WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

В дальнейшем для упрощения аналитических расчетов m = l = 0, = ±d. (7) будем считать, что в легкоплоскостной фазе (XY — легкая плоскость) антиферромагнетика (2) выполнено Что касается электродинамических граничных условий, соотношение то в данной работе будем считать, что с учетом относиb. (5) тельной ориентации нормали к поверхности пленки n и направления равновесной ориентации вектора антиферВ результате при любом k спектр нормальных спиновых колебаний рассматриваемого магнетика (2) будет состо- ромагнетизма l соответствующие выражения для магниять и высоко- и низкочастотной ветвей [12]. В частности, тостатического (H ) и электростатического Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. Влияние внешнего электрического поля на структуру магнонного спектра... (E ) потенциалов могут быть представлены в виде чая k XY, n OX (kx =, ky = k) ( = (l/|l|), = (l/|l|)) (W(k) - 2)A - W(k)A = 0, + = 0, + = 0, = ±d. (8) =,, = 1, 2,..., W(k) 1 + ApP(k) В частности, если пластина имеет двухстороннее сверх 2 0 + c2 (k2 + k2) + ER(k), m x y проводящее покрытие, то 1/ = 0, = 0 [14].

2 W(k) ApP(k) 0 + c2 (k2 + k2) + ER(k), m x y d d 2. Структура спектра объемного P(k) =k2 d sin( ) dtG(, t) sin( t), EH-магнона -d -d d d Для расчета спектра волноводного EH-магнона на основе одновременного учета магнитоэлектрического P(k) =k2 d sin( ) dtG(, t) sin( t), и неоднородного обменного взаимодействий можно -d -d воспользоваться подходом, ранее развитым в рабоd d тах [15–17] для анализа спектра объемных дипольноR(k) = d cos(k ) dtF(, t) cos(kt), обменных магнонов в тонкой ферромагнитной пленке.

С этой целью с помощью функции Грина из уравнений -d -d электро- и магнитостатики (/c 0) с граничным d d условием (8) получим связь между амплитудами элекR(k) = d cos(k ) dtF(, t) cos(kt), тростатического и магнитостатического потенци-d -d алов и амплитудой колебания y-компоненты вектора антиферромагнетизма l, считая пространственное расsh k(t - d + ) -d t, пределение последней вдоль нормали к поверхности sh k( + d + ) /, G пленки заданной функцией. Это дает возможность исG(, t) ключить из полной системы динамических уравнений sh k(t + d + ) t d, (/c 0) переменные, связанные с электростатиче sh k( - d + ) /, G ским и магнитостатическим потенциалами. Таким th(k) =k, k sh(2kd), G образом, задача нахождения магнонного спектра ограни ченного магнитоэлектрика в этом случае сводится к реch ak(t - d + ) - d t, шению краевой задачи только с обменным граничными ch ak( + d + ) /, F условиями (7) для одного интегродифференциального F(, t) ch ak(t + d + ) уравнения относительно ly. Следуя методике, развитой t d, в [15–17], решение данной граничной задачи будем ch ak( - d + ) /, F искать в виде ряда по собственным функциям обменной th(ak) =ak, краевой задачи. В случае (7) имеем ( XY, n, /d, = 1, 2... [15–17]) ak sh(2akd), a µ. (10) F Условием существования нетривиального решения сиly(r, t) = A sin( ) exp(it - ik ). (9) стемы уравнений (10) относительно A является ра венство нулю главного определителя системы. Анализ показывает, что если в (8) 1/ = 0, = 0 (идеальВ результате дисперсионное уравнение, описывающее ный сверхпроводник), то при произвольных, и k спектр рассматриваемой ветви волноводных EH-магноW = 0. В этом случае спектр рассматриваемого типа нов с учетом магнитоэлектрического и неоднородного волноводного EH-магнона, бегущего вдоль антиферрообменного взаимодействий, при k XY (n OX или магнитной пластины,определяется из (10) следующими n OY ) и граничных условиях (7), (8) может быть соотношениями:

представлено в виде бесконечной системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных 2(k) - W(k) =0, = 1, 2.... (11) амплитуд A.

Поскольку структура такой системы уравнений прин- Таким образом, рассматривая соотношения (10) в рамципиально не изменяется в зависимости от относитель- ках метода связанных мод [18], можно утверждать, что в ной ориентации векторов l и n в выбранной плоскости общем случае недиагональные элементы W = 0 в (10) распространения поляритонной волны (XY), для при- представляют собой возмущение по отношению к нумера приведем соответствующие выражения для слу- левому приближению по W = 0, определяемому (11).

Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. 876 С.В. Тарасенко Наличие W = 0 приводит к взаимодействию между мо- | (k) - (k)| 0. В случае антиферромагнетика с дами спектра волноводных EH-магнонов с номерами центром антисимметрии (2) и |E| = 0 в безобменном и. В результате, если для заданных и в (11) имело пределе независимо от номера моды и величины место вырождение мод, при W = 0 точки кроссовера волнового числа k дисперсионные кривые спектра будут отсутствовать, а в окрестности конкретной точки (14) для n OX представляют собой волну прямого кроссовера, определяемой при W = 0 из (11) соотно- типа ( (k)/k > 0), а для n OY — волну шением (k) = (k) ( = ), структуру спектра обратного типа ( (k)/k < 0). При этом для рассматриваемого типа объемного EH-магнона с учетом заданной величины волнового числа k и фиксирован(10), (11) можно представить следующим образом:

ного номера моды < выполняется неравенство вида (k) > (k) в случае n OX и (k) < (k) W(k)-2 W(k)-2 -W(k)0, =. (12) в случае n OY. Независимо от номера моды Аналогичная схема расчета применима и для случая дисперсионные кривые (14) обладают при k = 0 точкой n OY, k XY. В дальнейшем ограничимся изучением перегиба (2 (k)/k2 = 0) как при n OX, так и при спектра EH-магнона как при n OX, так и при n OY n OY. Дисперсионные свойства рассматриваемого безс точностью до членов второго порядка по W обменного EH-магнона (14) формируются при |E| = ( = ), т. е. будем пренебрегать расталкиванием мод в только за счет магнитоэлектрического взаимодействия точке кроссовера и считать, что kx =, ky = k при (если = 0, то (k) = const [10–12]).

n OX и ky =, kz = k при n OY. В результате Рассмотрим теперь дополнительные аномалии спинполучим волнового спектра (14), связанные с Ez = 0. Анализ 2 2 2(k) = 0 + c2 ( + k2 ) 1 + Apk2 ( + k2 )-1 показывает, что в этом случае как при n OX, так и m при n OY уравнение (k)/k = 0 может иметь 2 2 2 отличный от нуля корень. Таким образом, включение E + E (µk2 + )-1, n OX, вдоль оси OZ может приводить к формированию при 2 2 2 2(k) = 0 + c2 (k2 + ) 1 + Ap (k2 + )-1 k = 0 экстремума для дисперсионной кривой (k) m спектра объемных EH-магнонов с k XY и n OX 2 + Ek2 (µ + k2 )-1, n OY. (13) (или n OY ). В частности, для µ > 1 условие наличия Чтобы более детально исследовать роль нелокальных экстремума при k = k на дисперсионной кривой (14) механизмов спин-спинового взаимодействия в формиропри n OX или n OY определяется следующими вании структуры спектра EH-магнонов, бегущих вдоль соотношениями (k XY, kx =, ky = k при n OX 2 антиферромагнитной пластины (2), (7), (8), проаналии ky =, kx = k при n OY, R2 µEµ/(Ap0)):

зируем соотношения (13) в частном случае 0.

2 2 Это отвечает безобменному приближению (пренебреже- 0Ap/µ < E <µ0Ap, нию эффектом пространственной дисперсии, связанным k2 = (R - 1)/(µ - R), n OX, с неоднородным обменным взаимодействием), хорошо известному из теории магнитодипольно-активных магноk2 = (µ - R/(R - 1)), n OY. (15) нов [13].

Если величина внешнего электрического поля E OZ 2 такова, что E < 0Ap/µ, то для заданного номера 3. Безобменный предел спектра моды тип дисперсионной кривой (k), определяобъемного EH-магнона емой (14), не изменяется по сравнению со случаем |E| = 0 (прямая волна [ (k)/k > 0] при n OX, Из (13) следует, что при выполнении условий обратная волна [ (k)/k < 0] при n OY ). Если и W(k) 1 ( = ) коротковолновый предел спектра 2 же имеет место условие E >0Apµ, то, как показывает рассматриваемого типа объемных магнонов при k XY, расчет, наличие E OZ приводит для заданного номера E OZ и l OX может быть представлен в виде магнонной моды (14) и относительной ориентации n и (kx =, ky = k при n OX и ky =, kx = k l к смене типа волны на противоположный по сравнению при n OY ) со случаем |E| = 0 (прямая волна ( (k)/k > 0) 2 при n OY, обратная волна ( (k)/k < 0] при 2(k) =0 1 + Apk2 ( + k2 )- n OX).

2 2 Наряду с этим в случае выполнения (15) как при + E (µk2 + )-1, n OX, n OX, так и при n OY становится возможным фор 2 2 2(k) =0 1 + Ap (k2 + )-мирование при k = 0 точки кроссовера (пересечения) мод с номерами и. Если при k = 0 рассматриваемая 2 + Ek2 (µ + k2 )-1, n OY. (14) мода спектра (14) объемных EH-магнонов имеет максиАнализ соотношений (14) показывает, что данный спин- мум (µ > 1), то в окрестности длинноволновой точки волновой спектр обладает точкой сгущения как при сгущения спектра (k 0) для мод с номерами < k 0, так и при k, т. е. для двух фик- имеет место соотношение (k) > (k), а для сированных номеров мод и имеет место условие k выполняется условие (k) < (k). В том Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. Влияние внешнего электрического поля на структуру магнонного спектра... антиферромагнетике с центром антисимметрии обсуждается в следующем разделе.

4. Эффекты неоднородного обменного взаимодействия В общем случае теоретический анализ соотношений (13) очень громоздок, однако расчеты могут быть существенно упрощены, если считать, что при n OX величина внешнего электрического поля Ez = 0 такова, что с хорошей степенью точности выполнено условие 2 2 2 2 |R - 1| 1 (R Eµ/(Ap), 0 + c2 ).

m В случае n OY аналогичное упрощение расчетов может быть достигнуто в предположении, что величина E OZ такова, что |R - µ| µ. В результате Рис. 1. Структура спектра безобменного объемного EH-магсовместный анализ выражений (13) и (14) показывает, 2 2 2 2 нона (14) при n OX, 0Ap/µ < E < 0Apµ, A 0, что если в безобменном пределе (14) в окрестности 2 2 2 B 0(1 + Ap), C 2(k), k2 (R - 1)/(µ - R).

точки сгущения для мод с заданными номерами и ( < ) имеет место соотношение (k) > (k), то уже при бесконечно малой величине константы неоднородного обменного взаимодействия происходит исчезновение точки сгущения и формирование при k = дополнительной точки пересечения (точки кроссовера) дисперсионных кривых, принадлежащих модам (k) и (k) из (13).3 Если это условие в окрестности точки сгущения дисперсионных кривых (14) не выполняется и (k) < (k) для <, то учет = приводит только к ее исчезновению в соотношениях (13). Кроме того, если в окрестности коротковолновой точки сгущения (k ) для заданного номера моды в безобменном приближении ( 0) имеет место соотношение (k)/k < 0, то наличие неоднородного обменного взаимодействия ( = 0) индуцирует не только исчезновение точки сгущения, но и формирование при k = 0 минимума на соответствующей дисперсионной кривой (k). При этом для заданной Рис. 2. Структура спектра безобменного объемного EH-маготносительной ориентации векторов n и l (k XY ) 2 2 2 нона (14) при n OY, 0Ap/µ < E < 0Apµ, A 2(k), условия появления минимума на дисперсионной кривой 2 2 2 2 2 B 0 + E, C 0(1 + Ap), k2 (µ - R)/(R - 1).

моды с номером (13) существенным образом зависят от величины внешнего электрического поля E OZ.

В частности, для (13) при n l одновременное выполнение условий (k)/k = 0, (k)/k > 0 для случае, когда при k = 0 для фиксированного номера заданного номера моды и k = 0 возможно, если моды, принадлежащей спектру объемных EH-магно2 E > Apµ, тогда как при n l необходимо, чтобы нов (14), имеется минимум (µ > 1), при k 0 для 2 E

мод с номерами < имеем (k) < (k), а при Таким образом, из сопоставления (13) и (14) следует, k (k) > (k) (рис. 1, 2).

что учет = 0 и Ez = 0 приводит к формированию До сих пор при анализе дисперсионных соотношений дополнительной точки кроссовера в спектре распростра(13) мы пренебрегали эффектами, связанными с неодняющихся объемных EH-магнонов (13) по сравнению нородным обменным взаимодействием; для этого был с безобменным пределом (14). В частности, в (13) сделан формальный предельный переход 0. Вместе как для n l, так и для n l становится возможным с тем уже в бесконечном кристалле с ростом волнового одновременное возникновение двух точек пересечения числа k возрастает вклад в энергию спиновой волны (k) = (k) (k = 0) для дисперсионных кривых (6) неоднородного обменного взаимодействия. Влияние мод с заданными номерами и. Например, для n l этого механизма пространственной дисперсии магнито(k XY) необходимым условием для этого является электрической среды (2) на структуру спектра рассматриваемого типа объемных EH-магнонов в ограниченном Здесь и далее диссипацией пренебрегаем.

Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. 878 С.В. Тарасенко выполнение соотношения (15). Совместный учет влияния пространственной дисперсии и внешнего электрического поля в случае n l может приводить также к формированию при k = 0 дополнительной точки экстремума (минимума) дисперсионной кривой (k) спин-волнового спектра (13), если в безобменном пре2 2 деле ( 0) (14) она при Apµ >E >Ap/µ имела для k = 0 только точку максимума.

Для достаточно больших значений величины cm/d соответствующая дисперсионная кривая (k) спектра EH-магнонов (13) при любой величине волнового числа k будет волной прямого типа ( (k)/k > 0), не имеющей ни точек перегиба ( (k)/k = 0), ни точек кроссовера ( (k) = (k)).

Как известно [19], при анализе условий отражения и преломления объемного нормального колебания на границе исследуемого кристалла важную роль играет форма поверхности волновых векторов такой волны.

Локальная геометрия изочастотной поверхности исследуемого типа нормальных объемных колебаний неограниченного кристалла должна существенно влиять и на Рис. 3. Структура сечения поверхности волновых векторов 2 структуру спектра этих колебаний в кристалле конечных EH-магнона (16) при |E| = 0. I — 0 < 2 < 0(1 + Ap), 2 2 размеров, поскольку в данном случае пространственное II — 0(1 + Ap) <2 <0(1 + Ap)2, III — 2 >0(1 + Ap)2.

распределение амплитуды объемных колебаний является результатом интерференции падающих и отраженных от границ образца объемных волн. Анализу влияния эффектов гибридизации магнитоэлектрического и неоднородного обменного взаимодействий на форму поверхности волновых векторов нормальных спиновых волн EH-типа в неограниченном магнетике и связи ее локальной геометрии с найденными выше аномалиями спектра (13) объемных EH-магнонов в пластине магнитоэлектрического антиферромагнетика посвящен следующий раздел.

5. Форма изочастотной поверхности и структура спектра волноводных EH-магнонов Поскольку волновой вектор исследуемого EH-магнона в соотношениях (6) и (13) лежит в плоскости XY, для решения поставленной задачи необходимо с помощью (6) изучить в k-пространстве форму сечения Рис. 4. Структура сечения поверхности волновых векторов изочастотной ( = const) поверхности рассматриваемой 2 2 2 EH-магнона (16) при E > 0Apµ. I — 0 + E > 2 > нормальной спиновой волны EH-типа плоскостью kx ky.

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.