и относится к тому же кристаллическому классу F, причем для центрирован = (L fL-1)j j a(L). (6) j ных прямых решеток обратная решетка может относитьj ся к другому типу (например, для прямой ГЦК-решетки обратной решеткой является объемно центрированная В (6) учтены соотношения (1)–(3).

кубическая — ОЦК). Заметим, что точечная группа F При несимметричном преобразовании (1) группа (L) либо совпадает с точечной группой решетки Fl, либо трансляций T имеет более низкую точечную симметявляется ее подгруппой F Fl. При преобразованиях рию F(L) Fl. Трансляции a(L) также могут быть разбиn f F векторы трансляций an прямой решетки перехоты на координационные сферы и звезды относительно дят в целочисленные комбинации векторов основных точечной группы F(L).

трансляций. Для самих векторов основных трансляций В качестве примера рассмотрим квадратную решетэто также выполнено:

ку с векторами трансляции a1 =(1, 0) и a2 =(0, 1) (в единицах постоянной решетки a). Обратная решетка f ai = fii ai. (3) также квадратная с векторами трансляций b1 =(1, 0) i и b2 =(0, 1) (в единицах 2/a). На рис. 1 показаны векторы трансляций для двух симметричных (a(2), a(2) 1 К одной звезде относят векторы трансляций, свяс L = 2 и a(41), a(41) с L = 4) и двух несимметричных занные операциями точечной симметрии. Перенумеру1 ем индексом n координационные сферы узлов прямой (a(42), a(42) с L = 4 и a(5), a(5) с L = 5) расширений 1 2 1 решетки в порядке возрастания их радиуса Rn. На ячейки в прямой решетке. Матрицы соответствующих одной сфере может находиться несколько звезд векторов преобразований векторов основных трансляций исходФизика твердого тела, 2004, том 46, вып. 1182 Р.А. Эварестов, В.П. Смирнов Таблица 1. Параметры наборов СТ для двупериодических кристаллов кристаллографического класса C4v (квадратная решетка) До сдвига После сдвига k n L M N M/N RM Leff Meff Neff Meff/Neff RMeff 1 L = n, L = n2, k = (1, 1) 4n 0 1 1 1 1 1.0 1 4 3 1 (3) 3.0 (1.0) 2 4 3 3 1.0 2 16 9 3 (6) 3.0 (1.5) 3 9 6 3 2.0 3 36 19 6 (10) 3.2 (1.9) 4 16 9 6 1.5 4 64 31 10 (15) 3.1 (2.1) 5 25 14 6 2.3 5 100 48 15 (21) 3.2 (2.3) 6 36 19 10 1.9 6 144 65 21 (28) 3.1 (2.3) 1 L = n, L = 2n2, k = (1, 1) 4n -1 1 2 2 2 1.2 4 3 1 (3) 3.0 (1.0) 2 Рис. 1. Векторы основных трансляций и векторы трансляций 2 8 5 4 1.2 22 16 9 3 (6) 3.0 (1.5) для двух симметричных (a(2), a(2) с L = 2 и a(41), a(41) с L = 4) 1 2 1 3 18 11 6 1.8 32 36 19 6 (10) 3.2 (1.9) и двух несимметричных (a(42), a(42) с L = 4 и a(5), a(5) с L = 5) 1 2 1 4 32 17 9 1.9 4 2 64 31 10 (15) 3.1 (2.1) расширений ячейки в прямой решетке.

П р и м е ч а н и е. В скобках указаны Neff и Meff/Neff, которые соответствуют набору СТ с L = Leff, содержащему (k = 0).

Таблица 2. Наборы СТ для двупериодических кристаллов кристаллографического класса C4v (квадратная решетка) № L L k M N M/N RM wi СТ 1 L(1, 0) 1 (0, 0) 1 1 1 1 1 (0, 0) 1 (1/4, 1/4) 3 1 3.0 2 1, 4 1 1 1 2 L(1, 1) 2 (0, 0) 2 2 1.0 2, (0, 0),, 2 2 2 1 (1/4, 1/4) 3 1 3.0 2 1, 4 1 1 1 1 1 3 L(2, 0) 4 (0, 0) 3 3 1.0 2,, (0, 0),, 0,, 4 2 4 2 1 (1/4, 1/4) 3 1 3.0 2 1, 1 4 1 1 (1/4, 0) 5 2 2.5 2 2,, 0,, 2 4 3 14 1 1 1 1 1 3 (1/8, 1/8) 9 3 3.0 4,,,,,,, 4 2 4 8 8 8 8 8 1 4 1 4 L(2, 1) 5 (0, 0) 4 2 2.0 5, (0, 0),, 5 5 5 1 2 2 1 1 3 (1/10, 1/5) 7 3 2.3 10,,, 0,,,, 10 5 5 5 2 10 1 1 1 1 1 1 1 1 5 L(2, 2) 8 (0, 0) 5 4 1.2 2 2,,, (0, 0),,,, 0,, 8 8 4 2 4 2 2 1 1 1 1 (1/4, 0) 5 2 2.5 2 2,, 0,, 2 4 3 14 1 1 1 1 1 3 (1/8, 1/8) 9 3 3.0 4,,,,,,, 4 2 4 8 8 8 8 8 1 4 4 1 1 6 L(3, 0) 9 (0, 0) 6 3 2.0 3,, (0, 0),, 0,, 9 9 9 3 3 1 1 1 1 1 7 L(4, 0) 16 (0, 0) 9 6 1.5 4,, (0, 0),, 0,,, 16 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1,,, 0,,,, 8 4 16 2 4 4 1 1 1 1 1 3 1 3 (1/8, 1/8) 9 3 3.0 4,,,,,,, 4 2 4 8 8 8 8 8 n1 n Примечание. L(n1, n2) =, L(n1, n2) =n2 + n2.

1 -n2 nФизика твердого тела, 2004, том 46, вып. Специальные точки для интегралов по примитивным ячейкам периодических систем исходной ЗБ (k) (b) kt = k + qt j b(S), t = 1, 2,..., L, (8) j j так как связана с ними векторами трансляции b(S) j (b) новой обратной решетки. Числа qt j выбираются таким (k) образом, чтобы точки kt не выходили за пределы ЗБ, а из эквивалентных точек на поверхности ЗБ (отличающихся друг от друга на векторы обратной решетки bm = mibi) учитывалась только одна. На рис. 2, a i=показаны точки исходной ЗБ, которые эквивалентны центру СЗБ для четырех преобразований РЭЯ-СЗБ, приведенных в табл. 1.

Рассмотренное выше преобразование перехода к РЭЯ в прямой решетке может быть использовано для построения наборов СТ, необходимых для определения Фурье-коэффициентов функции (k) (в частности, для численного интегрирования такой функции по ЗБ). Функция (k) предполагается периодической в пространстве обратной решетки с периодами bj ( j = 1, 2, 3) и симметричной относительно операций кристаллического класса F пространственной группы F(s) симметрии кристалла. Функция (k) обладает одинаковой симметрией для всех кристаллов (симморфных и несимморфных), входящих в кристаллический класс F, (k + bm) =(k) =( f k), f F, bm = mibi. (9) i=Для интерполяции функции (k), значения которой считаются известными лишь в некотором конечном наборе точек, выберем плоские волны exp(ik · an), периодические в обратном пространстве с периодами bj Рис. 2. Специальные точки, порожденные двумя симмет( j = 1, 2, 3) обратной решетки. Поскольку функция (k) ричными (a(2), a(2) с L = 2 и a(41), a(41) с L = 4) и двумя 1 2 1 полносимметрична, используем симметризованные комнесимметричными (a(42), a(42) с L = 4 и a(5), a(5) с L = 5) 1 2 1 бинации плоских волн расширениями ячейки в прямой решетке. a —без сдвига k = 0;

b —при сдвиге k = 0.

Nn -Pn(k) = exp(i f k · an) nF f F ной решетки приведены в табл. 1, 2. Преобразованию (1) Nn = exp(ik · f an), (10) в прямой решетке кристалла отвечает преобразование с nF f F обратной матрицей в связанной с ней обратной решетке где индекс n нумерует координационные сферы век торов f an в (10) в порядке возрастания их радиуb(S) = (L-1)i jbi, a(L), b(S) = 2j j. (7) j j j са Rn, а различает неприводимые звезды векторов i на сфере радиуса Rn, если их более одной. Таким Преобразование (7) определяет СЗБ (ячейку ВЗ в обрат- образом, симметризованная плоская волна Pn(k) соной решетке, соответствующей преобразованию РЭЯ в ответствует -й звезде на n-й координационной сфере прямой решетке). Объем СЗБ в L раз меньше объ- радиуса Rn в прямой решетке. Nn — число лучей в ема ЗБ. Каждая из точек k СЗБ эквивалентна L точкам звезде n.

Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. 1184 Р.А. Эварестов, В.П. Смирнов N Nn n Функции Pn(k) образуют в пространстве периодиче- сложив и умножив на, получим nF ских полносимметричных функций полную ортонорми рованную систему [4] L Nn Nn (k) exp ikt nF nF t=1 f F Pn(k), Pn (k) P (k)Pn (k) dk = nn.

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.