WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Физика твердого тела, 1999, том 41, вып. 5 Модель спинодального распада фаз в условиях гиперболической диффузии © Н.М. Антонов, В.В. Гусаров, И.Ю. Попов Санкт-Петербургский институт точной механики и оптики, Санкт-Петербург, Россия Институт химии силикатов им. И.В. Гребенщикова Российской академии наук, 199155 Санкт-Петербург, Россия Предложена модель кинетики спинодального распада в условиях высокоскоростной диффузии, описывающейся гиперболическим уравнением. При этом для описания процесса образования новых фаз использована модель нелинейного потенциала нулевого радиуса. Показано, что регулярное расположение фаз в пространстве при спинодальном распаде инициировано соответствующими начальными условиями для градиента концентрации при постоянной начальной концентрации компонентов.

Спинодальный распад фаз как процесс, позволяющий гиперболического типа начальные условия необходимо формировать материалы с телесными областями фаз дополнить условиями для крайне малых размеров, представляет значительный интерес для синтеза высокотемпературных сверхпроводниCi.

ков, дисперсионно-упрочненных материалов, пористых t t=0 стекол и др. [1]. Основные особенности процесса фазовой трансформации при спинодальном распаде фаз мож- Не теряя общности, для простоты будем рассматривать но сформулировать следующим образом: формирование спинодальный распад двухкомпонентной фазы переменновых фаз происходит в состоянии, далеком от равноного состава. Поскольку концентрация второго комповесия, и скорость спинодального распада существенно нента выражается в виде C2 = 1 - C1, то система гиперпревышает скорость фазовой трансформации в области болических уравнений в этом случае будет состоять из метастабильного существования фаз. Особенно высокой одного уравнения для переменной C C1. Естественно скоростью характеризуются процессы спинодальной липредположить, что в начальный момент времени конквации [2]. Классическая теория спинодального распада, центрация C постоянна (условие химической однородбазирующаяся на модели Кана–Хильярда [3–6] ности фазы). Вместе с тем распределение Ci/t t=0 в пространстве, как правило, неоднородно, что отвечает Ci = -(KiCi) +DiCi наличию в распадающейся фазе некоторых активных t центров — зародышеобразующих центров новых фаз.

(здесь Ci — концентрация i-го компонента в распадаТакими центрами могут быть, например, дислокации, ющейся фазе, t — время, Ki — некоторый положидефекты упаковки в кристаллах, границы и тройные тельный коэффициент, Di — коэффициент диффузии стыки зерен в поликристаллах, ассоциаты в расплавах.

i-го компонента, — оператор Лапласа), достаточПри описании процесса образования новых фаз пуно хорошо описывает процесс спинодального распада тем спинодального распада предлагается использовать при относительно небольших скоростях массопереноса компонентов.1 Вместе с тем обычно принятое описа- модель нелинейного потенциала нулевого радиуса для ние транспорта компонентов в рамках параболической гиперболического уравнения диффузии. Известно, что модели диффузии не всегда корректно, так как не учи- задание линейного потенциала нулевого радиуса сводиттывает времени диффузионной релаксации, которое мо- ся к построению самосопряженного расширения некожет оказаться сопоставимым сo временем структурной торого симметрического оператора [10–13]. Коротко релаксации процесса фазообразования. В таких случаях говоря, процедура указанного построения, обычно нанеобходимо использовать волновое уравнение процесса зываемая процедурой ”сужения-расширения”, выглядит переноса [7–9]. Учитывая сделанные выше замечания следующим образом. Мы стартуем с самосопряженнои полагая в первом приближении коэффициенты Ki го оператора K2 - D в пространстве квадратично постоянными, спинодальный распад фаз можно описать суммируемых функций. Сузим его на множество гладких системой уравнений функций, обращающихся в нуль в некоторой точке. Замыкание полученного оператора будет симметрическим 2Ci Ci di + = -Ki2Ci + DiCi, оператором с индексами дефекта (6,6). Дефектный t2 t элемент, соответствующий точке 0, получается из фунгде di — время диффузионной релаксации i-го комдаментального решения уравнения понента. Отметим, что при использовании уравнений Мы игнорируем проблему расходимости коэффициентов Ki при K 2 - - 0 = (r), больших временах [6].

D 908 Н.М. Антонов, В.В. Гусаров, И.Ю. Попов которое находится в явном виде есть исходный самосопряженный оператор. Если же C превышает указанный порог, то в качестве расширения (1) 1/2 ( выбираем оператор, отвечающий ”источнику” (точнее (r) = H0 (k0 r) +H02)(k0/2r) 8ik”стоку”), сила которого пропорциональна превышению над пороговым значением. Физический смысл такой -1 -K K -r-1 J 4k5/2 k4 -0 k4 +k2 -0 (r), модели заключатся в том, что по достижении опредеD D ленного значения концентрации компонента происходит трансформация зародышеобразующего центра в зародыш где r = |r|, [J f (k) ](r) — преобразование Бесселя функновой фазы. При этом мы описываем начальную стадию (1) (2) ции f (k) в точке r [14], 0 = k0, H0, H0 — функции спинодального распада, когда размеры растущих зародыХанкеля первого и второго рода соответственно. Набор шей незначительны по сравнению с расстоянием между дефектных элементов:

ними. При появлении сингулярностей (зародышей) ситуация меняется. Новых центров не образуется, поскольку,,,,,.

x1 x2 x1x2 x1x1 x2xдальнейшeго роста волны концентрации выше указанного предела в других точках не происходит, так как Он имеет самосопряженные расширения, которые и дают избыток поглощается уже образовашимися центрами.

указанную модель. В область определения расширения Для простоты рассмотрим случай, когда зародышевходят функции из области определения сопряженного образующие центры двух фаз пространственно череду(к исходному) оператора, которые удовлетворяют некоются и образуют двумерную решетку в квадрате с реторым дополнительным условиям. Конкретно, элементы бром L. С формально математической точки зрения это из области определения сопряженного оператора имеют отвечает следующим начальным условиям. Начальное вид значение концентрации постоянно, а начальная скорость 2 изменения концентрации есть функция u, близкая к u(r) = bi j (r) + bi (r) +b0(r) xixj xi i, j=1 i=unm = cos(nx/L) cos(my/L), 2 n, m — некоторые целые числа. На границе квадрата +(r) a0 - aixi + ai jgi jxixj +u(0)(r), (0 x L, 0 y L) предполагаем выполненными i=1 i, j=условия Неймана C/ = 0. В этой ситуации в где решении будет доминировать одна мода (стоячая волна u(0)(0) =u(0)(0) =u(0x)j(0) =0, концентрации) xi xi gi j = 1, i = j, gii = 1/2; i, j = 1, 2, exp(-nmt) sin(nmt) cos(nx/L), (r) — гладкая обрезающая фукнция, (r) =1, r < 1;

cos(my/L).

(r) =0, r > 2.

Отметим, что данные элементы имеют в окрестности В начальный период времени амплитуда растет. Если в выделенной точки асимптотику некоторый момент она достигает порогового значения, то возникают, причем одновременно, зародыши новых C = b0r2 ln r + b1r ln r cos + b2r ln r sin + b11(2lnr +1+2cos2 ) +b12 sin + b22(2lnr +1+2 sin2 ) +a0 +a1r cos + a2r sin + a11r2 cos2 + a12r2 sin + a22r2 sin2 + o(r2), r 0.

Построение расширения фактически сводится к заданию связи между коэффициентами bi, bi j и dai, ai j [11–13].

Отметим, что среди самосопряженных расширений имеется, разумеется, и исходный оператор, соответствующий ситуации, когда никакого потенциала нет. В рассматриваемой задаче предлагается ввести нелинейный потенциал нулевого радиуса, т. е. нелинейное расширение суженного оператора. Выберем его так. Если C < C Распределение концентрации компонента C по пространствен(т. е. концентрация в данной точке меньше некоторого ным координатам X, Y при спинодальном распаде фазы в фиксированного значения), то расширенный оператор условиях гиперболической диффузии.

Физика твердого тела, 1999, том 41, вып. Модель спинодального распада фаз в условиях гиперболической диффузии фаз, которые располагаются в пучностях стоячей волны.

На рисунке показано пространственное распределение концентрации в момент времени, когда пороговое значение еще не достигнуто. При вычислениях предполагалось, что u - unm есть кусочно-линейная функция и |u - unm|2dv < 0.1.

Таким образом, периодическое расположение фаз при спиноидальном распаде инициировано ”периодическим” начальным условием, которое связано с соответствующим размещением зародышеобразующих центров, определяемым структурой исходной фазы.

Отметим, что с физической точки зрения возможны случаи регулярного, но непериодического расположения зародышеобразующих центров, что характерно для ликвации расплавов и стекол. Это может отвечать, например, начальным условиям, соответствующим сумме двух стоячих волн. Подчеркнем, что использование гиперболического уравнения массопереноса позволяет получить периодическое расположение телесных областей, образующихся при спинодальном распаде фаз при постоянной начальной концентрации компонентов.

Работа поддержана РФФИ и Министерством общего и профессионального образования (проект № 97-18-1.229).

Список литературы [1] В.В. Гусаров, А.А. Малков, Ж.Н. Ишутина, А.А. Малыгин.

Письма в ЖТФ 24, 1, 3 (1998).

[2] С.В. Казаков, Н.И. Чернова. ЖФХ 63, 1, 223 (1989).

[3] J.W. Cahn, J.E. Hilliard. J. Chem. Phys. 28, 258 (1958).

[4] J.W. Cahn, J.E. Hilliard. J. Chem. Phys. 29, 131 (1959).

[5] J.S. Langer. Ann. Phys. 78, 421 (1973).

[6] И.К. Кудрявцев. Химические нестабильности. Изд-во МГУ, М. (1987). 254 с.

[7] W.E. Alley, B.J. Alder. Phys. Rev. Lett. 43, 653 (1979).

[8] А.В. Лыков. ИФЖ 9, 3, 287 (1965).

[9] И.Н. Таганов. Моделирование процессов массо- и энергопереноса. Химия, Л. (1979). 208 с.

[10] Б.С. Павлов. УМН 42, 6, 99 (1987).

[11] I.Yu. Popov. Applicable Analysis 69, 1–2, 15 (1998).

[12] I.Yu Popov. Revistra Mat. Univ. Compl. Madrid. 9, 1, (1996).

[13] I.Yu. Popov. Proc. Zel’dovich Memorial. / Ed by S.M. Frolov.

Moscow (1994). P. 305.

[14] В.А. Диткин, А.П. Прудников. Интегральные преобразования и операционное исчисление. Физматгиз, М. (1961).

340 с.

Физика твердого тела, 1999, том 41, вып.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.