WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика и техника полупроводников, 2003, том 37, вып. 9 Рассеяние электронов на ионах примеси при низких температурах в сверхрешетке с легированными квантовыми ямами © С.И. Борисенко¶ Сибирский физико-технический институт им. В.Д. Кузнецова, 634050 Томск, Россия (Получена 11 ноября 2002 г. Принята к печати 19 декабря 2002 г.) Решается задача о расчете продольной и поперечной подвижности, ограниченной рассеянием на ионах примеси, для электронов сверхрешетки с легированными квантовыми ямами. Рассматривается случай низких температур и малых концентраций носителей заряда. При решении уравнения Больцмана для невырожденного электронного газа в области слабой экранировки кулоновского потенциала ионов примеси используется гипотеза Конуэлл–Вайскопфа о минимальном угле рассеяния. Численные расчеты проведены для симметричной сверхрешетки GaAs/Al0.36Ga0.64As с периодом 10 нм и концентрацией электронов 1014 см-3 при T = 20 K.

1. Введение релаксации и подвижности невырожденных электронов нижней минизоны при рассеянии на ионах примеси в Как известно, рассеяние электронов и дырок на симметричной СР GaAs/Al0.36Ga0.64As с легированными ионах примеси в области низких температур является КЯ. Расчет проводился при T = 20 K для образца с одним из основных механимов рассеяния не только концентрацией электронов n = 1014 см-3 и периодом в объемных полупроводниках, но и в низкоразмерных сверхрешетки 10 нм. При решении уравнения Больцмана гетероструктурах на их основе. Влияние этого механиз- и расчете вероятности рассеяния учитывались приблима рассеяния на подвижность электронов в отдельных жение Конуэлл–Вайскопфа для минимального угла расквантовых ямах (КЯ) исследовалось во многих рабо- сеяния и экранировка Дебая для кулоновского потенцитах [1–9]. В случае сверхрешеток (СР) из КЯ таких работ ала ионов. Проведен анализ влияния учета приближения значительно меньше [10,11]. В большей части этих работ Конуэлл–Вайскопфа на время релаксации и подвижность исследовались электрические свойства вырожденного электронов.

электронного газа, имеющего место при селективном легировании потенциальных барьеров рассматриваемых 2. Основные формулы структур, используемых при создании HEMT [12]. Работ по анализу транспортных свойств невырожденного элекРасчет вероятности рассеяния электронов на ионах тронного газа в СР за счет однородного легирования или примеси в СР с легированными КЯ проводился в прилегирования КЯ практически нет. Структуры подобного ближении Борна по формуле рода, как известно, применяются для создания фотодетекторов в инфракрасном диапазоне на межподзонных Nz /2e4Z2NI переходах [13,14]. Проблема учета данного рассеяния w(k, k ) = SSn W (qn)W (qn ) n 02V для невырожденного электронного газа в рамках теории n,n =-Nz /Брукса–Херринга связана со слабой экранировкой кулоa sin (n - n ) новского потенциала ионов за счет малой концентрации d E(k ) - E(k), (1) a свободных носителей заряда и их малых скоростей. Все (n - n ) d это приводит к очень большим интегральным сечениям где рассеяния, что затрудняет численные расчеты транспортного сечения, определяющего время релаксации имd/1 2n пульса носителей заряда. В объемных полупроводниках d Sn = ei z |u0(z )|2dz, W (q) =, с изотропным параболическим спектром эта проблеd q2 + -d/ма решается в рамках гипотезы Конуэлл–Вайскопфа о конечном значении интегрального сечения рассеяния, k определяемого величиной среднего расстояния между E(k) =E = E + 1 - cos(kz d), E =, 2 2m ионами примеси. В низкоразмерных полупроводниковых структурах, таких как сверхрешетки из квантовых ям, k и k — волновые вектора начального и коэта проблема до сих пор не рассматривалась.

нечного состояний электрона в нижней минизоне, 2n В работе в приближении Борна для вероятности qn = k - k + ez, ez — единичный вектор вдоль оси d рассеяния в рамках уравнения Больцмана получены Nz Nz СР, - < n <, Nz — число периодов СР, которое 2 формулы и проведен расчет компонент тензора времени считается бесконечно большим, — ширина нижней ¶ E-mail: sib@elefot.tsu.ru минизоны, a и d — ширина КЯ и период СР, eZ 1118 С.И. Борисенко QW и NI = aNI /d — заряд и среднее значение концен- где QW трации ионов примеси в СР, NI — концентрация A = E + E + t2( - )2 +, ионов примеси в квантовой яме, — коэффициент B = 2(EE)1/2, экранирования Дебая, — статическая диэлектрическая проницаемость, u0(z ) — периодическая часть огибаю + щей функции Блоха uk (z ) при kz = 0. Формула (1) 1 (E)dx d z = CI, (8) получена в приближении случайных фаз, для однород0(E, ) 1 - x2(A - Bx)- -ного распределения примеси по КЯ, в приближении однородной по СР диэлектрической проницаемости и слабой зависимости функции uk (z ) от kz. E =E + (cos - cos ), z Неравновесная добавка к функции распределения (E, ) = (E, ) sin, (9) электронов рассчитывалась в виде 2 f e2Z NI g(k) =e i (k) Fivi(k), (2) CI = 2, t2 =, = 40 md 2md2 2m i — поперечная энергия конечного состояния; x = cos, где Fi — компоненты напряженности постоянного элек- — угол между k и k ; = kz d; (E) — тетатрического поля, v(k) =kE/ — скорость электрона, функция, отличная от нуля и равная 1 при полоf () — равновесная функция Ферми–Дирака. Функция 0 жительном значении аргумента. После интегрирования i(k) по аналогии с решением линеаризованного урав- по x, которое приводит к аналитическим выражениям нения Больцмана для упругих механизмов рассеяния (см. Приложение I), формулы (6)–(8) сводятся к однов приближении параболического закона дисперсии но- кратным интегралам. В случае, при котором для задансителей заряд будем называть, как обычно, временем ного k интегральное эффективное сечение рассеяния S, релаксации. Для расчета этих функций с помощью рассчитанное с учетом экранировки кулоновского потенлинеаризованного уравнения Больцмана были получены циала, не превышает значения интегральные уравнения -2/S = NI, max kk (k) =0(k) w(k, k )(k ) + 1, (3) kпараметр считался равным 1. Согласно теории Брукса– k Херринга, это соответствует возможности рассеяния электрона на отдельном ионе примеси из заданного sin(k z d) состояния при любом прицельном расстоянии, т. е. со (k) =0(k) w(k, k ) (k ) + 1, (4) sin(kz d) ответствует приближению одночастичного рассеяния.

k Если указанное условие не выполняется, то, согласно тегде ории Конуэлл–Вайскопфа, при интегрировании по углам 0-1(k) = w(k, k )(5) в формулах (6)–(8) необходимо учитывать наличие миk нимального прицельного расстояния или минимального угла рассеяние между векторами k и k. Этот угол — полная вероятность рассеяния электрона из состоопределяется из условия равенства интегрального эфяния с волновым вектором k за единицу времени.

фективного сечения рассеяния максимальному значению С учетом формулы для вероятности рассеяния (1), пренебрегая в сумме всеми членами, кроме n = n = 0, -S = S = NIv(k) 0(k) (10) уравнения (3), (4) можно представить в виде max при (E, ) k kx + k z kz 0(E, ) cos. (11) k k + Совместное решение уравнений (8), (10) при учете (E, ) E/E (E)x dx d = CI + 1, (6) условия (11) дает возможность определить значение 1 - x2(A - Bx)- -параметра как функции поперечной энергии E и параметра. В случае объемных полупроводников с изотропным параболическим энергетическим спектром + (E, ) (E, ) (E)dx d электронов введение минимального угла рассеяния со= CI + sin, 0(E, ) гласно формулам (10), (11), в теорию Брукса–Херринга 1 - x2(A - Bx)- -приводит к формуле для зависимости времени релак(7) сации от энергии E, которую можно назвать обобщенФизика и техника полупроводников, 2003, том 37, вып. Рассеяние электронов на ионах примеси при низких температурах в сверхрешетке с легированными... Среднее значение компонент тензора времени релаксации ной формулой Брукса–Херринга и Конуэлл-Вайскопфа и подвижности электронов сверхрешетки (см. Приложение II):

Прибли-,, µ, µ, GaAs, 1 e4Z2NIE-3/2 1 + (1 - ) = ln -, жение пс пс м2/(В · с) м2/(В · с) пс I(E) 160s 2m 1 + (1 + )(1 + ) 1 13 30 34 17 (12) 2 15 36 40 21 где 3 15 38 41 22 (C2 - 1) - = sin2 = (2C2 - - 1), 2 (C2 + + 1) 3. Численный анализ 1/e2ZNI 4E C =, =. (13) 40E Расчет времени релаксации и подвижности электронов за счет рассеяния на ионах примеси провоУравнения (6), (7) представляют собой нелинейные дился при T = 20 K для симметричной композиционинтегральные уравнения двух переменных E и.

ной сверхрешетки GaAs/Al0.36Ga0.64As с легированныВ приближении квазидвумерного электронного газа ми кватовыми ямами шириной 5 нм. В расчете для ( k0T ) при = 0 в формулах (6)–(9) интегральные GaAs и сплава AlxGa1-x As были использованы следууравнения переходят в уравнения одной переменной, ющие значения параметров [16]: m = m = 0.066m0, зависящие от E как от параметра. Решение уравне = 13.18. Ширина нижней минизоны = 7.1 мэВ, расний (6), (7) проводилось численно итерационным метосчитанная для данной СР методом, изложенным в радом. В качестве нулевого приближения использовалось боте [17], существенно превышает среднее значение решение этих уравнений в квазидвумерном приближеэнергии невырожденных электронов с концентрацией нии разностным методом [15].

n = NI = 1014 см-3 при значении уровня Ферми -5k0T.

Расчет подвижности электронов проводился по форРезультаты расчета компонент тензора времени релакмулам сации и подвижности в приближении Брукса–Херринга ( = 0, = 1 — „приближение 1“); Конуэлл–Вайскопфа µxx = µyy = µ = e /m, µzz = µ = e / m.

( = 0, <1 — „приближение 2“) и обобщенного (14) приближения Брукса–Херринга и Конуэлл–Вайскопфа где ( = 0, 1 — „приближение 3“) представлены в та блице. Значения продольной подвижности, приведен[- f (E)](E)EdE 0 ные в этой таблице, получены при m = 0.30m0. Со =, (15) гласно таблице, рассчитанные значения усредненного f (E)dE по энергии поперечного времени релаксации близки к соответствующим значениям для объемного GaAs и слабо зависят от используемого приближения. Для [- f (E)] (E)d среднего значения продольного времени релаксации =, (16) роль используемого приближения более заметна. Наи[- f (E)]dE большее значение времени релаксации и подвижности, как и следовало ожидать, имеет место в слу чае обобщенного приближения. Следует отметить, что при рассматриваемой температуре значения подвиж(E) = (E, )d, ности, определяемые рассеянием на ионах примеси с указанной их концентрацией, близки по величине к соответствующим значениям, определяемым неупругим рассеянием на акустических колебаниях СР, рассчи (E) = (E, ) sin2()d, (17) танным по методике работы [18]: µ = 50 м2/(В · с), µ = 13 м2/(В · с).

Рассчитанная в случае обобщенного приближения [- f (E)] dE 2 дисперсия параметра по продольному волновому 1 1 d = (18) вектору при различных значениях поперечной энергии m 2 f (E)dE представлена на рис. 1. Из рисунка следует, что заметная дисперсия этого параметра, как и следовало ожидать, — усредненное по энергии значение продольной эффек- имеет место при малых значениях полной (продольной тивной массы электронов. и поперечной) энергии электрона.

Физика и техника полупроводников, 2003, том 37, вып. 1120 С.И. Борисенко Рис. 1. Дисперсия параметра по продольному волновому Рис. 4. Дисперсия по энергии поперечного движения усредвектору. Значения отношения E/k0T : 1 —0.5, 2 —1, 3 —2, ненного по продольному волновому вектору поперечного вре4 —4. мени релаксации. 1–3 — то же, что и на рис. 2.

Рис. 2. Дисперсия поперечного времени релаксации по про- Рис. 5. Дисперсия по энергии пеперечного движения усреддольному волновому вектору. 1, 2,3 — расчет в приближе- ненного по продольному волновому вектору продольного времени релаксации. 1–3 — то же, что и на рис. 2. 4 —расчет ниях 1, 2 и 3 соответственно (см. таблицу); 3 — с учетом для объемного GaAs (12).

квазидвумерного приближения.

На рис. 2, 3 представлены дисперсии по продольному волновому вектору поперечного времени релаксации и функции соответственно, рассчитанные по формулам (6), (9) при E = k0T с помощью различных приближений: кривые 1 — приближение 1, кривые 2 — приближение 2, кривые 3 — приближение 3. Дисперсия указанных функций носит немонотонный характер, причина которого связана с дисперсией энергии продольного движения по kz. Данное утверждение вытекает из вида зависимости указанных функций, рассчитанных при обобщенном приближении 3 с учетом квазидвумерного приближения для электронного газа (кривые 3 ).

Дисперсия по энергии поперечного движения, усредненного по продольному волновому вектору [см. формуРис. 3. Дисперсия функции по продольному волновому век- лы (16)], поперечного и продольного времен релаксации тору. 1, 2, 3 — расчет в приближениях 1, 2 и 3 соответственно представлена на рис. 4 и 5 соответстенно. Из рис. 4 сле(см. таблицу); 3 — с учетом квазидвумерного приближения.

дует, что дисперсия поперечного времени релаксации, Физика и техника полупроводников, 2003, том 37, вып. Рассеяние электронов на ионах примеси при низких температурах в сверхрешетке с легированными... потенциала в области малых волновых векторов при слабой дебаевской экранировке.

Следует отметить, что полученные в работе результаты носят качественный характер в связи с применимостью приближения Борна к расчету вероятности рассеяния при рассматриваемой в работе температуре, тогда как применимость уравнения Больцмана обоснована наличием малой концентрации примеси. Увеличение температуры, сопровождаемое ростом рассеяния электронов на фононах, приводит к тому, что рассеяние на ионах примеси начинает играть существенную роль при более высокой концентрации ионов и электронов, что в свою очередь снимает проблему как применимости приближения Борна, так и слабой экранировки кулоновского потенциала ионов примеси.

Рис. 6. Дисперсия функции 0(k) по продольному волновому вектору. 1–3 — то же, что и на рис. 2.

Приложение I Подынтегральное выражение в формуле (6), зависярассчитанная при различных приближениях, о которых щее от x, имеет достаточно простой вид, что позволяет говорилось выше, почти одна и та же и близка к привести интеграл по этой переменной к аналитическодисперсии времени релаксации, рассчитанной по форму- му виду:

ле (12) в объемном GaAs (рис. 5, кривая 4). В случае продольного времени релаксации (рис. 5) в дисперсии x dx 1 A 1 - при различных приближениях наблюдаются заметные = 1 - x2(A - Bx)2 A2 - B2 A - B различия. Кроме того, согласно рисунку, наблюдается -существенное различие между продольным временем релаксации в СР и в объемном GaAs. B B - A + i (A2 - B2)(1 - 2) + i ln, Согласно формулам (6), (7) и (10), большое значение A - B A2 - Bв расчетах времени релаксации играет функция 0-1(k), (П. I,1) определяемая формулами (5), (8) и представляющая где собой полную вероятность рассеяния электрона из состояния с волновым вектором k. Дисперсия этой функ A = E + E + t2( - )2 +, B = 2 EE.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.