WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Физика и техника полупроводников, 2002, том 36, вып. 8 Особенности электропроводности параболической квантовой ямы в магнитном поле ¶ © Э.П. Синявский, Р.А. Хамидуллин Институт прикладной физики академии наук Молдовы, 277028 Кишинев, Молдова (Получена 8 ноября 2001 г. Принята к печати 29 января 2002 г.) Из формулы Кубо получено общее выражение для статической электропроводности в магнитном поле, направленном параллельно поверхности параболической квантовой ямы. С использованием куммулянтного усреднения сформулированы условия „приближения времени релаксации“ для расчета корреляционных функций. Вычислены тензоры продольной и поперечной электропроводности в рассматриваемой размерноограниченной системе с учетом взаимодействия электрона с акустическими и оптическими колебаниями.

Показано, что поперечная электропроводность значительно больше (на несколько порядков), чем в объемных системах. Исследована зависимость продольной электропроводности в случае сильно вырожденного электронного газа от величины магнитного поля.

1. Исследование явлений переноса в размерно-огра- Расчет матричных элементов оператора импульса p(i) ниченных системах является важной задачей, поскольку на волновых функциях электрона в параболической из-за особенностей закона дисперсии зонных носителей квантовой яме (ПКЯ) в магнитном поле, направленделает такие квантовые системы перспективными для ном вдоль поверхности размерно-ограниченной систесоздания приборов с уникальными свойствами. Для мы [8,9], проводится непосредственно:

вырожденного двумерного электронного газа кинетичеp(x) = kx, (3) ские коэффициенты, оптические характеристики немоно тонно изменяются с уменьшением толщины размерно2 ограниченной системы [1,2]. Описание явлений элекp(y) = ky тронного переноса в различных размерно-квантовых си- 0 стемах (квантовые ямы, квантовые проволоки, сверхре mc шетки) в основном базировалось на решении уравнения - k,k x k,k y nn,n +1 + n + 1n,n, (4) x y 1 1-Больцмана с учетом рассеяния носителей на точечных где — частота размерного квантования, c —цикдефектах [3–6].

лотронная частота, = m0/, kx, ky — проекции В настоящей работе из общих соотношений для тен2 квазиимпульса электрона, 0 = 2 + c.

зора электропроводности исследуются особенности, возКак следует из (3), при направлении электрического никающие в проводимости в параболических квантовых поля параллельно магнитному полю матричный элемент ямах в поперечном магнитном поле. Рассматривается оператора импульса отличен от нуля, если =. Для случай вырожденного и невырожденного электронного случая поперечной электропроводности матричный элегаза, взаимодействующего с акустическими и оптическимент обобщенного импульса имеет как диагональные ми колебаниями. Некоторые результаты сравниваются элементы (первое слагаемое в (4)), так и недиагональс экспериментальными данными.

ные элементы по квантовому числу n.

2. Статическая электропроводность в представлении Заметим, что диагональный матричный элемент возвторичного квантования, согласно формуле Кубо [7], никает только в размерно-ограниченных системах (при определяется соотношением 0 это слагаемое в (4) отсутствует). Именно это обстоятельство приводит к особенностям электропро0ei j = p(i)p( j) dt a+(t)a(t)a+ a. (1) водности в размерно-квантованных системах, т. е. к за2Vm2 11 метному увеличению поперечной электропроводности по сравнению с объемными материалами.

Здесь a+(a) — операторы рождения (уничтожения) Рассмотрим в дальнейшем взаимодействие носителей носителей с зарядом e, эффективной массой m в состояс фононами, т. е.

нии, 0 = 1/k0T (T — температура в K), V —объем = 0 + V, квантовой системы, 0 = Ea+a + qb+bq, (5) it it q a+(t) =exp a+ exp (2) q V = CqV(q)(bq + b+ )a+a.

... в (1) означает усреднение с равновесной матрицей -q q плотности исследуемой системы, описываемой гамильтонианом.

Здесь b+(bq) — операторы рождения (уничтожения) фоq ¶ E-mail: arusanov@mail.ru нонов с энергией q и волновым вектором q, Cq —ко990 Э.П. Синявский, Р.А. Хамидуллин эффициентная функция электрон-фононного взаимодей- магнитном поле:

ствия, V(q) = |eiqr| — матричный элемент eiqr на 20 a0 0 волновых функциях зонных электронов в ПКЯ в магнитn0 = ne sh exp(-0E). (11) m0 ном поле, Усреднение по системе свободного фононного по k2 2k2 y x E = + + 0 n +. (6) ля проведем с использованием кумулянтного усредне2m 2m 0 ния [12], ограничиваясь нижайшим приближением. Если Согласно (2), a+(t) удовлетворяет следующему уравне- рассматривать, для простоты, только диагональные мат ричные элементы оператора импульса (4), то искомое нию движения:

выражение для тензора электропроводности (1) для i a+(t) = Ea+(t) невырожденного электронного газа принимает вид 0eq q i j = p(i) p( j)n0 dt exp{g(t)}. (12) + CqV(q)a+(t) bqe-i t + b+ ei t. (7) -q 2Vm2 q При записи уравнения (7) пренебрегалось влиянием Здесь электронов на фононный спектр [10]:

t tq q bq(t) +b+ (t) bqe-i t + b+ ei t. g(t) =- dt1 dt2 |Cq|2|V(q)|-q -q q 0 В этом естественном приближении решение уравнения (7) имеет вид [11] tq q exp i (E - E) (Nq + 1)e-i t2 + Nqei t2, (13) E t a+(t) = exp i t a+ | exp i H0 + -Nq = e q - 1 — функция распределения равно весных фононов.

t Интегрирование по t1, t2 в (13) проводится элемен exp -i H0 |. (8) тарно. Если учесть, что Здесь 1 - eit = |t|(), H0 = e + qb+bq, = Cqeiqr(bq + b+ ), q -q 2 t q q то e — гамильтониан для свободных носителей в коорди2|t| натном представлении (e = E ).

g(t) =- |Cq|2|V(q)|2 (Nq + 1) Аналогично можно получить выражение для a(t). q Если подставить a+(t), a(t) в (1), то тензор электро t проводности принимает следующее выражение:

(E - E - q)+ Nq(E - E + q) -, (14) 0e определяет время релаксации, связанное с рассеянием i j = 2Vmносителя на колебаниях решетки.

Сучетом (14) (12) принимает вид t p(i)p( j) dt exp i H0 + 0e 11 - i j = p(i) p( j)n0. (15) Vm2 t exp -i H0 + 1 a+a a+ a 0. (9) 1 1 3. Вычислим электропроводность в ПКЯ, когда в про цессе рассеяния участвуют акустические (длинноволноПри записи (9) пренебрегалось поляронным эффектом.

вые) колебания:

Это означает, что усреднения по электронной подсиE1 q |Cq|2 =. (16) стеме... и фононной подсистеме {...}0 проводятся 2V независимо.

Здесь E1 — константа деформационного потенциала, В нижайшем приближении по концентрации электро — плотность квантовой системы, — скорость нов ne, что справедливо для невырожденного электронзвука в веществе. При упругом рассеянии электрона ного газа, можно записать (энергией электрона q = q в дельта-функциях (14) a+a a+ a n0, (10) 1 1 1 11 пренебрегаем), в области высоких температур где n0 — равновесная функция распределения для k0T c 2 k0T Nq 1 и зонных носителей в ПКЯ шириной a0 в поперечном q Физика и техника полупроводников, 2002, том 36, вып. Особенности электропроводности параболической квантовой ямы в магнитном поле (носители находятся на дне нижайшей размерно- температурах ( k0T ), когда электроны нахоквантованной зоны, т. е. n = 0) нетрудно получить дятся на дне размерно-квантовой зоны (n = 0), при -n1 0 = 1 (резонансное приближение) имеем 2 1 1 E1 mk0T = =. (17) 2 1 2me2c0N0 (2n1 - 3)!! =. (22) Следовательно, согласно (15), (opt) 2 0 n1!2n e2ne Следовательно, тензор электропроводности при учете xx(H) =, m взаимодействия электронов с оптическими фононами -xx (H) T ( c), в резонансном приближении не имеет особенностей, -которые возникают в трехмерном полупроводниковом xx (H) T H-3/2 (c ). (18) материале [15].

В отсутствие магнитного поля (c = 0) из (17) и (15) Вычислим продольную электропроводность в ПКЯ непосредственно получается выражение для электропродля вырожденного электронного газа. Корреляционная водности в ПКЯ:

функция (10), согласно теореме Вика, может быть e2ne 1 E1mk0T m представлена в виде xx (0) = (0), =. (19) m (0) 2 a+a a+ a 0 = n0 1 - n(0) + n(0)n(0) 1, 1 1 11 1 1 Следовательно, 1 (23) xx(H) =xx(0)(/0)3/2. (20) где n(0) — равновесная функция распределения для Так как (/0)3/2 < 1, электропроводность в ПКЯ в приэлектронов сутствии магнитного поля уменьшается. Это связано -n(0) = e (E -) + 1.

с тем, что в магнитном поле носители в КЯ сильнее локализованы, поэтому процессы рассеяния носителей В случае вырожденного электронного газа (химический на фононах происходят более активно. На эффективное потенциал >0), когда носители находятся в нижайшей увеличение рассеяния электронов в ультраквантовом размерно-квантовой зоне (ультраквантовый предел), не пределе с ростом магнитного поля обращалось внимание трудно получить в [13]. Уменьшение величины электропроводности с ростом температуры (19) экспериментально наблюдалось 0 = ln[en - 1], (24) в гетероструктурах GaAs–GaAlAs [14].

Аналогично можно вычислить поперечную электрогде 0 = - 0/2 — химический потенциал, отсчитанпроводность (электрическое поле перпендикулярно магный от дна нижайшей зоны, нитному полю), определяемую первым слагаемым в (4):

yy(H) =xx(0)(/0)7/2. (21) (0)e n0 =, Так как (/0)7/2 < 1, поперечная электропроводность mвсегда меньше продольной. Это связано с тем, что согласно закону дисперсии (6) эффективная масса элек- (0) — поверхностная плотность электронного газа. При e трона m вдоль направления kx меньше „эффективной n0 массы“ m вдоль оси ky (m = m(0/)2).

n0 (0) e 0 = =. (25) Легко показать, что вклад второго слагаемого в (4) 0 mв поперечную электропроводность (21) незначителен, Вычислим электропроводность xx с учетом первого если C 1.

слагаемого в (23). Легко показать, что второе слагаемое Для разумных параметров ПКЯ GaAs/Ga1-x AlxAs вклад в продольную электропроводность не дает m = 0.06m0, = 5.4г/см3, = 3 · 105 см/с, E1 = 7эВ при a0 = 103, T = 100 K, = c, c 102. Следователь0e2 (deg) но, поперечная электропроводность в квазидвумерных xx = k2n(0)(1 - n(0)). (26) x 2Vm системах всегда значительно больше, чем в объемных полупроводниковых материалах.

Для дальнейших расчетов воспользуемся соотношением Исследуем поведение тензора электропроводности от температуры, величины магнитного поля, когда элекn(0)(1 - n(0)) {0(E - )}, трон взаимодействует с оптическими колебаниями:

2e2 c0 1 которое прекрасно выполняется для вырожденного элек|Cq|2 = ; c0 = -, q2 тронного газа в области низких температур. В регде 0, — соответственно низкочастотная и вы- зультате сокочастотная диэлектрические постоянные, —преe2 0n(deg) xx =. (27) дельная частота оптического фонона. При низких aФизика и техника полупроводников, 2002, том 36, вып. 992 Э.П. Синявский, Р.А. Хамидуллин В отсутствие магнитного поля (c = 0, 0 = ), соглас- [6] В.А. Гейлер, В.А. Маргулис, Л.И. Филина. ЖЭТФ, 113, 1376 (1998).

но (27), электропроводность в ПКЯ для вырожденного [7] R. Kubo. J. Phys. Soc. Japan, 12, 570 (1957).

электронного газа определяется соотношением [8] Б.А. Тавгер, М.Ш. Ерухимов. ЖЭТФ, 51, 528 (1966).

(0) [9] E.P. Sinyavskii, S.M. Sokovnich, F.I. Pasechnik. Phys. St.

e2 xx(0) =, (28) Sol. (b), 209, 55 (1998).

a0 [10] Э.П.Синявский, Е.И. Гребенщикова. ЖЭТФ, 116, (1999).

(0)e [11] Э.П.Синявский, Е.И. Гребенщикова. ЖЭТФ, 119, 0 =.

m (2001).

Следовательно, при одинаковой концентрации носителей [12] R. Kubo. J. Phys. Soc. Japan, 17, 1100 (1962).

[13] P.J. Peters, P. Schehzger, M.J. Lea, Yu.P. Monarkhe, (deg) 3/P.K.H. Sommerfeld, R.W. van der Heijden. Phys. Rev. B, 50, xx =. (29) 11 570 (1994).

xx(0) [14] X.L. Lei. J. Phys. C: Sol. St. Phys., 18, L 993 (1985).

[15] Б.М. Аскеров. Кинетические эффекты в полупроводниТак как 0 >, электропроводность в магнитном ках (Л., Наука, 1970) с. 303.

поле всегда уменьшается.

[16] M. Shayegan, T. Sajoto, M. Santos, C. Silvestre. Appl. Phys.

Как непосредственно следует из (27), в квантовом Lett., 53, 791 (1988).

(deg) пределе xx /0, т. е. удельное магнитосопротив[17] А.И.Ансельм. Введение в теорию полупроводников (М., ление с ростом магнитного поля увеличивается. Такое Наука, 1978).

поведение удельного сопротивления в магнитном поле Редактор Л.В. Беляков для размерно-ограниченных систем GaAs/Alx Ga1-xAs в области низких температур (T = 1.3K) эксперименConductance peculiarities of a parabolic тально наблюдалось в [16].

Из соотношения (15) нетрудно получить выражение quantum well in magnetic field (0) для продольной электропроводности xx (H) в случае E.P. Sinyavskii, R.A. Khamidullin объемного материала в магнитном поле [15]. В квантовом пределе ( c > 1) Institute of Applied Physics, Academy of Sciences of Moldova, (0) xx (0) 2 277028 Kishinev, Moldova = c, (30) (0) xx (H)

Abstract

Using Kubo formula obtained is the equation for the (0) steady-state conductance of a parabolic quantum well in a parallel xx (0) — тензор электропроводности в объемном поmagnetic field with respect to quantum well. We have formulated лупроводниковом материале в отсутствие магнитного conditions of the relaxation time approximation for calculating поля [17].

correlation functions. Calculated are also the longitudinal and Из соотношений (30), (18), (19) непосредственно transversal conductances in the low-dimentional structure when следует, что electrons interact with the optical and acoustical phonons. It is shown that the transversal conductance in the magnetic field is (0) (0) xx (0) >xx(0) >xx (H) >xx(H) much more than in bulk semiconductors. In addition to the above said the dependence of longitudinal conductance on the magnetic (при x < 8 2). (31) field in the case of strong degenerate electron gas is considered, too.

Следовательно, уменьшение „мерности“ квантовой системы, т. е. увеличение локализации зонных носителей, приводит к уменьшению величины продольной электропроводности.

Список литературы [1] D.G. Cantrell, P.N. Butcher. J. Phys. C: Sol. St. Phys., 18, L (1985).

[2] B.E. Sernelius, K.-F. Berggren, M. Tamak, C.Mc. Fadden.

J. Phys. C: Sol. St. Phys., 18, 225 (1985).

[3] D.G. Cantrell, P.N. Butcher. J. Phys. C: Sol. St. Phys., 18, (1985).

[4] Hui Tang, P.N. Butcher. J. Phys. C: Sol. St. Phys., 21, (1988).

[5] E.Yu. Safronov, E.P. Sinyavskii. Phys. St. Sol. (b), 180, (1993).




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.