WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. 6 Модель идеальной релаксации термоупругих напряжений при выращивании монокристаллов © Ш.Х. Ханнанов, С.П. Никаноров, С.И. Бахолдин Институт физики молекул и кристаллов Уфимского научного центра Российской академии наук, 450075 Уфа, Россия E-mail: imep@anrb.ru Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия E-mail: nikanorov@pop.ioffe.rssi. ru (Поступила в Редакцию 25 сентября 2002 г.) Предложена простая дислокационная модель релаксации термоупругих напряжений, возникающих при выращивании монокристаллов из расплава. Данная модель не требует решения кинетических уравнений для дислокаций, участвующих в процессе релаксации, и позволяет получить оценку снизу плотности дислокаций в объеме выращенного кристалла.

Одной из актуальных задач физики твердого тела представляется возможным развитие модели, объедиявляется выращивание совершенных (бездислокацион- няющей оба указанных подхода. Такая модель должна ных) монокристаллов различной формы и назначе- строиться путем более точного разделения различных ния [1,2]. Речь пойдет о монокристаллах, выращиваемых частей некомпенсированных дислокаций по характеру из расплава, в которых дислокации могут возникать их влияния на состояние кристалла. Настоящая работа под действием термоупругих напряжений [1–3]. При предпринята именно с этой целью. В ней предлагается этом дислокации играют роль носителей пластической модель идеальной релаксации термоупругих напряжедеформации, посредством которой осуществляется ре- ний (МИРТН), справедливая при некоторых физических лаксация. Для сознательного управления совершенством предположениях и позволяющая получить оценку снизу монокристаллов важно установить зависимость плотно- для плотности дислокаций без решения кинетических сти дислокаций от основных физических факторов, уравнений относительно функции распределения дислоq в частности от характера температурного поля T (r).

каций f (r, t).

Последовательное рассмотрение требует самосогласованного решения задачи, включающей уравнения для 1. Формулировка и физическое определения температурного поля T (r), термоупругих напряжений ik(r) и функций распределения дислокаций обоснование МИРТН q f (r, t) в различных системах скольжения q. Такая задача сложна, трудоемка и связана с громоздкими чис- Рассмотрим монокристалл, в объеме V которого ленными расчетами. Упруго-пластическая задача остает- поддерживается неоднородное распределение темперася весьма сложной даже в рамках макроскопического туры T (r). Вырежем мысленно из объема V физичеописания (см., например, [4]).

ский малый объем V, сохраняя неизменной темпераВ связи с этим, начиная с первых работ по об- туру T (r) в точке r (центре объема V ). Тогда объем V разованию дислокаций при выращивании монокристал- испытывает свободное от стеснения термическое расшилов, неоднократно предпринимались попытки получе- рение (дисторсию) uik(r) ния приближенных оценок плотности дислокаций по частичным характеристикам температурного поля, та- uik(r) =T(r)ik, (1) ким как первые и вторые производные в направлении выращивания (т. е. вдоль оси кристалла) или в ради- где ik — символ Кронекера, — коэффициент темальном направлении. Они строились в предположении, пературного расширения. Здесь для простоты темперачто образующиеся дислокации полностью компенсируют турное расширение предполагается изотропным. Дистемпературный изгиб кристалла, вызванный неоднород- торсии uik(r) могут быть несовместными (нас интереностью распределения температуры вдоль одной из осей сует именно такой случай) и вызывать термоупругие (см. работы [5–7]). В некоторых случаях эти оценки напряжения ik(r). Источником внутренних напряжений давали удовлетворительные результаты. являются также дислокации, при этом в континуальной Наряду с этим на практике превалировал подход, теории напряжения mn определяются непосредственно основанный не на анализе кривизны кристаллической тензором плотности дислокаций pl [8–10]. Исходя из решетки, а на анализе термоупругих напряжений. По- этого, несовместные термические дисторсии uik(r) (1) скольку источником кривизны решетки и термоупругих можно заменить эквивалентным (вызывающим те же напряжений являются некомпенсированные дислокации, упругие напряжения) тензором плотности фиктивных Модель идеальной релаксации термоупругих напряжений при выращивании монокристаллов дислокаций F дислокациях. Кроме того, экспериментаторы предпочиpl тают иметь дело с так называемой скалярной плотноF = -Epmkukl,m = Epml(T,m), (2) стью дислокаций. Поэтому дальнейшая задача состоит pl в том, чтобы определить связь между и R. Такая pl где Epmk — единичный антисимметричный тензор, а инсвязь может быть получена, если известны относительдекс после запятой означает операцию дифференцироные плотности (вклады) дислокаций различных систем вания по соответствующей координате. Здесь при перескольжения q.

ходе ко второму равенству использовано уравнение (1).

Тензор плотности реальных дисклокаций R опредеpl В общем случае плотность фиктивных дислокаций F ляется через функцию распределения f (r, t) соотношеq pl состоит из активной F(1) и неактивной F(2) частей.

нием [9] pl pl q q Неактивная часть в отличие от активной не создает R = p bq f, (6) pl l внутренних упругих напряжений mn и может быть q отброшена. Пока будем предполагать, что F(2) = 0 q pl где — единичный вектор касательной к линии диси F = F(1), т. е. F целиком состоит из активной части. локации, bq — вектор Бюргерса дислокации; суммироpl pl pl вание в (6) производится по всем сортам дислокаций q.

Изменения, связанные с наличием F(2) = 0, рассмотрим pl Для скалярной плотности дислокаций имеем в конце статьи.

Далее рассужадем слудующим образом. Процесс реq = f. (7) лаксации термоупругих напряжений, осуществляемый q путем зарождения и движения реальных (решеточных) дислокаций, можно рассматривать как релаксацию наКак видно из (6), (7), прямой связи между R и pl пряжений, создаваемых фиктивными дислокациями, тендействительно не существует, поскольку эти величины зор плотности которых F определяется (2). Будем pl выражаются через различные моменты, описываемые считать, что релаксация происходит до конца (это одно q функцией f (r, t), которая неизвестна. Для получения из предположений МИРТН), т. е. термоупругие напряприближенных оценок можно использовать разумные жения ik(r) полностью устраняются. Для этого тенпредположения о ее виде. В общем случае эта функция зор плотности реальных (решеточных) дислокаций R состоит из двух слагаемых f q и f q pl 1 должен в точности компенсировать тензор плотности q q q фиктивных дислокаций F. Иными словами, в любой f (r, t) = f + f, (8) pl 1 точке r V должно выполняться равенство q где f соответствует некомпенсированным дислокациям, q F + R = 0. (3) а f — компенсированным. Компенсированная часть pl pl дислокаций по определению содержит дислокации разПоскольку рост кристаллов из расплава происходит ного знака в равном количестве и не вносит вклада в R.

pl очень медленно и при предплавильных температурах, С учетом этого из (6), (8) имеем предполжение о полной релаксации термоупругих наq пряжений (3), по-видимому, выполняется достаточно R = pqbq f. (9) pl l хорошо в реальных условиях (фактически достаточно q выполнения (3) вблизи фронта кристаллизации, где Скалярная плотность дислокаций не зависит от знака термоупругие напряжения и подвижность дислокаций q дисклокаций, поэтому вклад в вносят обе части f высокие).

q и f, т. е. согласно (7), (8) имеем Равенство (3) позволяет найти тензор плотности ре- шеточных дислокаций q q = 1 + 2 f + f. (10) 1 R (r) =-F (r), (4) q q pl pl В предложенной здесь МИРТН будем предполагать, что или, подставляя сюда выражение (2), находим q f = 0, следовательно, R = -Epml(T,m). (5) pl q = 1 f. (11) Итак, мы получили формулу (5), определяющую тенq зор плотности решеточных дислокаций R, необходиpl мых для идеальной (полной) релаксации термоупругих Для замыкания соотношений (9), (11) примем упронапряжений, связанных с заданным температурным по- щающее предположение, что в каждую компоненту лем T(r) в монокристалле. При этом нам не пришлось тензора R (9) вносят вклад дислокации только одного pl решать кинетические уравнения относительно функций сорта: индесам p, l отвечает единственный сорт дислокаq распределения решеточных дислокаций f (r, t).

ций q(pl). Тогда из (9) находим Однако тензор плотности R не содержит в себе pl -q q полную информацию о распределенных в объеме V f = p bq R (12) 1 l pl Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. 1022 Ш.Х. Ханнанов, С.П. Никаноров, С.И. Бахолдин и, подставляя (12) в (11), получаем для 1 плотности дислокаций R R -q = 0, (20) 1 = p bq R, (13) (2) l pl T pl (2) где R — функционал от T (r) где q = q(pl) — сорт дислокаций, определяемый индек(2) сами p, l. Следует сказать, что могут быть и другие R T (r) = 1 T (r ) dr. (21) q способы получения f, например с использованием 1 V экспериментальных данных об относительном вкладе (2) Здесь R/T — вариационная производная, V — различных систем скольжения в тензор R.

pl объем кристалла.

Все полученные выше результаты теоретического Рассмотрим одномерную задачу, когда температурассмотрения справедливы при выполнении исходнора T(z ) зависит от одной переменной z. Приблизительно го предположения о том, что F = F(1) и F(2) = pl pl pl такая ситуация возникает при выращивании монокри(см. разд. 1). Когда указанное предположение не высталов из расплава. Пусть кристалл занимает область полняется, изложенная схема должна быть соответz z z и температура T (z ) удовлетворяет гранич1 ствующим образом видеоизменена: в формулах (3), (4) ным условиям: T (z ) = T1, T (z ) = T2. При T = T(z ) 1 следует F заменить на F(1), а в формуле (5) следует pl pl система уравнений (18) сводится к одному уравнению (1) (1) температуру T (r) заменить на T (r). Здесь F(1), T (r) pl T,(2) = 0 (22) zz определяются соотношениями и общим его решением является линейная функция F(1) = Epml(T,(1)), (14) pl m (2) T = kz + c, (23) (1) (2) где k, c — произвольные коэффициенты. ПодставT = T - T, (15) (1) ляя (23) в (15), находим T. Затем, заменяя в (5) (1) где T(2)(r) — распределение температуры, не вызыT на T, получаем для отличных от нуля компонент R вающее упругие напряжения mn в кристалле. Теперь тензора плотности реальных дислокаций kl (2) все сводится к нахождению T (r), соответствующей R R 12 = -21 = (T /z - k). (24) реальной ситуации.

(2) Для определения вида функции T (r) обратимся Тензор плотности дислокаций вида (24) допускает к условиям совместности деформаций (p, q = x, y, z ) представление квадратной сеткой краевых дислокаций в плоскости xy, нормальной оси z. Используя такое pq = 0, (16) представление и формулы (13), (24), получаем для 1 = 2/b T/z - k, (25) где симметричный тензор несовместности pq в случае термических деформаций (1) может быть выражен через где b — величина вектора Бюргерса краевых дислопроизводные температуры T (r) каций. Знак абсолютной величины в (25) возникает в силу того, что множитель (pbl)-1 в (13) имеет знак, pq = pq(T ) =(T,mmpq - T,pq). (17) зависящий от знака (T /z - k). При этом формула (25) инвариантна относительно преобразования инверсии си(2) По определению pq(T ) = 0 или с учетом (17) это стемы координат (z = -z ). Подставляя (25) в (21), условие запишется в виде находим выражение для функционала R интегральной скалярной плотности дислокаций T,(2) pq - T,(2) = 0. (18) mm pq z R = 2/b S |T,z (z ) - k| dz, (26) Решением системы дифференциальных уравнений второго порядка (18) является любая линейная функция z где S — площадь поперечного сечения кристалла. При (2) T (x, y, z ) =ax + by + cz + d, (19) заданном температурном поле T (z ) функционал R зависит от неизвестной константы k, которая входит в общее где a, b, c, d — произвольные коэффициенты. Таким (2) выражение для T (z ) (23). С учетом этого условие образом, условия совместности (18) не позволяют найминимума (20) сводится к уравнению относительно k (2) ти T однозначным образом. Поэтому требуются доz полнительные физические условия. В рамках данной (2) МИРТН естественно потребовать, чтобы T (r) удоd/dk T,z (z ) - k dz = 0. (27) влетворяла условию минимума интегральной скалярной z Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. Модель идеальной релаксации термоупругих напряжений при выращивании монокристаллов Рассмотрим линейное температурное поле МИРТН действительно коррелируют с нижней границей наблюдаемых значений скалярной плотности дислока T (z ) T (z ) =T1 + k0(z - z ), ций. Теоретические оценки находятся также в согласии с данными [13].

k0 =(T2 - T1)/(z - z ), (28) 2 Формулы (25), (32) являются достаточно общими.

Так, например, из них как частный случай получается удовлетворяющее граничным условиям: T (z ) =T1, (с точностью до несущественного множителя) выражеT (z ) =T2. В этом случае, как нетрудно видеть, мининие, ранее найденное в [6]. Таким образом, имеется муму R отвечает соответствие и с известными частными теоретическиk = k0. (29) ми результатами. Развитый в данной работе подход При этом интегральная скалярная плотность дислокаций позволяет рассматривать и трехмерные задачи, когда R = 0. Таким образом, линейное температурное поле витемпературное поле зависит от всех трех координат.

да (28) является идеальным с точки зрения выращивания При этом минимум функционала R (21) можно искать, бездислокационных кристаллов.

используя пробные функции, которые являются реше Когда T (z ) отличаетися от T (z ) на малую величиниями системы уравнений (18) (в частности можно ну T, использовать функции вида (9)).

T (z ) = T (z ) +T (z ), (30) Формулы (9), (13) содержат в себе зависимость плотности дислокаций от ориентации, которая наблюдается как следует из рассмотренного выше случая, значение k на эксперименте. Однако этот вопрос требует отдельнобудет мало отличаться от k0, так что го рассмотрения.

Таким образом, развитая в настоящей работе МИРТН k k0 (31) дает правильное представление о влиянии характера и с учетом (25) температурного поля на плотность возникающих при росте монокристаллов дислокаций и позволяет пред1 2/b T /z - k0, (32) сказать величину минимальной плотности дислокаций, достижимую в конкретных условиях.

2. Обсуждение результатов Список литературы Предложенная МИРТН может быть использована для оценки снизу скалярной плотности дислокаций, [1] С.П. Никаноров. Изв. РАН. Сер. физ. 58, 9, 2 (1994).

возникающих при росте монокристаллов из расплава.

[2] Р. Лодиз, Р. Паркер. Рост монокристаллов. Мир, М.

Предположение о полной релаксации термоупругих на(1974). 540 с.

пряжений, по-видимому, хорошо выполняется. Условия [3] Ж. Фридель. Дислокации. Мир, М. (1967). 440 с.

релаксации особенно благоприятны вблизи фронта кри- [4] Ф. Теодор, Т. Дюффар, Ж.Л. Санталье, Ж. Песенти, Ж. Келлер, П. Дюссер, Ф. Люше, В.Н. Курлов. Изв. РАН.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.