WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. 6 Локализация нелинейных волн между интерфейсами © И.В. Герасимчук, А.С. Ковалев Институт теоретической физики, Национальный научный центр „Харьковский физико-технический институт“, 61108 Харьков, Украина E-mail: igera@ukr.net Физико-технический институт низких температур Национальной академии наук Украины, 61103 Харьков, Украина E-mail: kovalev@ilt.kharkov.ua (Поступила в Редакцию 18 июня 2002 г.) Проведено аналитическое исследование стационарных локализованных состояний нелинейных волн, распространяющихся в фокусирующей среде вдоль двух плоскопараллельных, отталкивающих волновой поток интерфейсов. Установлена возможность локализации нелинейного волнового пучка в области между такими интерфейсами.

В последнее время особое внимание уделяется тео- двух отталкивающих волну параллельных тонких слоев ретическим и экспериментальным исследованиям про- возможна локализация волнового потока в области межстранственной локализации нелинейных волн большой ду этими плоскопараллельными интерфейсами.

мощности в периодических (слоистых, модулированных) Рассмотрим нелинейную фокусирующую среду с двусистемах в направлении, перпендикулярном направле- мя узкими плоскопараллельными слоями, отличающинию их распространения [1–3]. В работе [4] в качестве мися по своим линейным свойствам от окружающей их основного шага при изучении пространственной локали- матрицы, перпендикулярными оси z и расположенными зации нелинейных волновых потоков в слоистых средах на расстоянии 2a друг от друга, существенно превосхоиспользовалось распространение нелинейного волново- дящем их толщину (рис. 1). Для предложенной системы го пучка в ангармонической среде вдоль системы двух уравнение, описывающее медленно меняющуюся со вреидентичных узких плоскопараллельных слоев, играющих менем и с поперечной координатой огибающую E(z, t) роль волноводов, „притягивающих“ волны. При этом нелинейной монохроматической волны, распространяюбыл предложен новый аналитический метод исследо- щейся в такой системе вдоль параллельных дефектных вания проблемы и сведения ее к модели связанных слоев (вдоль оси x), представляет собой стандартное ангармонических осцилляторов. В предположении, что нелинейное уравнение Шредингера с двумя -образными волноводы и среда между ними являются нелинейны- возмущениями ми и отличаются значениями показателя преломления, E 2E i + + 2 |E|2E = (z + a) +(z - a) E, (1) были выведены дискретные нелинейные динамические t z уравнения, описывающие амплидуты поля в волноводах, где предполагается, что параметр >0, т. е. дефектные и продемонстрирована возможность локализации нелислои отталкивают волновой поток и играют роль интернейного волнового потока в одном из волноводов. Эта фейсов на границе раздела оптических сред (см., напризадача имеет непосредственное отношение к нелинейной мер, [9]).

оптике, поскольку численные и натурные эксперименты Плотность функции Лагранжа, соответствующая уравпо исследованию данной проблемы проводятся наиболее нению (1), имеет следующий вид:

интенсивно именно в этой области физики реальных физических систем и системы параллельных оптических i E E E L = E - E - + |E|волноводов используются как оптические переключате2 t t z ли в реальных устройствах [5–8].

В настоящей работе исследуется противоположный - (z + a) +(z - a) |E|2. (2) предельный случай, когда нелинейный волновой поток Проблема сводится к решению однородного уравнелокализован главным образом в области между „отния (1) в области вне выделенных слоев с граничными талкивающими“ нелинейную волну дефектными плоскоусловиями возле них (при z = a) стями, моделирующими границы раздела оптических сред (интерфейсы). Однако теперь описание системы в E a-0 = E a+0, (3) терминах амплитуд поля в отдельных интерфейсах яв- E E ляется непоследовательным, изучение поставленной за- - = E a (4) z z дачи не приводит к системе связанных ангармонических a+0 a-осцилляторов. Нами показано, что при распространении и нулевыми асимптотиками на бесконечности нелинейной волны в фокусирующей среде вдоль системы (z ±). Мы огриничимся исследованием в такой Локализация нелинейных волн между интерфейсами Как и в работе [4], удобно ввести амплитуду поля в дефектных плоскостях U = E(z = a), хотя теперь она и не соответствует максимуму плотности волнового потока. Тогда из граничных условий (3), (4) и определения величины U получаем три соотношения между параметрами, q, z и U:

U = sech (a + z ) = q cn(a, q), (7) q2q 24 + 2U2 - U4 - U 2 - U2 = U. (8) В пределе q 1 (q 1) их этих соотношений следует связь модуля q с частотой решения (параметром ) Рис. 1. Система двух плоскопараллельных дефектных плоскостей (интерфейсов).

4( + 2) q 2 exp(-2a), (9) системе лишь стационарных пространственно локализооткуда получаем неравенство a 1. В работе [4] это ванных состояний вида неравенство соответствовало слабой связи плоскопараллельных дефектных слоев. В рассматриваемом случае E(z, t) =E(z ) exp(-it)(5) из неравенства q 1 следует, что распространяющийся и не будем рассматривать нестационарные явления.

поток имеет типичный солитонный профиль Легко показать, что функция E(z ) в этом случае для пространственно локализованных состояний должEIII(z ) (10) на быть выбрана вещественной. Действительно, для ch(z ) комплексной функции E(z ) =A(z ) exp[i(z )] из уравнеи ширина локализованного потока много меньше расния (1) и граничных условий (3), (4) следует, что стояния между интерфейсами: 1/ a. Взаимодейd C ствие локализованной волны с отталкивающими грани=, dz A2(z ) цами экспоненциально мало: E(a)/E(0) exp(-a).

При этом, воспользовавшись определением полной где C — константа, а фаза и ее производная „мощности“ волнового потока d/dz непрерывны при z = a. Из уравнения для функции A(z ) и условия ее убывания при z ± следует, + что C = 0 вне интерфейсов, а значит (из условия непреN = |E|2dz, (11) рывности d/dz при z = a), C = 0 и между ними, т. е.

= const. Задачей настоящей работы является изучение влияния можно получить характерную для солитонов зависинелинейности среды на характер локализации волнового мость величины N от частоты пучка в системе двух плоскопараллельных, отталкивающих волну интерфейсов. В такой системе возможна N 2. (12) локализация волнового потока между ними. Соответствующие симметричные решения системы (1)–(5) в Заметим, что соотношения q 1 и a, соответобластях z < -a (I), z > a (II) и -a < z < a (III) ствующие большому удалению локализованного потока имеют следующий вид:

от интерфейсов, выполняются и для значений частот EI,II(z ) =, EIII(z ) =q cn(z, q), (6) /2 (значение = /2 отвечает частоте волны, = ch[(z z )] локализованной у изолированной дефектной плоскости где параметр характеризует амплитуду волны и связан в линейной среде [9]).

с величиной : = -; cn(p, q) — эллиптическая Другому предельному случаю z = -a с частотами, функция Якоби с модулем q (q = 1 - q2); параметр близкими к краю зоны линейных волн, соответствует = / 2q2 - 1. Эллиптический модуль q меняется в значение модуля q, несколько превышающее 1/ 2, пределах от 1/ 2 до 1, локализованному между интер фейсами состоянию соответствуют значения z > -a.

0 1 K2(1/ 2) q2 +, (13) c Решение (6) является однопараметрическим и полно2 82aстью характеризуется значением параметра. Параметры q и z выражаются через из граничных условий при где K(q) — полный эллиптический интеграл первого z = a. рода.

9 Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. 1090 И.В. Герасимчук, А.С. Ковалев где K2(1/ 2) A, B. (18) 4K2(1/ 2) Как видно из (17), в узкой области вблизи критической точки N 1/a5 1 происходит быстрое изменение зависимости (N). Эта зависимость во всем интервале изменения частоты с учетом асимптотик (12) и (17) приведена на рис. 2.

Таким образом, в данной работе аналитически показано, что в факусирующей среде возможна локализация нелинейного волнового потока между плоскопараллельными интерфейсами, отталкивающими нелинейную волну.

Рис. 2. Зависимость (N) для локализованного между интерфейсами состояния в нелинейной фокусирующей среде.

Список литературы [1] A.B. Aceves, C. De Angelis, T. Peschel, R. Muschall, F. Lederer, S. Trillo, S. Wabnitz. Phys. Rev. E 53, 1, 1172 (1996).

В этом пределе решение в центральной области имеет [2] H.S. Eisenberg, Y. Silberberg, R. Morandotti, A.R. Boyd, вид J.S. Aitchison. Phys. Rev. Lett. 81, 16, 3383 (1998).

[3] U. Peschel, R. Morandotti, J.S. Aitchison, H.S. Eisenberg, K(1/ 2) K(1/ 2)z EIII(z ) cn, 1/ 2, (14) Y. Silberberg. Appl. Phys. Lett. 75, 10, 1348 (1999).

a 2 a [4] И.В. Герасимчук, А.С. Ковалев. ФНТ 26, 8, 799 (2000).

частота потока определяется следующим значением па- [5] L. Thylen, E.M. Wright, G.I. Stegeman, C.T. Seaton. Opt. Lett.

раметра : 11, 11, 739 (1986).

[6] S. Wabnitz, E.M. Wright, C.T. Seaton, G.I. Stegeman. Appl.

K2(1/ 2) c. (15) Phys. Lett. 49, 14, 838 (1986).

2 a[7] Y. Silberberg, G.I. Stegeman. Appl. Phys. Lett. 50, 13, При большом расстоянии между дефектными плоско(1987).

стями 2a 1 имеем c 1, т. е. критическое значение [8] D.R. Heatley, E.M. Wright, G.I. Stegeman. Appl. Phys. Lett. 53, частоты лежит вблизи края зоны линейных волн.

3, 172 (1988).

Из вида решений (14), (15) следует, что поток по[9] М.М. Богдан, И.В. Герасимчук, А.С. Ковалев. ФНТ 23, 2, прежнему в основном локализован в области между 197 (1997).

плоскими отталкивающими интерфейсами: амплитуда в центре потока E(0) 1/a много больше значения поля на интерфейсах E(a) 1/a2. Однако теперь характерная ширина волнового потока, как следует из (14), имеет порядок величины расстояния между интерфейсами: a.

В критической точке = c решение меняет свой характер: появляются дополнительные максимумы амплидуты в областях I и II, т. е. волновой поток начинает выходить из области между отталкивающими волну дефектными плоскостями. Поскольку в [9] мы показали неустойчивость решений с двумя максимумами по разные стороны от такого интерфейса, будем считать, что, по-видимому, и данные состояния являются неустойчивыми по отношению к уходу волнового потока из системы интерфейсов. Поэтому не будем останавливаться на обсуждении этих дополнительных решений.

Вычисление полной „мощности“ волнового потока дает следующее ее значение в критической точке:

K(1/ 2) dK(1/ 2) Nc, (16) dq 2 a а зависимость (N) вблизи этой точки есть N - Nc - c -A + B(N - Nc)2a2, (17) aФизика твердого тела, 2003, том 45, вып.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.