WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика и техника полупроводников, 1997, том 31, № 8 Зависимость резонансной проводимости симметричных двухбарьерных структур от амплитуды высокочастотного поля © Е.И. Голант, А.Б. Пашковский Научно-исследовательский институт ”Исток”, 141120 Фрязино, Россия (Получена 5 марта 1996 г. Принята к печати 20 января 1997 г.) Для симметричной двухбарьерной резонансно-туннельной структуры с высокими тонкими барьерами при бесстолкновительном транспорте электронов на основе решения нестационарного уравнения Шредингера, описывающего резонансное взаимодействие электронов с высокочастотным полем, найдена аналитическая зависимость проводимости от амплитуды. Показано, что под действием высокочастотного поля с частотой и амплитудой, приблизительно соответствующей утроенной ширине резонансного уровня, до половины электронов, проходящих через этот уровень, может переходить на соседний, испуская или поглощая квант энергии.

Задачи о прохождении электронов через квантово- ресным получить простые аналитические выражения для размерные структуры в высокочастотном (ВЧ) электри- волновых функций электронов в ДБРТС, как это сделано ческом поле как бесконечно малой [1], так иконечной[2] в работе [10], в зависимости от амплитуды ВЧ поля.

амплитуды весьма актуальны как в теоретическом, так и Следует отметить, что возможность получить замкнутое в прикладном аспекте. Начиная с основополагающей ра- аналитическое решение квантово-механической задачи боты [3] и обнаружения осцилляторов большой силы при такого типа появляется довольно редко.

межподзонных переходах в двухбарьерных резонансно- Рассмотрим симметричную двухбарьерную структуру туннельных структурах (ДБРТС) [4], было выдвинуто шириной a с тонкими (-образными) барьерами толмного предложений по использованию таких переходов щиной b и высотой b, к которой приложено однодля лазерной генерации электромагнитных колебаний родное электрическое поле, изменяющееся со временем инфракрасного диапазона [5,6]. Однако реализовать по закону E cos t = E(eit + e-it), E = 2E. Для эту идею удалось лишь сравнительно недавно в так определенности считаем, что электроны движутся слева называемом квантовом каскадном лазере [7], быстрое направо. Тогда с учетом сделанных выше допущений совершенствование которого [8] делает этот прибор нестационарное уравнение Шредингера имеет вид весьма перспективным источником излучения.

Расчет приборов на межподзонных переходах основы- i = - + (x) + (x - a) вается обычно на предположении о последовательном t 2m xтуннелировании носителей тока, протекающем с уча+ H(x, t), (1) стием фононов [5]. В то же время, как было показано в [9], интересные приборные применения могут иметь межподзонные переходы в режиме когерентного H(x, t) =-qE x (x) - (x - a) + a(x - a) туннелирования, когда время жизни электронов на ка ждом уровне квантовой ямы определяется не фононным eit + e-it.

рассеянием, а туннелированием сквозь барьеры, котоЗдесь q, m — заряд и масса электрона, = bb, (x) — рые в этом случае должны быть достаточно тонкими.

единичная функция.

Особенности резонансного взаимодействия электронов с ВЧ полем в ДБРТС с высокими и тонкими барьерами Известно, что в ДБРТС коэффициент прохождения в малосигнальном приближении были исследованы в имеет четко выраженный резонансный характер, а в работе [10], где были получены простые аналитиче- симметричных структурах с тонкими барьерами велиские выражения ширины резонансного уровня и моно- чина волнового вектора, определяющего резонансные энергетической резонансной проводимости симметрич- уровни, на которых коэффициент прохождения равен 1, ной ДБРТС в зависимости от размера квантовой ямы, находится из решения трансцендентного уравнения [12] мощности барьеров, частоты поля. Вместе с тем весьма k 2k важно найти зависимость интенсивности резонансного tg ka = - = -. (2) взаимодействия и от амплитуды ВЧ поля, что позволяет m y определить квантовую эффективность переходов. Известные методы расчета электронного транспорта в ДБРТС в Здесь для удобства введено обозначение y = 2m/.

ВЧ электрическом поле конечной амплитуды [2,11] осно- Пусть электроны проходят через резонансный уровень с ваны на численных алгоритмах и страдают отсутствием номером N (для определенности назовем его основным).

физической наглядности. Поэтому представляется инте- При этом невозмущенная волновая функция электроЗависимость резонансной проводимости симметричных двухбарьерных структур от амплитуды... нов 0, нормированная на один электрона, имеет вид уровню, определитель системы (6) становится мал и равен 2ik±(-1)L+1, а при переходах на нерезонанс exp ikx + D0 exp(-ikx), x < 0; ный уровень составляет k±y. Следовательно, для узких резонансных уровней существенна вероятность 0(x) = (3) A0 sin kx + B0 cos kx, 0 < x < a;

переходов только между двумя уровнями. Поэтому далее C exp ik(x - a), x > a.

рассматриваются переходы только между основным и верхним (знак ”+”) или основным и нижним (знак ”-”) Здесь k =(2m/ )1/2 — волновой вектор электронов, резонансными уровнями.

с энергией, падающих на структуру; остальные параПри y k± из системы (6), учитывая только члены с метры равны максимальными степенями y, для коэффициентов волновой функции (5) находим A0 = y/k + i, B0 = 1, C0 (-1)N+1, D0 = 0. (4) qEyТогда — как было показано в [10] — если частота ВЧ B1± D1± (-1)L+1C1±, im2k± поля соответствует переходам на уровень L, то наблюдается резонансное взаимодействие электронов с ВЧ qEyA1±, (7) полем. Предполагая амплитуду поля достаточно малой, im2k± решение будем искать в виде ряда теории возмущений.

если N - L — нечетное число, и эти коэффициенты В первом порядке теории возмущений поправка 1 к малы, если N - L —четное (см. подробнее [10]).

волновой функции основного состояния [13] составляет Внутри структуры (0 < x < a) поправка 1-го порядка 1 = 1+(x)e-i(0+)t + 1-(x)e-i(0-)t, к волновой функции имеет вид где 0 = /. Функции ± для данной задачи имеют qEy2 y 1±(x) sin k±a + cos k±a. (8) вид im2k± k± D1± exp(-ik±x), Здесь учтено, что так как y k±, а 1±(x) содержит x < 0;

члены с отношением y/k± не выше первой степени, то вклад 1±(x) в поправку к волновой функции 1-го A sin k±x + B1± cos k±x + 1±(x), 1± порядка, как и вклад от 1±(x) в частное решение 1±(x) = (5) уравнения для поправки 2-го порядка (см. [14]) мал.

0 < x < a;

Кроме того, так как |C1±| |P1±| и функция f4, куда C1± exp ik±(x - a) +P1± exp ik(x - a), входит P1±, не вносит существенного вклада в 1±, то x > a, здесь и в дальнейших расчетах составляющими типа P± exp[k(x - a)] можно пренебречь. С учетом того что где A0 y/k, видно, что внутри структуры поправка 1-го 1/2 qEa порядка к волновой функции основного состояния имеет k± = 2m(0 ± )/, P± = ± 0(a), тот же вид, что и волновая функция основного состояния.

Следовательно, повторив описанную выше процедуру 1±(x) =qEx0(x)/ + qE0(x)/mдля нахождения поправок к волновой функции, и с являются частными решениями соответствующего урав- учетом того что вклад в поправку 2-го порядка вносит нения для ± [10,13], а система уравнений для опреде- только функция 1-(x) (если основной уровень выше резонансного уровня, на который переходят электроны) ления коэффициентов A1±, B1±, C1±, D1± имеет вид [10] или 1+(x) (если основной уровень ниже резонансного), 10 -а остальные составляющие малы, можно получить ik± - y k± 0 sin k±a cos k±a -1 x < 0;

D exp(-ikx), 0 -k± cos k±a k± sin k±a ik± - y 2(x) (9) A2 sin kx + B2 cos kx, 0 < x < a;

C exp[ik(x - a)], x > a, D1± fA1± fгде =, (6) B1± fqE yC1± fB2 D2 (-1)L+1C2 -, m2 kkгде f1 = ±(0), f2 = -±(0), qE yA2 -. (10) f3 = P± - ±(a), f4 =(y -ik)P± + ±(a).

m2 k2kПри достаточно мощных барьерах (y k±) и величи- Здесь, как и в предыдущем случае, учтены только члене волнового вектора, соответствующего резонансному ны, содержащие максимальные степени параметра y/k.

Физика и техника полупроводников, 1997, том 31, № 952 Е.И. Голант, А.Б. Пашковский Видно, что внутри структуры и поправка 2-го порядка приводит к следующему выражению для малосигнальной к волновой функции основного состояния имеет тот активной проводимости ДБРТС:

же вид, что и волновая функция основного состояния.

8q2m4n Отсюда сразу получаем M ± 1 -(-1)N-L, (17) L qEy2 qE yпоэтому из соотношений (15) для зависимости проводиB3± D3± (-1)L+1C3± -, im2k± m2 kk± мости от амплитуды ВЧ поля E = 2E, с учетом того что нет разницы между переходами как с верхнего уровня на qEy3 qE yнижний, так и наоборот, можно записать A3± -. (11) im2k± m2 kk± 8q2m4n Сравнивая (4), (7), (10) и (11), легко сообразить, что ± 1 -(-1)N-L, (18) L 3 1 +z если продолжить описанную выше процедуру получения поправок к волновой функции более высоких порядков, где z выражается через амплитуду поля и мощность а затем их просуммировать, то коэффициенты волновой барьеров как функции на каждом из резонансных уровней можно представить в виде постоянного множителя и знакопеqE 4(m)44az =. (19) ременного ряда m2 2LN 1 - z + z2 - z3 +... +(-1)n+1zn, Выражение справедливо при z < 1 или при амплитуде поля, меньшей критической:

где qE y 2(LN)1/z =, (12) E < EK =. (20) m2 kk± 2qm2a который в области своей сходимости |z| < 1 представПерепишем выражение для z в виде ляет разложение функции 1/(1 + z) по степеням z.

Таким образом, для данной задачи волновая функция qEa y2 2 LN z = электронов имеет вид kNkL 2(N2 - L2) N(x)e-i0t + L(x)e-i(0±)t, (13) (qEa)2 64L2N=, (21) NL 4(N2 - L2)где где N и L — ширины резонансных уровней [3]. Кри(1 +z) exp(ikx) - z exp, (-ikx) тическая амплитуда приложенного к ДБРТС высокоча x < 0;

стотного напряжения u = qEa, соответствующая z = 1, находится из выражения (21) как A sin kx + B0 cos kx, N(x) = (14) 1 +z 0 < x < a;

(N2 - L2) u = NL 1/22. (22) 8LN C0 exp[ik(x - a)], x > a;

Отсюда для соседних резонансных уровней с большими номерами, когда N L =, можно сделать оценку применимости формулы (18):

x < 0;

1± D exp(-ik±x), L(x) = A1± sin k± + B1± cos k±x, 0 < x < a;

qEa <2/2.

1 +z C exp[ik±(x - a)], x > a.

1± Параметр (y/k)2 показывает, во сколько раз квадрат (15) волновой функции на уровне больше квадрата волДля волновых функций вида (13) динамическая проновой функции как падающих на ДБРТС электронов, водимость на частоте определяется разностью выхотак и — при единичном (симметричная структура!) дящих из ДБРТС потоков электронов, поглотивших и статическом коэффициенте прохождения — прошедших испустивших квант энергии [13]:

ДБРТС электронов. Следовательно, прежде чем элек трон покинет структуру, среднее число столкновений = k+ |C+|2 + |D+|2 - k- |C-|2 + |D-|2.

электрона с барьерами PN на уровне N можно оценить 2aE2m (16) как PN (y/k)2/2, так что максимально допустимое В работе [10] было показано, что для моноэнергетичезначение z = 1 (в соответствии с (21)) достигается при ских электронов с концентрацией n при переходах между резонансными уровнями волновая функция вида (5) u(PNPL)1/2 = N2 - L2 2(NL)1/2.

Физика и техника полупроводников, 1997, том 31, № Зависимость резонансной проводимости симметричных двухбарьерных структур от амплитуды... Для соседних резонансных уровней N = L + 1, так что [5] A. Kastalsky, V.J. Goldman, J.H. Abeles. Appl. Phys. Lett., 59, 2636 (1991).

u(PNPL)1/2.

[6] M. Helm. Intersubband Transitions in Quantum Wells, ed.

by E. Rosencher et al. (N.Y., Plenum Press, 1992).

Это означает, что ряд (12) сходится, когда классическая [7] J.Faist, F. Capasso, D.L. Sivco, C. Sirtori, A.L. Hutchinson, энергия взаимодействия электронов с переменным по- A.Y. Cho. Science, 264, 553 (1994).

[8] J.Faist, F. Capasso, C. Sirtori, D.L. Sivco, J.N. Baillargeon, лем на длине, равной среднему геометрическому длин A.L. Hutchinson, S.-N.G. Chy, A.Y. Cho. Appl. Phys. Lett., 68, пробега электронов по резонансным уровням, не превос3680 (1996).

ходит трехкратного расстояния между уровнями.

[9] Е.И. Голант, А.Б. Пашковский, А.С. Тагер. Письма ЖТФ, Ясно, что для узких уровней, а только для таких 20, № 21, 74 (1994).

уровней этот расчет и применим, амплитуда u весьма [10] И.В. Беляева, Е.И. Голант, А.Б. Пашковский. ФТП, 31, мала. Однако, как видно из (14), при этой амплитуде ко(1997).

эффициент отражения ДБРТС равен z2/(1 + z)2 = 0.25, [11] W.R. Frensley. Rev. Mod. Phys., 62, 745 (1990).

а коэффициент прохождения — 1/(1 + z)2 = 0.25, так [12] В.М. Галицкий, Б.М. Карнаков, В.И. Коган. Задачи по что ровно половина электронов падающего потока пеквантовой механике (М., Наука, 1981).

реходит под действием поля на другой энергетический [13] А.Б. Пашковский. ФТП, 29, 1712 (1995).

уровень, причем доля перешедших электронов составля- [14] А.Б. Пашковский. Письма ЖТФ, 21, 28 (1995).

ет 1 - (1 + z2)/(1 + z)2. Она максимальна как раз при Редактор Т.А. Полянская z = 1, а при амплитудах поля, больших критической (20), начинает уменьшаться. Последнее утверждение справедResonant conductance of symmetric ливо в силу аналитической продолжаемости решения double-barrier quantum-well structures as (13)–(15) за радиус сходимости ряда (12).

a function of a hign-frequency electric Таким образом, при z = 1 реализуется наиболее интересный с практической точки зрения режим, при field amplitude котором максимальное число электронов эффективно E.I. Golant, A.B. Pashkovskii взаимодействует с ВЧ полем, и хотя при этом величина активной проводимости уменьшается в 4 раза по сравнеState Research Institute ”Istok”, нию с максимальной, она остается достаточно высокой, 141120 Fryazino, Russia например, для эффективной работы лазера с бесстолкновительным переносом электронов через ДБРТС, предло

Abstract

Using a solution of the time–dependant Schrdinger женного в [9].

equation obtained for the resonance interaction between electrons Интересно отметить, что с увеличением амплитуды and a THz frequency band electric field in a double high and thin barrier quantum-well structure under collision-free electron поля все большее число электронов отражается от transport, the high frequency conductance has been found as an структуры без изменения энергии. Качественно этот analytic function of the field amplitude. It has been shown that факт можно объяснить модуляцией положения уровня under the influence of both a HF field of the frequency and an относительно моноэнергетического потока электронов, amplitude that approximately corresponds to the three-fold energy падающих на ДБРТС. В малосигнальном режиме эта level width, as many as half of all the alectrons travelling through модуляция мала и все электроны попадают в середину the level can pass into the neighboring one, emitting or absorbing уровня, где статический коэффициент отражения миниthe energy quantum.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.