WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. 6 Вычисление магнитной восприимчивости двумерной двухрешеточной модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций © Г.И. Миронов Марийский государственный педагогический институт, 424002 Йошкар-Ола, Россия E-mail: mir@mgpi.mari.ru (Поступила в Редакцию 29 июля 2004 г.) В приближении статических флуктуаций вычисляется поперечная динамическая восприимчивость в двумерной двухрешеточной модели Хаббарда. Исследуется поведение статической магнитной восприимчивости в зависимости от различных параметров системы. В частном случае одномерной модели Хаббарда проводится сравнение с результатом точного решения.

В [1,2] была разработана методика решения модели Если в случае локализованных электронов обосноваХаббарда [3] в приближении статических флуктуаций. ние диаграммного анализа не вызывает сложностей В [4] вычислена и исследована энергия основного состо- (можно, например, с учетом кондовских аномалий [20] яния двумерной двухрешеточной модели Хаббарда [5]. вычислить поперечную динамическую восприимчивость Сравнение полученных в [4] результатов с точным связанной системы коллективизированных и локализорешением одномерной модели Хаббарда [6] показало, ванных электронов с точностью до третьего порядка что приближение статических флуктуаций довольно по константе s-d-обменного взаимодействия) [21,22], адекватно передает поведение системы, описываемой то в случае модели Хаббарда диаграммная техника как гамильтонианом Хаббарда, как в области слабых, так четкий геометрический алгоритм не построена и струки в области сильных корреляций. В [4] показано, что тура диаграммных рядов не выяснена [8]. Например, пределах U = 0 и U = энергии основного состояния „неизвестен способ, которым можно было бы априори в приближении статических флуктуаций [1,2] и в случае получить графические ряды, не связанные с какой-либо точного решения [6] совпадают, в области промежуточ- определенной системой старшинств“ [8]. В последнее ных значений U имеется хорошее согласие с точным время для исследования восприимчивости в модели решением. Это позволяет сделать вывод о том, что Хаббарда интенсивно используется численный анализ приближение статических флуктуаций хорошо работает с помощью квантового метода Монте-Карло (см. [11]).

как при слабых, так и при промежуточных и сильных Но во многих случаях необходимо иметь аналитические корреляциях, что особенно важно в случае слоистых решения для восприимчивости, поэтому вычисление купратов [5]. динамической восприимчивости представляет собой акЦель настоящей работы — вычисление и исследо- туальную задачу, особенно если учесть, что появились вание поперечной динамической восприимчивости дву- новые эксперименты, требующие объяснения [23,24].

мерной модели Хаббарда в приближении статических Гамильтониан B-B -U двумерной двухрешеточной флуктуаций. модели Хаббарда (в отличие от стандартной модели Исследованию магнетизма в модели Хаббарда по- Хаббарда по аналогии с [5] полагается, что решетка священо большое число работ (см., например, [7–15]). состоит из двух подрешеток, построенных из атомов Теория ферромагнетизма в модели коллективизирован- разных сортов; кроме того, учитывается переход элекных электронов в рамках приближения молекулярного тронов на второй по близости соседний атом кристаллиполя была развита Стонером [13]. Но оказалось, что ческой решетки) имеет вид при конечных температурах теория Стонера не дает H = H0 + V, (1) последовательного описания всех физических свойств магнитных переходных металлов. Развитие теории Сто1 нера связано с использованием Хаббардом [3] расщепH0 = 1 + e1 nf + 2 + e2 nl 2 ления запаздывающих функций Грина и применением, f A,lC приближения случайных фаз [7]. Однако и применение + B (a+ al + a+ a ) + Bl la+ al, (2) f l f f l l этих методов не устранило основные недостатки теории, f,l,l,l Стонера, возникающие при описании магнитных и термодинамических свойств при конечных температурах. U1 UV = nf nf + nl nl, (3) Дальнейший прогресс в вычислении восприимчиво2, f A,lC сти связан с использованием диаграммной техники для операторов Хаббарда [14,15]. Эта техника является где a+, a — Ферми-операторы рождения и уничтоj j обобщением диаграммной техники [16–19] для спино- жения электронов на узле j ( j = f, l) решетки со вых операторов локализованных магнитных моментов. спином ; nf = a+ a ; 1(2) — собственная энергия f f 8 1076 Г.И. Миронов электрона на узле подрешетки A(C); B = B( f - l), В (5) введено понятие спина S следующим образом:

f l Bl l = B(l - l) — интегралы переноса, опиcывающие перескоки электронов от атома к атому за счет кинети2S = 2 Sz = nk - nk.

ческой энергии и кристаллического поля на ближайший N k соседний узел и на второй ближайший соседний узел по диагонали квадрата соответственно; = - ; e1, e2 — Выделим в последних двух слагаемых в (4) по аназеемановские частоты электронов разных подрешеток;

логии с [1,2] оператор флуктуации проекции спина.

U1(U2) — энергия кулоновского отталкивания двух элекВ результате получим тронов, находящихся на узле подрешетки A(C). Для того чтобы приблизить поведение системы, описываемой d гамильтонианом (1), к ситуации, возникающей при двиa+ a =(-2SU1 - e1)a+ a + B(p)b+ a p+q p+q p+q p p p жении дырок на плоскостях CuO2 в ВТСП-соединениях, d полагается, что лишь электроны одной подрешетки (по - B(p + q)a+ bp+q - 2U1 Sa+ a, (6) p+q аналогии с кислородом на плоскостях CuO2) могут p p переноситься по диагонали квадрата на узлы этой же подрешетки (подчеркнем, что нами для простоты рас- где S — оператор флуктуации спина, суждений рассматривается гипотетическая квадратная решетка). 1 S = (nk - nk) - nk - nk.

Магнитное возбуждение электронов представим опеN N k k раторами S-(p, q) =a+ a, S-(p, q) =b+ bp+q.

p+q a p b p Гейзенберговские операторы представим следующим образом [1,2]:

Здесь электрон с волновым вектором p + q и спином вверх () возбуждается в состояние с волновым век тором p и спином вниз (), индекс a относится к S-(p, q, ) =exp(H0 )S-(p, q, ) exp(-H0 ), (7) подрешетке A, индекс b — к подрешетке C. Если операторы спиновой плотности выразить в представлении где Гейзенберга S-(p, q, ) =exp(H )a+ a exp(-H ), S-(p, q, ) = exp(-H0 ) exp(H )S-(p, q, 0) p+q a p будем иметь следующее уравнение движения:

exp(-H ) exp(H0 ). (8) d a+ a = -e1a+ a + B(p)b+ a p+q p+q p+q p p p d Представление гейзенберговских операторов в ви2U- B(p + q)a+ bp+q + a+ a a+ ak де (7) будем условно называть представлением „типа p+q p k+p-k2 kN k2,k представления взаимодействия“. Отметим, что гамиль2U1 тониан H0 в (7) — это тот же гамильтониан H0, что и - a+ ak a+ ak, (4) k+k1-p-q p в (1), с учетом перенормировки N k1,k где B(p) =-2B( cos(px a) +cos(pya)); подобным обра + U - S.

зом можно выразить и B(p + q). Аналогично записываются уравнения движения для операторов b+ a, p+q p a+ bp+q и b+ bp+q.

p p В этом случае получим систему двух дифференциальРассмотрим последние слагаемые в дифференциальных уравнений для определения неизвестного оператоном уравнении (4). В теории Стонера [13], которая ра (8) и оператора SS-(p, q, ) основывается на приближении Хартри–Фока, ограничиваются вкладом [7] d a a S-(p, q, ) =-2U1 SS-(p, q, ), 2Ud a+ a a+ ak p+q k+p-k2 kN k2,k 2Ud - a+ ak a+ ak a a 1 SS-(p, q, ) =4SU1 SS-(p, q, ) k+k1-p-q p N d k1,k a 2U1 - 2U1 S-(p, q, ), (9) = nk - nk a+ a p+q p N k где мы ввели обозначение = 1/4 - S2, а также при = 2U1Sa+ a = 2U1SS-(p, q). (5) получении системы уравнений (9) учли, что для опеp+q p a Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. Вычисление магнитной восприимчивости двумерной двухрешеточной модели Хаббарда... ратора флуктуации проекции спина S( ) =exp(-H0 ) Тогда общее решение дифференциального уравне S( ) exp(H0 ) выполняется равенство ния (4) будет иметь вид d S( ) =0, a S-(p, q, ) =exp(H0 )S-(p, q, ) exp(-H0 ) a d поэтому S( )= S(0)= S, причем( S)2 = - 2S S.

a = exp(2U1S ) S-(p, q, )[ch(U1 ) - 2S sh(U1 )] Последняя формула легко доказывается, если оператор числа частиц выразить через оператор флуктуации спина a - 2 S(0)S-(p, q, ) sh(U1 ), (11) и воспользоваться равенством n2 = nf.

f Решение системы дифференциальных уравнений (8) a где S-(p, q, ) =exp(H0 )S-(p, q, 0) exp(-H0 ).

a a для оператора S-(p, q, ) имеет вид Решив систему четырех дифференциальных уравнеa S-(p, q, ) =exp(2U1S ) S-(p, q, 0)[ch(U1 ) a ний, можно получить решения для операторов спиновой - 2S sh(U1 )] - 2 SS-(p, q, 0) sh(U1 ). (10) плотности a 1 2 - 1 2 - 1 2 - 1 B p+q a S-(k, q, ) = a+ a (0) 1 - 1 + - a+ bp+q(0) 1 - + b+ a (0) p+q p 4 2tp 2tp+q p 2tp tp+q p p+q B 2 - 1 B B 2 - 1 2 - p p p+q p 1 + - b+ bp+q(0) e(t +tp+q) + a+ a (0) 1 - 1 p+q p tp 2tp+q p tp tp+q 2tp 2tp+q B 2 - 1 B 2 - 1 B B p+q p p p+q p-tp+q) + a+ bp+q(0) 1 - + b+ a (0) 1 - + b+ bp+q(0) e(t p+q p p tp+q 2tp tp 2tp+q p tp tp+q 2 - 1 2 - 1 2 - 1 B p+q + a+ a (0) 1 + 1 + - a+ bp+q(0) 1 + - b+ a (0) p+q p 2tp 2tp+q p 2tp tp+q p p+q B 2 - 1 B B 2 - 1 2 - p p p+q p 1 + - b+ bp+q(0) e(-t +tp+q) + a+ a (0) 1 + 1 p+q p tp 2tp+q p tp tp+q 2tp 2tp+q 2 - 1 B B 2 - 1 B B p+q p p p+q + a+ bp+q(0) 1 + - b+ a (0) 1 - - b+ bp+q(0) p 2tp tp+q p p+q tp 2tp+q p tp tp+q p-tp+q) (-e1-e2+J +2S(U2-U1)) p-J p+q e(-t e, (12) где общее решение для оператора S-(p, q, ). Подобная a 1 процедура проводится для оператора S-(p, q, ). Имея b 1 = 1 + e1 + + S U1, 2 эти решения, вычислим поперечную динамическую вос приимчивость электронов подрешеток A и C.

1 Поперечная динамическая восприимчивость определя2 = 2 + e2 + - S U2 + Jp+q, + JP,, 2 ется следующим образом:

2 - 1 tp = + B2, +-(q, ) =i dte-it S-(p, q, t) p a p,p 2 - + S-(p, q, t), S+(p, -q, 0) +S+(p, -q, 0). (13) b a b tp+q = + B2, p+q Используя формулу (11) и решение для S-(p, q, ), b можно получить выражение для поперечной динамиJp = -4B cos(px a) cos(py a), ческой восприимчивости, которое весьма громоздко.

Применительно к случаю высокотемпературной сверхJp+q = -4B cos (px + qx )a cos (py + qy )a.

проводимости нас в первую очередь интересует случай Аналогичное выражение можно получить для операсильных корреляций. Показано [2], что в этом случае b тора спиновой плотности S-(k, q). Подставляя полученS = 1/2. В частном случае сильных корреляций и n = a ное выражение для S-(k, q) в формулу (11), получим получим следующее выражение для суммарной поперечФизика твердого тела, 2005, том 47, вып. 1078 Г.И. Миронов ной восприимчивости системы:

+- +- +- ++-(q, ) =aa (q, ) +ab (q, ) +ba (q, ) +bb (q, ) 2-1 2-1 B B p p+q na - na 1 - 1 + - p p+q 1 2tp 2tp+q tp tp+q = 4 - tp - tp+q + (e1 + e2 + U1 - U2 - Jp + Jp+q) p, 2-1 B 2-1 B p+q p a+ bp+q - a+ bp 1 - - 1 p+q p 2tp tp+q 2tp+q tp + - tp - tp+q + (e1 + e2 + U1 - U2 - Jp + Jp+q) 2-1 B 2-1 B p+q p b+ a - b+ a 1 + - 1 + p+q p p+q p 2tp tp+q 2tp+q tp + - tp - tp+q + (e1 + e2 + U1 - U2 - Jp + Jp+q) 2-1 2-1 B B p p+q nb - nb 1 + 1 - - p p+q 2tp 2tp+q tp tp+q +. (14) - tp - tp+q + (e1 + e2 + U1 - U2 - Jp + Jp+q) B p В формуле (14) и принимают два значения: a+ bp = b+ a = p p p 2tp ++ =+1, -1; =+1, -1. aa (q, ) и bb (q, ) являются динамическими откликами электронных подсистем A 1 + 2 1 + + + +- + f + tp - f - tp, и C соответственно; ab (q, ), ba (q, ) описывают 2 перенос намагниченности от одной электронной подсистемы к другой.

a+ bp+q = b+ a p+q p+q p+q Вычисление корреляционных функций в числителе поперечной динамической восприимчивости (14) произ- B 1 + 2 1 + p+q + + = f +tp+q - f -tp+q, водится в приближении статических флуктуаций анало- 2tp+q 2 гичным образом. В результате получим (n = 1, S = 1.2; (17) см., например, [1,2,4]) + где f (x) =1/(1 + exp(x)) — фермиевское распределение.

1 2 - 1 + 1 + Отметим, что, например, из равенства (15) следует, na = 1 - f + tp p 2 2tp что в случае больших значений кулоновского потенциала (по сравнению с энергией переноса) S = 1/2.

2 - 1 + 1 + Подставляя (15)–(17) в формулу (14), приходим к окон+ 1 + f - tp, 2tp чательному выражению для поперечной динамической восприимчивости системы, характеризующейся гамиль1 2 - 1 + 1 + na = 1 - f + tp+q тонианом Хаббарда.

p+q 2 2tp+q 2 Представляет интерес исследование полюсов динамической восприимчивости („спектра коллективных воз2 - 1 + 1 + буждений“ модели Хаббарда), определяемой форму+ 1 + f - tp+q, (15) 2tp+q лой (14). На рис. 1 приведен „спектр коллективных возбуждений“. При указанных значениях параметров этот 1 2 - 1 + 1 + спектр представляет собой зону, состоящую из четырех nb = 1 + f + tp p 2 2tp 2 подзон, причем две центральные подзоны пересекаются и образуют единую подзону, так что можно говорить о 2 - 1 + 1 + наличии трех подзон. Спектр на рис. 1 свидетельствует, + 1 - f - tp, 2tp по-видимому, о наличии антиферромагнитного упорядочения в двумерной модели Хаббарда.

1 2 - 1 + 1 + Интересно также рассмотреть поведение статической nb = 1 + f + tp+q p+q 2 2tp+q магнитной восприимчивости как функции величины q.

В работе [11] было проведено численное исследование 2 - 1 + 1 + статической магнитной восприимчивости (q, 0) как + 1 - f - tp+q, (16) 2tp+q функции q в случае точно наполовину заполненной зоны Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. Вычисление магнитной восприимчивости двумерной двухрешеточной модели Хаббарда... пературах происходит увеличение восприимчивости с ростом температуры. Затем, пройдя через максимум, восприимчивость плавно спадает (см., например, рис. в [23]). Такое поведение можно объяснить [23] в рамках представления спинового стекла. Покажем, что при определенных условиях аналогичное поведение возможно и в модели Хаббарда при низких температурах. На рис. 3 приведены зависимости статической восприимчивости от температуры (T /B) для различных значений величины интеграла переноса по диагонали квадрата при значении волнового вектора q =(/2, /2). Из анализа рис. 3 следует, что учет интеграла переноса по диагонали квадрата B приводит к резкому изменению поведения (q) при понижении температуры. При учете B на графике зависимости (q) появляется максимум, причем чем больше по абсолютной величине B, тем большей температуре соответствует максимум восприимчивости.

Рис. 1. Энергетический спектр (знаменатель поперечной восЕсли система находится в режиме сильных корреляций, приимчивости) при значениях параметров S = 1/2, q =(, ), учет интеграла переноса B в случае B < 0 (B > 0) U1 = 6eV, U2 = 2eV, B = 1.5eV, B = -0.3B, n = 1.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.