WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. 7 Влияние давления на упругие свойства карбида кремния © С.Ю. Давыдов Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия E-mail: sergei.davydov@mail.ioffe.ru (Поступила в Редакцию 13 ноября 2003 г.) В рамках модели Китинга рассчитаны зависимости от давления p упругих постоянных второго порядка Ci j и скорости звука в кристаллах 3C-SiC и 2H-SiC. Из зависимости Ci j от p получены упругие постоянные третьего порядка Ci jk для 3C-SiC.

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ-03-02-16054, INTAS-01-0603 и NATO SfP N 978011.

В связи с широким использованием структур на осно- связью и, строго говоря, описывается моделью Мартиве карбида кремния упругие свойства различных полити- на [6], распространившего модель Китинга на ионнопов SiC вызывают большой интерес. Если внешнее гид- ковалентные кристаллы. При этом в теории появляростатическое давление p отсутствует, упругие модули ются эффективные заряды ионов и соответствующие второго порядка Ci j и скорости звука vi(q) = Ci (q)/ кулоновские вклады в упругие постоянные. Кроме того, (Ci(q) — определенная комбинация Ci j, соответствую- вместо одной нецентральной константы появляются две (1 и 2), описывающие реакцию на изменение щая распространению в направлении q звуковой волны тетраэдрических углов между |sp3 -орбиталями, ценс поляризацией ni; — плотность кристалла) могут трированными на атомах Si и C. Можно, однако, побыть рассчитаны в гармоническом приближении, тогда казать, что ионность связи Si–C мала, что позволяет как при p = 0 необходимо учитывать ангармонизм [1,2], что позволяет уточнить потенциал межатомного взаимо- с хорошей точностью пренебречь кулоновскими вкладами. Действительно, в рамках метода связывающих действия.

орбиталей Харрисона [7] ковалентность связи кремний– В работе [3] методом функционала плотности расуглерод c = 0.97 (см., например, [8]), что соответствует считаны значения Ci j, dCi j/dp и vi(q) для кубической ионности f = 1 - c 0.09 по Филлипсу [9]. Положив i модификации карбида кремния. В настоящей работе мы далее =(1/2)(1 + 2), придем к модели Китинга.

проанализируем результаты этих расчетов, воспользоПодставляя найденные в [3] значения упругих модувавшись моделью силовых констант Китинга [4], хорошо лей (C11 = 385, C12 = 135, C44 = 257 GPa) в выражезарекомендовавшей себя при описании упругих свойств ние (2), получим R 1.35, что уже вызывает некокристаллов ANB8-N [5].

торые сомнения в справедливости экспериментальных 1. 3C-SiC: зависимость упругих постоянных второго данных, так как для кристаллов алмаза и кремния порядка от давления.

соотношение (2) выполняется с точностью до 1% [4].

Модель Китинга для тетраэдрических кристаллов соСравнение данных работы [3] с приведенными в [5] держит две силовые константы:, описывающую ценэкспериментальными значениями упругих постоянных тральное взаимодействие ближайших соседей, т. е. реC-SiC (C11 = 410.5, C12 = 164, C44 = 194 GPa), для коакцию на изменение длины связи, и, отвечающую торых соотношение (2) выполняется с очень высокой нецентральному взаимодействию вторых соседей, т. е.

точностью, показывает увеличивающееся расхождение в отклику тетраэдра на изменение угла между |sp3 -орбиряду C11 C12 C44: отношения Ci j(из [3])/Ci j(из [5]) талями. Упругие постоянные второго порядка при этом равны соответственно 0.94, 0.82 и 1.32. Следует, однаимеют вид ко, отметить, что в отличие от C44, значения второго модуля сдвига CS =(1/2)(C11 - C12), определяемого + 3 - C11 =, C12 =, C44 =, (1) только константой, почти совпадают: CS = 125 [3] и 4a0 4a0 a0( + ) 123 GPa [5]. Неплохо согласуются и объемные модули сжатия B =(1/3)(C11 + 2C12): B = 218 [3] и 246 GPa [5].

где 4a0 — постоянная решетки недеформированного В наших дальнейших расчетах будем исходить из экскристалла. При этом выполняется тождество периментальных данных [5], что дает = 98 N / m и C44(C11 + C12) = 27 N / m. В модели Китинга параметр Клейнмана R = 1, (2) =( - )/( + ) 0.57, что превышает полученное CS(C11 + 3C12) в [5] значение = 0.41. Предположим (как это делалось где модуль сдвига CS =(1/2)(C11 - C12). Отметим, что нами при расчете упругих свойств полуметаллов V групсоотношения (1) и (2) получены для чисто ковалентных пы [10]), что под действием давления силовые константы кристаллов IV группы (гомополярная связь). Карбид изменяются ( = + ap, = + bp, где a кремния относится к кристаллам с гетерополярной и b — константы размерности длины). Тогда упругие 2 1170 С.Ю. Давыдов определяющие Ci(q). Они имеют следующий вид (см., например, [3]):

C[111]([111]) = (C11 + 2C12 + 4C44), C[110]([110]) = (C11 + 2C12 + 2C44), C[100]([100]) = C11, C[010]([100]) = C[001]([100]) = C[001]([110]) = C44, C[110]([111]) = C[112]([111]) = (C11 - C12 + C44), C[110]([110]) = (C11 - C12). (5) Первые три комбинации соответствуют продольным Рис. 1. Зависимость упругих постоянных кристалла 3C-SiC от акустическим волнам (LA), последние три — поперечдавления. 1 — C11, 2 — C12, 3 — C44, 4 — B, 5 — CS.

ным (TA). Далее необходимо учесть, что плотность кристалла также зависит от давления. Представим в виде постоянные могут быть представлены в виде = 1 +(p/B) + (1 - dB/dp)(p/B)2, (6) a + 3b a - b C11 = C11 + p, C12 = C12 + p, 4a0 4a где = 3.21 g / cm3 [11]. По данным [3] dB/dp = 3.87, +(b + a)p + abpчто вполне удовлетворительно согласуется с экспери C44 =. (3) ментальным значением 3.57 [12].

( + ) +(a + b)p Результаты расчета скорости звука представлены на Здесь и далее все величины, зависящие от давления, рис. 2. Видно, что скорость распространения продольных будем помечать тильдой. Для нахождения констант a мод растет с давлением, тогда как скорость поперечных и b воспользуемся результатами работы [3], где поуменьшается. Здесь единственное качественное отличие лучены следующие значения dCi j/dp: dC11/dp = 3.наших результатов от полученных в работе [3] связано и dC12/dp = 4.06.1 Отсюда имеем a = 17.08 A и с зависимостью скорости v[001]([110]) = v[010]([100]) = b = -0.62. Отметим, что константу b мы определяли = v[001]([100]) от давления: в настоящей работе скорость по значению dCS/dp.

плавно убывает с ростом p, тогда как в [3] функция Результаты расчета зависимости Ci j от p представлены на рис. 1. Сравнение с соответствующими зависимостями работы [3] показывает, что существенно различаются только кривые C44(p); если в [3] имеет место монотонное, хотя и слабое увеличение модуля сдвига C44 с давлением, то в нашем случае C44(p) сна чала возрастает от C44(0) =194 GPa до максимального значения 198 GPa при pm = 21.5 GPa, а затем плавно уменьшается до 178 GPa при p = 100 GPa. Значение pm можно найти из условия dC44/dp = 0, которое приводит к уравнению + a2 + bp2 + 2 p + = 0. (4) a + b ab(a + b) 2. 3C-SiC: зависимость скорости звука от давления.

Для расчета скорости звука vi(q) = Ci(q)/ необ ходимо вычислить соответствующие комбинации Ci j, 1 Рис. 2. Зависимость скорости звука в кристалле 3C-SiC от К сожалению экспериментальные зависимости упругих постояндавления. 1 — vLA([111]), 2 — vLA([110]), 3 — vLA([100]), ных второго порядка от давления для карбида кремния нам неизвестны. 4 — vTA([100]) = vTA([110]), 5 — vTA([111]), 6 — vTA([110]).

Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. Влияние давления на упругие свойства карбида кремния Таблица 1. Значения (dvi(q)/dp)p0 (в km / s · GPa). Стро- дели Китинга–Харрисона [17] и лучше согласуются с ки 1-3 — данные настоящей работы, строки 4-6 — данные [3] экспериментальными данными [11] (в GPa): C11 = 500, C33 = 564, C44 = 168, C12 = 92, C66 = 204 (данные для Акустическая C13 в [11] отсутствуют).

№п/п q =[100] q =[110] q =[111] мода Зависимости Ci j от давления представлены на рис. 3, откуда следует, что упругие модули как функции давле1 L 0.024 0.026 0.ния распадаются на три группы, близкие как по величине 2 T -0.007 -0.019 -0. Ci j, так и по dCi j/dp: C11 и C33, C12 и C13, C44 и C66.

3 T -0.007 -0.009 -0.4 L 0.025 0.036 0.040 Упругие модули первых двух групп растут с давлением, 5 T 0.007 -0.021 -0.009 модули третьей группы убывают. К сожалению, какие6 T 0.007 0.007 -0.либо экспериментальные данные по упругим модулям 2H-SiC нам неизвестны.

Интересно отметить, что при произвольном соотноТаблица 2. Значения параметров Грюнайзена i(q). Строшении вюрцитной и сфалеритной фаз (тригональная ки 1-3 — данные настоящей работы, строки 4-6 — данные [3] система, класс 32 [18]) некоторые комбинации упругих постоянных Cj (звездочка относится к тригональной i Акустическая структуре) являются инвариантными [14] №п/п q =[100] q =[110] q =[111] мода 1 L 0.52 0.52 0.C + C = (C11 + 2C12 + C44), 11 2 T -0.22 -0.76 -0.3 T -0.22 -0.22 -0.4 L 0.49 0.63 0.C = (C11 + 2C12 - 2C44), 5 T 0.17 -0.74 -0.6 T 0.17 0.17 -0.28 C = (C11 + 2C12 + 4C44), (8) где в правой части выражений стоят упругие постоянные кубического кристалла. Отсюда, в частности, следует, vTA(p) имеет максимум при p 50 GPa. Значения что скорость акустической продольной волны vLA([111]), (dvi(q)/dp)p0 представлены в табл. 1, где также приопределяемая упругой постоянной C, также инвариведены результаты работы [3]. Основное расхождение антна относительно структуры смешанного вюрцитно(противоположные знаки наклонов) имеет место для сфалерического кристалла.

мод, определяемых модулем сдвига C44 (см. четвертую Знание зависимости Ci j от p позволяет определить комбинацию в формулах (5)).

соответствующие зависимости скорости звука от давТеперь можно вычислить параметры Грюнайзена ления. В работе [3] вычислялась зависимость vh(p) i(q), определяемые соотношением для поперечной акустической волны, распространяю щейся в направлении (x + y)/ 2, где x совпада1 dvi(q) i (q) = B. (7) vi(q) dp Результаты расчета представлены в табл. 2. Вновь основные расхождения имеют место для мод v[001]([110]) = = v[010]([100]) = v[001]([100]).

3. 2H-SiC: зависимость упругих постоянных второго порядка от давления.

В работе [13] Мартин показал, как, зная Ci j для структуры сфалерита, определить упругие постоянные второго порядка для вюрцитной структуры. В [14,15] подход Мартина был распространен на политипы с произвольным соотношением сфалеритной и вюрцитной структур. Таким образом, воспользовавшись фор мулами (1), можно записать выражения для Ci j гексагональной структуры карбида кремния 2H-SiC, что и было проделано в работе [16]. Подставляя определенные выше значения силовых констант и, при p = 0 получим(в GPa): C11 = 476, C33 = 507, C44 = 142, C12 = 147, C13 = 116, C66 =(1/2)(C11 - C12) =164.5.

Рис. 3. Зависимость упругих постоянных кристалла 2H-SiC Отметим, что найденные здесь значения упругих по- от давления. 1 — C11, 2 — C33, 3 — C44, 4 — C12, 5 — C13, стоянных превышают полученные нами ранее в мо- 6 — C66.

2 Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. 1172 С.Ю. Давыдов параметр Клейнмана.3 Для нахождения этих констант воспользуемся данными работы [20], где для кубических кристаллов была определена связь упругих постоянных Ci j и Ci jk с производными dCi j/dp dC11 C11 + C111 + 2C= -1 -, dp 3B dC12 C12 + C123 + 2C= 1 -, dp 3B dC14 C44 + C144 + 2C= -1 -. (10) dp 3B Подчеркнем, что эти соотношения справедливы лишь в линейном по давлению приближении. Уравнения (10) позволяют найти константы, и при условии, что Рис. 4. Зависимость скорости звука vh в кристалле 2H-SiC от нам известны значения dCi j/dp. Поскольку величина давления.

производной dC44/dp вызывает определенные сомнения, упростим задачу, положив = -. Для кремния это равенство выполняется точно [19], однако и для других ет с направлением гексагональной c-оси, а y леполупроводниковых кристаллов константы и являжит в базовой плоскости, препендикулярной c-оси.ются величинами одного порядка и противоположных При этом полагали, что vh(p) = Ch / = C66/ знаков (см., например, работы [21,22] и ссылки в них).

и C66 =(1/6)(Cc - Cc + 4Cc ), где верхние индек- Кроме того, константа приблизительно на порядок 11 12 сы указывают на гексагональную (h) или кубиче- больше и ||, поэтому сделанное нами упрощение не вносит большой ошибки в расчет.

скую (c) модификацию. В [13], однако, показано, что Ch = C66 - /C44, где C44 =(1/3)(Cc - Cc + Cc ) и Тогда, исходя из двух первых соотношений (9) 66 11 12 и результатов работы [3], получим = -862 GPa и =(Cc - Cc - 2Cc )/3 2 (см. поправки в [14,15]).

11 12 Рассчитанная нами на основании теории [13] зависи- = 82 GPa.

мость vh(p) представлена на рис. 4. В отличие от рабо- Окончательно находим (в GPa): C111 = -1680, ты [3], где изменение скорости vh в интервале давлений C112 = -1026, C123 = -371, C144 = 3, C166 = -621, от нуля до 100 GPa равно 0.35 km/s, полученное в C456 = -69.5. Хотя экспериментальные значения упрунастоящей работе значение vh 1km/ s.

гих постоянных третьего порядка карбида кремния 4. 3C-SiC: упругие постоянные третьего порядка.

нам неизвестны, сопоставление результатов расчеМодель силового поля для расчета упругих постоян- та с величинами Ci jk для кристаллов Si, Ge, InSb ных третьего порядка Ci jk кубических кристаллов также и GaAs [19,21] показывает, что полученные нами знабыла предложена Китингом [19]. В рамках этой модели чения вполне разумны. Действительно, у всех этих криимеем сталлов только постоянная C144 положительна, причем C111 = - + 9, на один-два порядка меньше |C111|. Далее, наблюдаются следующие неравенства: |C111| > |C112| > |C166| > |C123|, C112 = - +, |C456| > C144. Те же закономерности получены и нами.

C123 = + 3 - 3, Воспользовавшись последней формулой из (9) и определенными выше значениями ангармонических констант, C144 = (1 - )2 + (1 + )2 + (1 + )(3 - 1) +C12, рассчитаем величину производной dC44/dp. Получаем dC44/dp = -1.08. Согласно приведенным в разделе C166 = (1 - )2 - (1 + )2 + (1 + )(3 - ) +C12, расчетным данным, усредненное в интервале давлеC456 = (1 - )3. (9) ний от 0 до 100 GPa значение dC44/dp -0.18, что совпадает хотя бы по знаку. По данным работы [3] Здесь, и — ангармонические силовые константы, dC44/dp = 1.58, что и приводит к ошибочному, на наш первая из которых относится к центральному взаимовзгляд, выводу о немонотонной зависимости скорости действию ближайших соседей, а последние две — к распространения vTA(p) (см. раздел 2).

нецентральному взаимодействию вторых соседей, — 2 Это направление распространения акустической волны интересно Здесь, как и в случае упругих постоянных второго порядка, вновь прежде всего тем, что соответствующая сдвиговая орторомбическая пренебрегаем кулоновскими вкладами и полагаем =(1/2)(1 + 2) и деформация ведет к переходу вюрцитной структуры в структуру =(1/2)(1 + 2), где индексы 1 и 2 относятся к атомам кремния и NaCl [3]. углерода соответственно.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.