WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, № 9 Энергетический спектр неидеальной квантовой ямы в электрическом поле © О.Л. Лазаренкова, А.Н. Пихтин Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет, 197376 Санкт-Петербург, Россия (Получена 9 февраля 1998 г. Принята к печати 10 февраля 1998 г.) Рассмотрено влияние электрического поля на энергетический спектр квантовой ямы с макроскопическими флуктуациями. Штарковский сдвиг квазисвязанных состояний в квантовой яме и три зависящих от поля механизма уширения (индуцированное полем однородное уширение, уширение за счет флуктуаций ширины и глубины ямы) рассчитаны в широком диапазоне электрических полей. В качестве примера определено влияние электрического поля на энергетический спектр электронов в квантовой яме GaAs/Al0.3Ga0.7As шириной 12 нм с флуктуациями ширины и глубины на уровне 5%.

Электрическое поле оказывает существенное влия- соответствующих связанным состояниям. Математичение не только на процессы переноса заряда, но и на ски такие состояния отвечают полюсам резольвенты положение и ширину резонансов (уровней размерного гамильтониана. Коль скоро F = 0, все собственные квантования) в квантовой яме. Это обязательно должно значения гамильтониана оказываются погруженными в учитываться при расчете характеристик современных непрерывный спектр, что принципиально отличает их от приборов нано- и оптоэлектроники и в ряде случаев стационарных состояний при F = 0. Полюса резольможет привести к качественно новым результатам. венты смещаются с действительной оси в комплексную В реальных гетероструктурах эпитаксиальные слои плоскость. При этом в электронном спектре наблюдаютмогут иметь флуктуации толщины Lz и состава твердого ся резонансные пики, называемые резонансами Брейта– раствора, приводящие к флуктуациям ширины и глубины Вигнера [3], квантовой ямы. Как обычно, мы будем предполагать, что один из характерных размеров структуры гораздо E-En 2 Ln(E) =|In(E)|2 =Cn 1 +, (2) меньше двух других (Lz Lx, Ly). Это позволяет n/пренебречь квантованием движения электрона в плоскости (x, y) и рассматривать задачу об одномерной совпадающие по форме с лоренцевым контуром. Ширина квантовой яме, каждому связанному состоянию которой наблюдаемой линии n определяется мнимой, а энергия сопоставлены двумерные подзоны, соответствующие киположения резонанса En — действительной частью сонетической энергии движения носителя в плоскости ямы.

ответствующего собственного значения. Наличие таких При этом эффекты, связанные с микроскопическими ярко выраженных резонансов позволяет говорить о сущефлуктуациями состава твердого раствора, не должны ствовании квазисвязанных состояний (уровней размеротличаться от таковых для трехмерных систем [1,2]. В ного квантования) с конечным временем жизни даже в настоящей работе мы решаем одномерную задачу, считая присутствии электрического поля. В формуле (2) n — флуктуации в плоскости ямы (x, y) макроскопическими номер квазисвязанного состояния, Cn — нормировочный и рассматривая их аддитивно.

коэффициент.

По мере увеличения электрического поля полюса все больше удаляются от вещественной оси, что приводит Спектр идеальной гетероструктуры к увеличению ширины резонансных линий. Возмущения с кусочно-постоянным потенциалом энергетического спектра вблизи квазисвязанных состов электрическом поле яний значительно превышают изменения остальной части спектра. Это дает возможность заменить реальный Уравнение Шредингера для квантовой ямы, находяспектр суммой функций вида (2).

щейся в электрическом поле F, перпендикулярном плосУсловия полноты и нормировки волновых функций кости ямы:

непрерывного спектра выглядят следующим образом:

- + V (z) - qFz (E, z) =E(E, z), (1) + 2m z(E, z)(E, z )dE = (z - z ) (3) где m — масса, q — заряд частицы, V (z) —кусочнопостоянный потенциал, (E, z) — волновая функция частицы, в общем случае непрерывно зависящая как от и + координаты, так и от энергии.

При F = 0 решением уравнения является дискретный (E, z)(E, z)dz = (E - E ). (4) набор собственных энергий и собственных функций, Энергетический спектр неидеальной квантовой ямы в электрическом поле Принятое допущение позволяет, подставляя в (3) и (4) С увеличением этого интервала значение коэффициента волновую функцию частицы в виде нормировки волновой функции стабилизируется, так что в качестве пределов интегрирования достаточно взять величину, равную нескольким ширинам ямы. Для распо(E, z) = In(E)n(z), (5) ложенных ближе к континууму уровней этот интервал n=необходимо увеличивать. С другой стороны, интервал получить выражения насыщения растет из-за увеличения амплитуды функции вне ямы, что соответствует увеличению вероятности + туннелирования через треугольный барьер. Однако этот n (z)m(z ) In (E)Im(E)dE = (z - z ) (6) процесс уже учтен через полевое уширение квазисвязанn=1 m=ных состояний в (2). Поэтому интервал интегрирования волновой функции при нормировке следует ограничить и первым узлом за пределами ямы.

+ In (E)Im(E ) n (z)m(z)dz = (E - E ) (7) n=1 m=соответственно. Здесь под n понимается убывающее на - решение уравнения Шредингера (1), отвечающее энергии резонанса E = En.

С уменьшением поля n стремится к нулю, In переходит в -функцию, и тогда из (6) получаем условия n (z)n(z ) =(z -z )(8) n=и + In (E)Im(E)dE = nm.

Из последнего следует + |In(z)|2dz = 1. (9) Условие нормировки (9) дает величину Cn = 2/n.

Проводя в (7) аналогичный предельный переход, от нормировки бесконечной суммы на -функцию можно перейти к известному условию нормировки для n-го связанного состояния:

|n(z)|2dz = 1. (10) С ростом поля уровень уширяется и его уже нельзя моделировать -функцией, однако значения интегралов (9) и (10) остаются неизменными. Поэтому в приближении слабо взаимодействующих уровней данные условия нормировки можно применять и для квазисвязанных состояний в квантовой яме, находящейся во внешнем Рис. 1. Зависимость положения первых трех уровней размерэлектрическом поле. Выражение (8) обеспечивает полного квантования n = 1, 2 и 3 в идеальной квантовой яме от ноту используемого в разложении (5) базиса. Погрешэлектрического поля. Указаны значения параметра безразмерность приближения определяется соотношением между ной глубины ямы. Штриховая линия — теория возмущений в шириной резонансных пиков и расстоянием между ними.

приближении бесконечной ямы, штрихпунктирная — квадраНа + интеграл от |n(z)|2 расходится, поэтому тичный сдвиг Штарка, рассчитанный вариационным методом в условие нормировки (10) нуждается в регуляризации. пределе слабых полей. За начало отсчета энергии принят центр дна ямы.

Положим n = 0 за пределами некоторого интервала.

Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, № 1110 О.Л. Лазаренкова, А.Н. Пихтин такой системы единиц позволяет ограничиться рассмотрением полей f f0 = 2, где f0 соответствует наклону потенциала, при котором n-й уровень оказался бы выше треугольного барьера, если бы не изменял свое положение с ростом поля. Величина f0 может служить оценкой поля ионизации.

Рассчитанные для разной эффективной глубины ямы зависимости положения резонансов и их ширины от электрического поля приведены на рис. 1 и 2 соответственно.

Из рис. 1 видно, что для любого n при безразмерной глубине ямы (n - 1)2 < < n2 полевая зависимость положения уровня размерного квантования качественно напоминает штарковский сдвиг 1s-линии в атоме водорода. В слабых полях даже уровни с n 2 сдвигаются вниз по энергии, в то время как теория возмущений в приближении бесконечной ямы предсказывает квадратичный сдвиг в область больших энергий [4]. Появление новых вышележащих состояний приводит к тому, что в слабом поле при (n + 1)2 сдвиг уровня уже может быть описан в приближении бесконечной ямы при использовании рассчитанного для конечной ямы положения уровня в нулевом поле (штриховые линии на рисунке). Слабыми считаются поля, в которых выполняется условие [4,5] qFLz 1, (11) Eили в используемых единицах Ef. (12) V - En(0) Для первого уровня мы сравнивали наши расчеты не только с приближением бесконечной ямы, но и с квадратичным сдвигом Штарка в слабых полях, рассчиРис. 2. Зависимость полевого уширения уровней размерного танным вариационным методом, предложенным в [5].

квантования n = 1, 2 и 3 от электрического поля. Указаны Соответствующие кривые представлены на рис. 1 штрихзначения параметра безразмерной глубины ямы.

пунктирными линиями.

Влияние электрического поля на ширину уровней достаточно тривиально (рис. 2). С приближением n-го Для универсализации результатов расчета удобно ис- уровня к континууму возрастает их взаимодействие и пользовать относительные единицы. Будем измерять ко- увеличивается. На этот процесс оказывает влияние ординату в z/Lz, где Lz — ширина ямы, а энергию наличие расположенных между n-м уровнем и конти — в единицах первого уровня размерного квантования нуумом квазисвязанных состояний. В результате при частицы массой m в бесконечной яме шириной Lz: глубинах ямы n2, когда n-е состояние становится верхним в квантовой яме, происходит резкое изменение 2 крутизны рассматриваемой зависимости.

E1 =.

2mLz Влияние флуктуаций ширины За начало отсчета примем центр дна ямы. При испольквантовой ямы зовании таких единиц измерения (n + 1)-е состояние появляется в яме глубиной V /E1 = = n2. ЭлектриФлуктуации толщины гетерослоя Lz в плоскости ческое поле F, определящее наклон потенциала, удобно (x, y) приводят к неоднородному уширению спектра измерять в таким образом, что даже при отсутствии поля вместо f = qFLz/[V - En(0)], бесконечно узкого уровня одномерной идеальной кванпоскольку именно расстояние от уровня до края ямы товой ямы получаем резонанс, форма которого опиопределяет его положение и ширину. Использование сывается контуром Гаусса. Величина соответствующего Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, № Энергетический спектр неидеальной квантовой ямы в электрическом поле характер (рис. 3) и далеко не тривиальна. С одной стороны, увеличение ширины ямы увеличивает ее безразмерную глубину, что в реальном масштабе может сопровождаться как поднятием лежащих близко к континууму уровней, так и понижением более глубоких. Этот механизм целиком определяет производную в нулевом поле. Она изменяется от небольших положительных величин для ям глубиной (n - 1)2 до -n2 для ямы бесконечной глубины. С другой стороны, в электрическом поле образуется треугольный барьер, сквозь который происходит туннелирование носителей.

При одном и том же F = 0 и фиксированной энергии вероятность туннелирования тем больше, чем шире яма.

Это приводит к понижению высоколежащих уровней.

С увеличением поля возрастает наклон потенциала и происходит постепенное слияние верхних состояний с континуумом, что сопровождается усилением влияния на n-й уровень второго механизма. Поскольку безразмерная глубина ямы пропорциональна (Lz)2, производная от положения энергетических уровней по ширине ямы при n 2 несколько уменьшается в слабых полях (11).

Затем она увеличивается, может перейти через нуль и расти дальше. Отметим, что наличие экстремумов в зависимостях (En/Lz) от поля может соответствовать как максимуму, так и минимуму уширения в зависимости от того, изменила ли знак производная. Дальнейший рост поля сопровождается увеличением отрицательного значения производной, т. е. ростом соответствующего уширения вплоть до слияния с континуумом.

Влияние флуктуаций потенциала (глубины квантовой ямы) Аналогично тому, как это было проделано выше, Рис. 3. Зависимость производной от положения уровня рассмотрим влияние на спектр флуктуаций потенциала.

размерного квантования n = 1, 2 и 3 по ширине квантовой Часто считают, что ими можно пренебречь, если матеямы от электрического поля. Указаны значения параметра риалом квантовой ямы является бинарное соединение, безразмерной глубины ямы.

например, GaAs или InP, а не твердый раствор. Это не совсем справедливо. Если барьеры изготовлены из твердого раствора, то флуктуации его состава также неоднородного уширения (Lz)n пропорциональна абсо- приведут к флуктуациям глубины квантовой ямы. В лютному значению производной от положения уровня качестве флуктуирующего параметра целесообразно исразмерного квантования по ширине ямы:

пользовать разрыв ширины запрещенной зоны материала барьеров и ямы (Eg), считая, что глубина ямы V(z) En пропорциональна этой величине. Тогда аналогично (13) (Lz)n = LzLz. (13) Lz En Коэффициент Lz зависит от параметров флуктуаций (Eg)n = EgEg, (15) Eg (например, от характеристических размеров (Lx, Ly) островков, образующих шероховатость поверхности) и где имеет порядок единицы. En (nE1 ) = В безразмерных единицах Eg (Eg/V )E En [n()E1 ] 2E1 n V n E1 n = = - n. (14) = =. (16) Lz Lz Lz Eg Eg Полевая зависимость производной от положения энер- В нулевом поле производная по разрыву ширины гетических уровней по ширине ямы имеет сложный запрещенной зоны положительна (рис. 4). Это отражает Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, № 1112 О.Л. Лазаренкова, А.Н. Пихтин чем больше верхних уровней давят на него (рис. 1).

Производная по глубине ямы увеличивается (рис. 4).

При дальнейшем росте поля верхние уровни постепенно сливаются с континуумом, ослабляя давление на нижние. Процесс сопровождается перегибом на зависимости положения уровней от поля (рис. 1). Точке перегиба отвечает максимум рассматриваемой производной (рис. 4), соответствующий максимуму уширения.

Спектр неидеальной квантовой ямы GaAs/(Al,Ga)As Для иллюстрации возможностей предлагаемой методики проследим влияние электрического поля на энергетический спектр электронов в квантовой яме GaAs/Al0.3Ga0.7As со следующими параметрами:

V = 224.5мэВ, Lz = 12 нм, m = 0.08m0. Им соответствуют E1 = 33.1мэВ и = 6.78.

Спектральная линия в общем виде описывается сверткой контура Гаусса G(E) шириной inh = 2 +2Lz Eg и функцией (2), учитывающей однородное уширение за счет туннелирования носителей через образующийся в электрическом поле треугольный барьер hom:

gn(E) =Ln(E)Gn(E) + = Ln(E, hom)Gn(E - E, inh)dE.

n n Заметим, что в экспериментах, измеряющих конкретные эффекты, необходимо также учитывать не зависящее от Рис. 4. Зависимость производной от положения уровня размерного квантования n = 1, 2 и 3 по разрыву ширины запрещенной зоны от электрического поля. Указаны значения параметра безразмерной глубины ямы.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.