WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

нижними уровнями размерного квантования в КТ. ДейВ случае полного отсутствия угловых корреляций в ствительно, даже в статистически маловероятном случае значениях функции R ее многомерные законы распредеотклонения поверхности КТ от равновесной на максиления распадаются, подобно (5), на произведения незамальную величину R выражение (12) не превосходит R0+R висимых одномерных распределений w(R), благодаря по модулю значения U0 f (r)r2dr, которое мало чему статистическое усреднение в (15) можно произR0-R водить для каждого из k сомножителей в отдельности, ввиду малой вероятности для электрона в основном сочто приводит к обращению в нуль всех центральных стоянии находиться вблизи границы потенциальной ямы моментов величины E. Этот вывод, как можно видеть, в узком слое толщины R. Аналогичные соображения является общим и относится ко всем порядкам теории справедливы и для недиагональных элементов возмущевозмущений, поскольку в любом из них требуется усредния, что позволяет при рассмотрении статистического нять произведение множителей вида nlm|V - U|n l m, уширения основного уровня ограничиться 1-м порядком где nlm — неслучайные волновые функции электрона теории возмущений.

в среднестатистическом потенциале. В силу статисти4. Ввиду случайного характера потенциала КТ, энерческой независимости значений функции V в разных гия E в (11) также является случайной величиной, закон сомножителях, в каждом из них усреднение можно распределений которой, g(E), определяет форму максипроизводить независимо друг от друга, что и привомума плотности электронных состояний, возникающего дит к обращению в нуль всех центральных моментов в результате неоднородного уширения -образного пика, благодаря условию V = U. Этот результат означает, связанного с основным электронным уровнем. Этот зачто в случае такой полной стохастичности поверхности кон распределения можно найти, располагая значениями (k) КТ положение уровней размерного квантования в ней всех центральных моментов µE случайной величины E, в точности совпадает с их положением в среднестакоторые легко вычисляются с помощью (11). Проводя тистическом потенциале, в результате чего плотность в (11) усреднение и учитывая при этом, что V = U, а состояний, связанная с основным электронным уровнем, функция — неслучайная величина, получим = E0.

имеет вид g(E) =(E - E0), т. е. представляет собой Это означает, что пик g(E) совпадает с основным образный неуширенный пик при E = E0.

электронным уровнем в среднестатистической потенциТакое заключение представляется вполне естественальной яме, поэтому для центрального момента k-го поным, если учесть, что в рассматриваемом случае, как отрядка величины E найдем мечалось выше, все КТ идентичны друг другу, а наличие (k) k совершенно нерегулярных флуктуаций их поверхности µE = (E - )k = |V - U|, (13) приводит к совпадению уровней размерного квантования где черта в правой части равенства означает статистичев них с энергетическими уровнями в среднестатистическое усреднение по многомерному закону распределения ском потенциале.

k-го порядка функции R.

В предельном случае полной угловой корреляции Для дальнейшего удобно преобразовать (13), введя в между значениями функции R, последняя перестает рассмотрение вспомогательную случайную функцию F, зависеть от углов и, и по ним можно выполнить связанную с R соотношением интегрирование в (12). Преобразуя оставшийся интеграл R по r по частям, приходим к соотношению F(R) = f (r) r2 dr. (14) E = E0 - U0 F(R) - F, (17) Как следует из (14), F определяет вероятность нахо- означающему наличие взаимно однозначной функциождения электрона в сферическом объеме радиуса R с нальной зависимости между случайными величинами R Физика и техника полупроводников, 2002, том 36, вып. 878 В.И. Белявский, С.В. Шевцов и E. Отсюда для функции g(E) получаем выражение 5. При произвольной уголовой корреляции определение числовых характеристик распределения g(E), 1 w(R) согласно (13), требует знания многомерных законов g(E) =, (18) U0 f (R)R2 R=R(E) распределения функции R соответствующих порядков.

Получаемые при этом значения центральных моментов в правой части которого R нужно рассматривать как являются промежуточными по отношению к их значенифункцию E, определяемую из (17).

ям, найденным в рассмотренных предельных случаях:

При оценке числовых характеристик распределе ния (18) учтем, что, ввиду сравнительно небольшого k (k) (k) k |µE | U0 f (R0)R2 |µR |. (22) разброса значений R в пределах узкого интервала вблизи R0, в преобразовании (17) от R к E задействован лишь Соответственно функция g(E) в этом случае имеет небольшой участок функции F, в пределах которого форму пика, более высокого и узкого, чем при полной ее можно считать линейной. Заменяя в связи с этим угловой корреляции.

в (17) F двумя членами ее разложения в ряд Тейлора Для оценки дисперсии воспользуемся формулой (15) в окрестности точки R0, получаем линеаризованную для k = 2, в которой функцию F можно заменить форму (17), из которой немедленно вытекает, что двумя первыми членами ее разложения в ряд Тейлора в окрестности точки R0, что приводит к соотношению k (k) (k) k µE =(-1)k U0 f (R0)R2 µR, (19) f (R0)R2 (k) DE = Uгде µR — центральный момент k-го порядка функции R:

(4) (k) µR = (R - R0)k w(R) dR. (20) R(1, 1)- R0 R(2, 2)- R0 do1 do2, (23) в котором doi = sin ididi, i = 1, 2, а каждое инТаким образом, в случае полной угловой корреляции тегрирование проводится по полному телесному углу.

центральные моменты распределения по энергии проВходящее в (23) среднее есть корреляционная функция порциональны соответствующим моментам радиального стационарной случайной функции R, зависящая только распределения КТ по размерам, а плотность состояний от угла между направлениями, определяемыми углаопределяется выражением (18) и имеет вид пика коми 1, 1 и 2, 2. Вводя в рассмотрение безразмерную нечной ширины, форма которого, в рамках сделанных нормированную корреляционную функцию k( ), приближений, повторяет форму распределения w(R).

Отметим, что подобный результат для кривой спектра k( ) = (R1 - R0)(R2 - R0) w(R1, R2| ) dR1 dR2, оптического усиления лазеров на КТ был получен раDR нее [16] в связи с анализом влияния флуктуаций раз0 (24) мера КТ на характеристики таких лазеров. Проводимое удовлетворяющую условию |k( )| 1, и выполняя в [16] однопараметрическое статистическое усреднение в (23) интегрировние по части угловых переменных, по относительному отклонению размера КТ от его средокончательно получим него (равновесного) значения полностью соответствует рассматриваемому случаю полной угловой корреляции.

2 Ширина пика плотности состояний характеризуется дис- DE = U0 f (R0)R2 DR k( ) sin d. (25) персией, величина которой находится из (19):

E = DE = U0 f (R0) R2R. (21) Ввиду того что |k( )| 1, дисперсия распределения g(E) удовлетворяет общему условию (22). В случае В случае достаточно глубокой потенциальной ямы U(r) полной угловой корреляции, когда k( ) 1, мы возшириной порядка десятка нанометров плотность вевращается к (21). При полном отсутствии угловых роятности f (R0)R2 нахождения электрона вблизи ее корреляций DE = 0, поскольку k( ) 0. Таким обраграницы мала. Как показывает приводимый далее расзом, увеличение угловых корреляций при сохранении чет, она не превышает величины 0.1R-1, поэтому неизменным разброса по размерам должно приводить к E/U0 0.1R/R0, так что распределение g(E) имеет увеличению ширины пика плотности состояний.

форму узкого пика, ширина которого определяется отДля определения функции g(E) можно воспользоносительным разбросом КТ по размерам и составляет ваться разложением последней в ряд по полиномам величину, малую по сравнению с расстоянием между Эрмита [17] уровнями размерного квантования. Как следует из (19), (3) (3) моменты 3-го порядка µR и µE, характеризующие g(E) = exp(-2) 1 + bkHk(), (26) асимметрию соответствующих распределений, противо2E положны по знаку. Это соответствует тому, что уровни размерного квантования понижаются с ростом разме- где =(E - )/ 2 E, Hk() — полином Эрмита ра КТ. k-го порядка, а коэффициенты bk могут быть выражены Физика и техника полупроводников, 2002, том 36, вып. Неоднородное уширение основного электронного уровня в массиве квантовых точек (k) через центральные моменты µE, исходя из соотношения Полагая, что Rs выбрано указанным образом, найдем E0 = E0(Rs), при этом в качестве функции f (r) можно взять волновую функцию нулевого приближения f (r).

1 E - s bk = g(E) Hk dE, (27) Для определения Rs из условия обращения в нуль 2kk! 2 E интеграла в (30), преобразуем последний по частям.

Учитывая малую ширину распределения w(R), в первом в котором интегрирование распространено на всю чиприближении Rs R0; это соотношение выполняется = словую ось ввиду того, что g(E) равно нулю почти тем точнее, чем меньше дисперсия DR.

всюду, за исключением узкого интервала значений шиТаким образом, задача об определении энергии и риной E вблизи. Когда закон распределения g(E) волновой функции электрона для основного состояния мало отличается от нормального, в разложении (26) достаточно [17] удержать только первые три члена: в среднестатистическом потенциале сводится к нахождению соответствующих величин для электрона в сферической прямоугольной яме глубины U0 и радиуса R0. Исg(E) = exp(-2) 2E пользуя для оценок значения параметров, типичные для КТ в системе InAs–GaAs, для плотности вероятности (3) (4) 1 µE 1 µE f (R0)R2 нахождения электрона вблизи r = R0 получим 1 + H3() + - 3 H4(), (28) 3 E 96 E 12 значение порядка 0.1R-1, уже приведенное ранее.

7. Разброс КТ по размерам и форме заметным обрагде второе и третье слагаемые в фигурных скобках зом сказывается на характере плотности электронных описывают [17] асимметрию и эксцесс.

состояний в системе нетождественных изолированных Отметим, что ввиду нелинейности преобразования КТ, приводя к преобразованию -образных особенноот R к E определенная асимметрия энергетического стей в пики, форма и положение которых зависят от спектра может иметь место и при весьма симметричстатистических характеристик массива КТ. В частности, ном характере исходного распределения w(R), когда (3) плотность состояний вблизи основного электронного µR = 0. Например, выбрав w(R) в гауссовом виде и уровня опредставляет собой асимметричный пик, ценограничившись случаем полной гауссовой корреляции, в трированный на энергию основного состояния электрона квадратичном по разности (R -R0) приближении из (15) в среднестатистическом потенциале, профиль которого найдем определяется распределением КТ по радиальному раз d (3) меру. Ширина пика зависит как от радиального распре3 µE = -U0 f (R0)R2 D2. (29) 0 R dR0 деления, так и от степени коррелированности формы поверхности КТ по разным направлениям, увеличиваясь Как отмечено выше, нелинейность преобразования от R от нуля (в отсутствие корреляции) до максимального к E сравнительно слаба, так что во всех случаях, значения, соответствующего предельной степени коррекогда w(R) близко к гауссовому закону, распределеляции, когда все КТ в массиве становятся геометричение g(E) также мало отличается от нормального и ски подобными. Асимметрия пика плотности состояний достаточно точно может описываться выражением (28).

обусловлена как старшими моментами в распределении 6. Приближенное значение энергии основного состоКТ по радиальному размеру, так и непосредственно яния E0 и волновая функция f (r) электрона в среднезависимостью сдвига электронного уровня от величины статистическом потенциале могут быть найдены оснои знака отклонения размера КТ от равновесного.

ванным на теории возмущений методом [18], который заключается в подборе такой сферической прямоугольРабота поддержана МНТП России „Физика твердоной потенциальной ямы глубины U0, чтобы обеспечить тельных наноструктур“.

наилучшее приближение к U(r). Именно, обозначая через E0(Rs) и f (r) энергию основного состояния и s соответствующую волновую функцию электрона в сфеСписок литературы рической прямоугольной потенциальной яме радиуса Rs, в 1-м порядке теории возмущений найдем [1] S.S. Ruvimov, P. Werner, K. Scheerschmidt, U. Richter, U. Gosele, J. Heydenreich, N.N. Ledentsov, M. Grundmann, D. Bimberg, V.M. Ustinov, A.Yu. Egorov, P.S. Kop’ev, E0 = E0(Rs) + f (r)r2 U(r) - U0 (r - Rs) dr. (30) s Zh.I. Alferov. Phys. Rev. B, 51, 14 766 (1995).

[2] Н.Н. Леденцов, В.М. Устинов, С.В. Иванов, Б.Я. Мельцер, М.В. Максимов, П.С. Копьев, Д. Бимберг, Ж.И. Алфёров.

Выберем Rs из условия, чтобы поправка 1-го порядка к УФН 166, 423 (1996) энергии обращалась в нуль. Тем самым будет достиг[3] D. Leonard, M. Krischnamurthy, C.M. Reaves, S.P. Denbaars, нуто наилучшее сближение формы потенциалов U(r) P.M. Petroff. Appl. Phys. Lett., 63, 3203 (1993).

и U0 (r - Rs), поскольку, как отмечено выше, по- [4] J.M. Moison, F. Houzay, F. Barthe, L. Leprince, E. Andre, правками 2-го и высших порядков можно пренебречь. O. Vatel. Appl. Phys. Lett., 64, 196 (1994).

Физика и техника полупроводников, 2002, том 36, вып. 880 В.И. Белявский, С.В. Шевцов [5] N.N. Ledentsov, M. Grundmann, N. Kirstaedter, O. Schmidt, R. Heitz, J. Boher, D. Bimberg, V.M. Ustinov, V.A. Shchukin, P.S. Kop’ev, Zh.I. Alferov, S.S. Ruvimov, A.O. Kosogov, P. Werner, U. Richter, U. Gosele, J. Heydenreich. Proc. 7th Int.

Conf. Modulated Semicond. Struct. (Madrid, Spanish, 1995).

[Sol. St. Electron., 40, 785 (1996)].

[6] Г.Э. Цырлин, В.Н. Петров, М.В. Максимов, Н.Н. Леденцов.

ФТП, 31, 912 (1997).

[7] Н.Н. Леденцов, В.М. Устинов, В.А. Щукин, П.С. Копьев, Ж.И. Алфёров, Д. Бимберг. ФТП, 32, 385 (1998).

[8] В.Г. Талалаев, Б.В. Новиков, С.Ю. Вербин, А.Б. Новиков, Динь Шон Тхак, Г. Гобш, Р. Гольдхан, Н. Штейн, А. Голомбек, Г.Э. Цырлин, В.Н. Петров, В.М. Устинов, А.Е. Жуков, А.Ю. Егоров. ФТП, 34, 467 (2000).

[9] H. Sakaki, G. Yusa, T. Someya, Y. Ohno, T. Noda, H. Akiyama, Y. Kadoya, H. Noge. Appl. Phys. Lett., 67, (1995).

[10] А.Е. Жуков, А.Р. Ковш, В.М. Устинов. ФТП, 33, (1999).

[11] M. Altarelli. Springer Proc. In Physics, ed. by R. Del Sole, A. D’Andrea and A. Lapiccirella (Springer Verlag, Berlin etc., 1988) v. 15, p. 170.

[12] V.A. Shchukin, A.I. Borovkov, N.N. Ledentsov, P.S. Kop’ev, M. Grundmann, D. Bimberg. Phys. Low-Dim. Structur., 12, 43 (1995).

[13] U.E.H. Laheld, F.B. Pedersen, P.S. Hemmer. Phys. Rev. B, 52, 2697 (1995).

[14] Н.Е. Капуткина, Ю.Е. Лозовик. ФТТ 40, 2127 (1998).

[15] N.N. Ledentsov, M.V. Maximov, P.S. Kop’ev, V.M. Ustinov, M.V. Belousov, B.Ya. Meltser, S.V. Ivanov, V.A. Shchukin, Zh.I. Alferov, M. Grundmann, D. Bimberg, S.S. Ruvimov, U. Richter, P. Werner, U. Gosele, U. Heidenreich, P.D. Wang, C.M. Sotomayor Torres. Microelectron. J., 26, 871 (1995).

[16] L.V. Asryan, R.A. Suris. Semicond. Sci. Technol., 11, (1996).

[17] А.А. Свешников. Прикладные методы теории случайных функций (М., Наука, 1968).

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.