WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 1999, том 41, вып. 6 О применимости эмпирического соотношения Варшни для температурной зависимости ширины запрещенной зоны © И.А. Вайнштейн, А.Ф. Зацепин, В.С. Кортов Уральский государственный технический университет, 620002 Екатеринбург, Россия E-mail: zats@dpt.ustu.ru (Поступила в Редакцию 9 июля 1998 г.

В окончательной редакции 27 октября 1998 г. ) Выполнено сравнение соотношений, используемых для описания температурной зависимости ширины запрещенной зоны в кристаллах. Показано, что при kT известное соотношение Варшни может быть получено из неэмпирического выражения Фэна, в явном виде учитывающего статистику фононов. В диапазоне, где высокотемпературное условие не соблюдается, для ряда материалов рассчитаны величины температурного коэффициента ширины запрещенной зоны. Установлено, что соотношение Варшни дает завышенные значения, тогда как результаты расчета по выражению Фэна соглауются с экспериментом.

Важно характеристикой энергетической структуры количество извлекаемой информации, выражение (1) твердых тел является температурный коэффициент вполне удовлетворительно описывает экспериментальширины запрещенной зоны Eg, который для большинства но наблюдаемую форму температурной характеристики материалов имеет отрицательное значение [1]. Ве- Eg(T ), что проверено на большом числе различных личину = dEg/dT определяют обычно по накло- объектов [3,5,6,8].

ну линейной части температурной зависимости Eg(T ), Вместе с тем, в рамках однофононного приближения которая, однако, в области низких температур носит и теории возмущения второго порядка температурная существенно нелинейный характер [2]. В настоящее зависимость ширины запрещенной зоны может быть время для описания Eg(T ) распространены различные представлена как [7,9,10] эмпирические и полуэмпирические методы, которые на качественном уровне удовлетворительно воспроизводят Eg(t) =Eg(0) -A( n +const), (2) форму наблюдаемых зависимостей [3–6]. Как правило, здесь A — параметр Фэна, зависящий от микроскопичеподобные расчеты не несут количественной информации ских свойств материала [11]; n =[exp( /kT )-1]-1 — о физических величинах, например, энергии фононов, хофактор Бозе–Эйнштейна для фононов с энергией ;

тя не вызывает сомнений, что электронно-колебательные const — постоянная, влияющая на величину Eg при взаимодействия в значительно степени влияют на Eg(T ).

нулевой температуре. В теории уширения электронных Основная цель настоящей работы — сравнить примениуровней const = 0 [9], при учете смещения энермость эмпирического соотношения Варшни [5] и аналигетических уровней const = 1 [7], в рамках учета тического выражения Фэна [7], учитывающего в явном экситон-фононного взаимодействия получено выражение виде статистику фононной подсистемы кристалла, для вида (2) с const =1/2 [10].1 Полагая, что температура в аппроксимации экспериментальных зависимостей Eg(T ), правой части (2) содержится только в фононной статиа также показать наличие взаимосвязи между этими стике, можно варьировать Eg(0) и A как температурновыражениями.

независимые параметры. Тогда при расчете энергии фоЛинейно-квадратичное соотношение, предложенное нонов значение const не влияет на конечный результат, Варшни [5] и получившее широкое распространение для и поэтому в дальнейшем будем считать const = 0.

описания зависимостей Eg(T ) имеет вид Следует заметить, что выражение (2) не учитывает 1Tв явном виде вклада теплового расширения решетки.

Eg(T ) =Eg(0) -, (1) 2 +T Как показано в [5,12], этот вклад в общее температурное изменение ширины запрещенной зоны составляет где Eg(0) – ширина запрещенной зоны при нулевой величину порядка 20% и в первом приближении им температуре, 1 и 2 — эмпирические параметры, не можно пренебречь. Кроме того, можно считать, что при имеющие конкретного физического смысла. Для констанбольших температурах вклад теплового расширения в ты 2, имеющей размерность [2] = [T], принимают, что она близка по величине к температуре Дебая [5,6]. В отличие от уширения уровней, когда учитываются реальные В пределе высоких температур, когда T 2, из (1) электронные переходы, сохраняющие энергию и волновой вектор, при вычислении смещения энергетических уровней рассматриваются следует, что 1. В ряде случаев коэффициенты виртуальные переходы с обязательным сохранением только волнового 1 и 2 получаются отрицательными [3,5], что вообще вектора. Это обстоятельство оказывается особенно существенным затрудняет физическую интерпретацию регистрируемых при взаимодействии с акустическими колебаниями, когда матричный зависимостей. Тем не менее, несмотря на ограниченное элемент перехода пропорционален волновому вектору фонона [11].

О применимости эмпирического соотношения Варшни для температурной зависимости ширины... величину сдвига энергетических уровней также будет пропорционален n [12]. В этом случае значение параметра A, получаемое в расчетах, учитывает как внутренний (электрон-фононное взаимодействие), так и внешний (термическое расширение) вклады в зависимость Eg(T ).

Зависимость, аналогичная (2), в которой изменение ширины запрещенной зоны пропорционально числу заполнения фононных состояний, может быть записана в виде [13] Eg(T ) =Eg(0) -D u2 - u2, (3) T где D — константа деформационного потенциала второго порядка, u2 — среднеквадратичное смещение атоT мов решетки из положения равновесия при температуре T, u2 — среднеквадратичное смещение при нулевых колебаниях. Выражая u2 в рамках однофононной моT дели с использованием статистики Бозе–Эйнштейна, для осциллятора с массой M можно установить связь между параметром Фэна A и константой D A = D. (4) M Отметим, что из (2) видно, что параметр A имеет размерность энергии и совпадает по величине с изменением ширины запрещенной зоны при температуре, когда среднее число фононов, ответственных за смещение энергетических уровней краев зон, равно единице.

Микроскопическое выражение для параметра Фэна было записано в работе [11] Рис. 1. Температурные зависимости Eg(T ) для кремния и селенида цинка. Точки — эксперимент, Si [5] и ZnSe [8]; штриeховая линия — аппроксимация по соотношению Варшни (1);

A = (m0 )1/сплошная линия — аппроксимация по выражению Фэна (2).

1 1 1 mc 1/2 mh 1/ - +, (5) 4 0 m0 mхорошо видно, что как для вышеуказанных, так и для всех здесь e — заряд электрона, — диэлектрическая постодругих материалов величины погрешностей соизмеримы, янная; 0 и — соответственно статическая и высокои выражения (1) и (2) описывают экспериментальные частотная диэлектрические проницаемости; m0 — масса данные с высокой степенью точности.

свободного электрона; me и mh — эффективные массы Кроме того, в табл. 1 для ряда веществ представлены электрона и дырки соответственно. Выражение (5), в котором все величины являются табличными, можно взятые из оригинальных работ значения коэффициентов использовать для оценки параметра Фэна в отсутствие Варшни (1 и 2) и значения параметра Фэна (A), экспериментальных данных о зависимости Eg(T ).

рассчитанные нами по выражениям (2) и (5), а также Для сравнения применимости соотношений (1) и (2) значения A, полученные в работах [14–16], в том числе при описании зависимостей Eg(T ) на рис. 1 приведены и для аморфных модификаций некоторых материалов. В примеры аппроксимации экспериментальных данных для качестве энергии фононов при выполнении расчетов по кремния и селенида цинка. В качестве критерия точноформуле (5) были взяты энергии продольных оптических сти воспроизведения формы наблюдаемых зависимостей колебаний ([1] и ссылки в нем). Из табл. 1 видно, что для использован средний квадрат ошибки ряда материалов расчетные значения параметров Фэна, n полученные с использованием (5), близки к значениям, 1 exp calc 2 = Egi - Egi, определяемым из выражения (2) при аппроксимации n i=экспериментальных данных.

Дифференцируя (2) в пределе высоких температур где индексы ” exp ” и ”calc” обозначают соответственно экспериментальное и расчетное значения Eg. Из табл. 1 kT, получаем следующее выражение для темпе5 Физика твердого тела, 1999, том 41, вып. 996 И.А. Вайнштейн, А.Ф. Зацепин, В.С. Кортов Таблица 1. Параметры выражений Варшни (1) и Фэна (2) Коэффициенты Варшни (1) Параметр Фэна A, eV 2, (eV)Вещество Источник 1, 10-4 eV · K-1 2, K (2) (5) (1) (2) -1.979 -1437 - [5] Алмаз - - - - 0.740 [16] 7.021 1108 0.225 3.0 · 10-6 5.1 · 10-6 [5] Si - - 0.100 0.090 - - [16] 4.561 210 0.082 1.4 · 10-6 6.6 · 10-7 [5] Ge - - 0.095 0.082 - - [16] 6H· SiC -0.3055 -311 0.189 - 1.5 · 10-6 3.0 · 10-7 [6] ZnSe 5.780 175 0.049 0.031 1.2 · 10-6 1.0 · 10-6 [8] As2S3 - - 1.00 - - - [14] GaP 6.860 576 0.377 0.037 7.6 · 10-5 1.1 · 10-4 [6] GaAs 8.871 572 0.171 0.020 5.8 · 10-5 9.6 · 10-6 [6] InP 4.906 327 0.050 0.045 6.8 · 10-8 3.1 · 10-11 [6] InAs 3.158 93 0.044 0.020 4.5 · 10-6 4.1 · 10-7 [6] a-Si : Hx - - 0.220 - - - [16] a-Ge : Hx - - 0.096 - - - [16] a-As2S3 - - 1.00 - - - [15] Примечание. Значения взяты из литературы. Рассчитано по данным оригинальных работ.

Таблица 2. Значения физических величин, рассчитанные по выражениям Варшни (1) и Фэна (2), meV, 1 · 10-4 eV · K-1 Eg(0), eV Вещество Источник (7) (2) эксп. [1] (1) (6) эксп. [1] (1) (2) эксп. [1] (-248) - (-1.979) - 5.41 - [5] Алмаз 165 1.2 5.- 117 - - [16] 191 48 7.02 4.05 1.155 1.150 [5] Si 2.- 30 063 - 2.87 - 1.169 1.17 [16] 36 18 4.56 3.84 0.741 0.739 [5] Ge 3.7 0.- 20 37 - 4.09 - - [16] 6H· SiC (-54) 50 89 (-0.31) 3.35 3.8 3.023 3.023 2.86 [6] ZnSe 30 11 31 5.78 4.04 4.50 2.81 2.81 2.80 [8] As2S3 - 46 50 - 18.7 7.0 - 2.77 2.60 [14] GaP 99 55 49 6.86 5.91 5.5 2.330 2.321 2.35 [6] GaAs 99 28 36 8.87 5.18 5.0 1.521 1.518 1.52 [6] InP 56 14 43 4.91 3.09 2.9 1.421 1.421 1.42 [6] InAs 16 13 30 3.16 2.95 2.2 0.425 0.425 0.410 [6] a-Si : Hx - 34 79 - 5.57 - - - - [16] a-Ge : Hx - 17 - - 4.86 4.5 - 1.045 - [16] a-As2S3 - 45 - 16.0 - - 2.42 - [15] Примечание. и аналогичны табл. 1. Экспериментальные значения, и Eg(0) для всех других веществ взяты из [1].

ратурного коэффициента ширины запрещенной зоны: со следующими коэффициентами:

k k 1 = A, 2 = ; A = 212. (7) = A. (6) kT Следовательно, при соблюдении условия T Покажем взаимосвязь между соотношением Варшни коэффициенты Варшни 1 и 2 должны содержать ин(1) и выражением Фэна (2). Раскладывая в ряд правую формацию об эффективной энергии фононов.

часть (2) в пределе kT до квадратичных членов по В табл. 2 представлены значения, рассчитанные температуре, получаем выражение, тождественное (1), на основании (7) и с использованием выражения (2).

Физика твердого тела, 1999, том 41, вып. О применимости эмпирического соотношения Варшни для температурной зависимости ширины... Типичная ситуация, когда температура реального эксперимента не удовлетворяет описанному высокотемпературному пределу, проиллюстрирована на примере германия и фосфида индия (рис. 2). Характерно, что кривые аппроксимаций по выражениям (1) и (2) хорошо описывают экспериментальные точки (см. значения 2 в табл. 1), но значительно расходятся при экстраполяции в область высоких температур. Такое явное расхождение приводит к различиям в оценке температурного коэффициента ширины запрещенной зоны. Значения, получаемые на основании выражений Варшни и Фэна, в сравнении со справочными данными [1]приведены в табл. 2. Практически для всех объектов результаты оценки по Фэну находятся в лучшем согласии с экспериментом, а оценка по соотношению Варшни дает завышенные значения. На рис. 2 хорошо видно, что высокотемпературные линейные участки кривых Варшни имеют больший наклон по сравнению с линейными участками кривых Фэна.

На основании сравнения значений физических величин, извлекаемые из параметров Варшни и Фэна с соответствующими экспериментальными данными (табл. 2) следует, что во многих случаях выражение (2) дает наиболее удовлетворительные значения для энергии эффективных фононов и температурного коэффициента ширины запрещенной зоны. Более того, при использовании выражения (2) полностью отсутствуют физически бессмысленные результаты. Интересно также отметить (см. табл. 1 и 2), что выражение Фэна (2) оказывается Рис. 2. Зависимости Eg(T ) для германия и фосфида индия, вполне применимым и для анализа зависимости Eg(T ) экстраполированные в область высоких температур. Точки — в аморфных материалах, где вследствие структурного эксперимент, Ge [5] и InP [6]; штриховая линия — расчет беспорядка края энергетических зон размыты и имеются по соотношению Варшни (1); сплошная линия — расчет по протяженные хвосты плотности состояний.

выражению Фэна (2).

Таким образом, выражение (2) для Eg(T ), получаемое в рамках однофононного приближения, в области температур kT принимает асимптотический вид хорошо известного эмпирического соотношения Варшни Однако для большинства материалов указанные вели(1). При этом на основании значений коэффициентов чины не совпадают, поскольку температуры реальных Варшни в принципе можно оценить эффективную энерэкспериментов не удовлетворяют высокотемпературногию фононов, ответственных за сдвиг граничных уровней му условию. Исключение составляет лишь InAs, для энергетических зон. Однако, когда условие kT которого значения близки (16 meV по выражению (7) не выполняется, использование выражения Фэна (2) и 13 meV по выражению (2)). Учитывая, что в данном позволяет не только с той же степенью точности восслучае значение 2 = 93 K соответствует диапазону производить форму наблюдаемых зависимостей, но и в температур 20–300 K эксперимента, можно считать, что отличие от соотношения Варшни (1) получать достоверусловие T 22 (186 K) для арсенида индия вполне ную количественную информацию об энергии фононов удовлетворяется.

и температурном коэффициенте ширины запрещенной Другими словами, в области температур, когда услозоны.

вие kT не выполняется, а выражения (1) и (2) становятся математически неэквивалентными, интерпретация коэффициентов Варшни на основании (7) Список литературы некорректна. Более того реализация отрицательных значений 1 и 2 вообще не имеет физического смысла.

[1] Физические величины. Справочник / Под ред. И.С. ГриВ подобных случаях предпочтительным следует считать горьева, Е.З. Мейлихова. Энергоатомиздат, М. (1991).

выражение (2), которое при описании зависимости Eg(T ) 1232 с.

для конкретного объекта дает информацию об энергии [2] Н. Ашкрофт, Н. Мермин. Физика твердого тела. Т. 2. Мир, эффективных фононов. М. (1979). 422 c.

Физика твердого тела, 1999, том 41, вып. 998 И.А. Вайнштейн, А.Ф. Зацепин, В.С. Кортов [3] Ж. Панков. Оптические процессы в полупроводниках.

Мир, М. (1973). 257 с.

[4] К.В. Шалимова. Физика полупроводников. Энергия, М.

(1976). 416 с.

[5] Y.P. Varshni. Physica 34, 149 (1967).

[6] N.M. Ravindra, V.K. Srivastava. J. Phys. Chem. Solids 40, (1979).

[7] H.Y. Fan. Phys. Rev. 82, 6, 900 (1951).

[8] R.C. Tu, Y.K. Su, C.F. Li, Y.S. Huang, S.T. Chou, W.H. Lan, S.L. Tu, H. Chang. J. Appl. Phys. 83, 3, 1664 (1998).

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.