WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика и техника полупроводников, 2004, том 38, вып. 7 Влияние размерного квантования спектра акустических фононов на рассеяние электронов в сверхрешетке GaAs/AlxGa1-xAs © С.И. Борисенко¶ Сибирский физико-технический институт им. В.Д. Кузнецова, 634050 Томск, Россия (Получена 22 июля 2003 г. Принята к печати 15 декабря 2003 г.) Проведен расчет времени релаксации квазидвумерных электронов нижней мини-зоны сверхрешетки GaAs/Al0.35Ga0.65As за счет рассеяния на акустических фононах. Показано, что учет размерного квантования фононного спектра, выполненный в рамках теории упругости, слабо влияет на рассеяние электронов. Данное рассеяние хорошо описывается в рамках фононного спектра объемных полупроводников, входящих в состав сверхрешетки.

1. Введение уравнения Грина-Кристоффеля в приближении изотропного континуума (c12 + 2c44 - c11 = 0):

Влияние размерного квантования фононной подсистемы на рассеяние электронов в гетероструктурах из 2u = v2 u + v2 - v2 (u), (1) отдельных квантовых ям (КЯ) GaAs/Alx Ga1-xAs и сверхt2 решеток (СР) на их основе исследовалось во многих работах. Однако объектом изучения в большинстве из них где v = c44/, v = c11/ — скорости поперечных являлись полярные оптические фононы (ПОФ) [1–11].

и продольных АКФ, зависящие от координаты z с Результаты этих исследований показали, что размерное периодом d вдоль оси СР. В качестве граничных условий квантование спектров ПОФ можно использовать с целью для решений уравнения (1) будем учитывать непреувеличения подвижности электронов СР, определяемой рывность смещений и нормальных компонент тензора рассеянием на ПОФ в области комнатных температур, напряжений на гетерограницах СР, а также подчинение по сравнению с аналогичной подвижностью в объемвектора смещений теореме Блоха относительно переных полупроводниках [12]. Однако вопрос о возможном менной вдоль оси симметрии СР. Решение уравнения (1) увеличении общей решеточной подвижности электронов с учетом изотропности среды будем искать в виде за счет размерного квантования спектра ПОФ являетнормальных колебаний:

ся проблематичным ввиду увеличения роли рассеяния электронов в данных структурах на акустических фоноAq нах (АКФ) [13]. Работ по изучению влияния размерного uq(r) = sq(z ) · eiq x, (2) (z )V квантования спектра АКФ на рассеяние электронов практически нет. В известной работе [14] данная задача где q =(q, 0, qz ) — волновой вектор фонона; sq(z ) — решается в рамках теории упругости для отдельной векторные функции, удовлетворяющие теореме Блоха и квантовой ямы с учетом приближения изотропного коннормировке тинуума. Существенным приближением данной работы являются граничные условия, соответствующие свободa s (z ) s q(z ) 1 d ным гетерограницам КЯ. q dz =, (3) В данной работе изучается влияние размерного кванd (z ) aa + bb -b тования АКФ на рассеяние и подвижность квазидвумерных электронов нижней мини-зоны сверхрешетки (СР) (z ) — плотность вещества (периодическая функция GaAs/AlxGa1-x As. Расчет спектра АКФ проводится мес периодом СР); Aq — комплексная нормальная котодом, предложенным в работе [14]. Однако граничные ордината моды колебаний с номером ; q — моусловия на гетерограницах предполагают непрерывность дуль волнового вектора в плоскости, перпендикулярной отклонений и нормальных компонент тензора напряжеоси СР; qz — компонента волнового вектора вдоль оси ний с учетом блоховской периодичности по периоду СР.

симметрии СР; a и b — ширина КЯ и потенциального барьера (ПБ) сверхрешетки; d = a + b — период СР;

2. Расчет спектра частот a и b — плотность вещества в КЯ и ПБ сооти векторов смещений акустических ветственно.

колебаний сверхрешетки С учетом (2) решение уравнения (1) сводится к нахождению собственных значений и векторов диффе Расчет спектра частот и поля смещений u(r) для СР ренциального оператора D, подчиняющихся граничным из квантовых ям GaAs/Alx Ga1-xAs проведем с помощью условиям:

¶ E-mail: sib@elefot.tsu.ru Du = - u, (4) Влияние размерного квантования спектра акустических фононов на рассеяние электронов... где где sin z, 0 z < a, a a v2 z 2 - v2q2 0 iq(v2 - v2 ) (z ) = (11) z 0,.

-b z < 0.

D = 0 v2 z 2 - v2 q2 В приближении деформационного потенциала для iq(v2 - v2 ) 0 v2 z 2 - v2 q z энергии взаимодействия электронов с АКФ с учетом (9)-(11) формулу для вероятности упругого расДля смещений АКФ, дивергенция от которых отлична сеяния электрона нижней мини-зоны СР с волновым от нуля, система характеристических уравнений для вектором k в состояние с k можно представить в виде определения функции s = exp(iqz ) · e принимает вид wq(k, k ) =w(q) E(k ) - E(k) k,k-q, (v2 q2 + v2q2 - 2)ex + qq(v2 - v2 )ez = где (5) q q(v2 - v2 )ex +(v2q2 + v2 q2 - 2)ez = 0.

2k0TDa 2 aQq w(q) =w(q, qz ) = f, (12) c11aV Решением системы (5) являются четыре значения параDa и c11a — деформационный потенциал дна зоны метра q, соответствующие четырем значениям векторов проводимости и модуль упругости, соответствующие e =(ex, 0, ez ):

веществу КЯ;

2 sin(q) q1,2 = ±Q1 = ± - q2, q f (q) = cq31 - e-2i cq41. (13) v q(2 - q) q3,4 = ±Q2 = ± - q2 ; (6) 4. Расчет времени релаксации v (-Q1, 0, q) (Q1, 0, q) В приближении упругого рассеяния для СР с узe1 =, e2 =, кой нижней мини-зоной расчет времен поперечной и q2 + Q2 q2 + Q 1 продольной релаксации проведем по известным формулам [13]:

(q, 0, Q2) (-q, 0, Q2) e3 =, e4 =. (7) 1 k k q2 + Q2 q2 + Q 2 2 = wq(k, k ) 1 - =, (E) k2 (E) k,,q Из формул (6) следует связь между Q1 и Q2:

(14) 1 sin(k z d) v2 (Q2 + q2 ) =v2(Q2 + q2 ). (8) 1 = wq(k, k ) 1 - =, (E) sin(kz d) (E) k,,q С учетом (6), (7) формула (2) для искомых функций в (15) общем случае принимает вид где E = k2 /2m — энергия поперечного движения Aq r qi электрона по мини-зоне. После интегрирования по волuq(r) = eiq cqi(z ) eiq (z )z eqi(z ), (9) (z )V новому вектору конечного состояния электрона и некоi торых преобразований формулы (14) и (15) можно пригде cqi(z ) — постоянные величины, имеющие значевести к виду, удобному для численного интегрирования:

ние cqi1 и cqi2 в области КЯ и ПБ соответственно.

2k /d Значения этих величин и спектр собственных частот 1 V w(q, qz ) = q2 dqdqz нормальных колебаний q с учетом условия нормиров- (E) 43E 4k2 - qки (3) являются решением системы уравнений, вытека 0 ющих из свойства и граничных условий для решений 4E /d уравнения (1) (см. Приложение).

Vm w(x, qz ) = x1/2dx dqz, (16) 43 E 4E - x 0 3. Расчет вероятности рассеяния 2k /d 1 Vk2 w(q, qz ) Расчет вероятности рассеяния проводился в прибли = 1-cos(qz d) dq dqz жении Борна с приближенной волновой функцией элек- (E) 23E 4k2 -q 0 тронов в виде суммы Блоха по волновым функциям основного состояния бесконечно глубокой квантовой 4E /d Vm w(x, qz )[1-cos(qz d)] ямы СР [13]:

= x-1/2dx dqz, (17) 23 4E -x d 0 z k(r) = eik r eik dn(z - dn), (10) V где x = q2 /2m.

n Физика и техника полупроводников, 2004, том 38, вып. 860 С.И. Борисенко 5. Приближение объемного изотропного спектра акустических фононов В приближении объемного изотропного спектра АКФ переменные в формуле (12) для вероятности рассеяния принимают значения cq31 = 1, cq41 = 0, Qq21 = qz + 2/d. С учетом (14)-(17) для продольного и поперечного времен релаксации получаем известный результат [13] 1 1 1 3k0Tm D a = = =. (18) 0 2 ac11a Формулы (14), (15) с учетом (16)–(18) можно представить в удобном для анализа виде 1 = i(E), (19) i где 4E 1 (x) (E) = x1/2 dx, (20) 2E 4E - x 4E (x) (E) = x-1/2 dx, (21) 4E - x /d 2a (E) = f (q)dqz, (22) /d 2a (E) = f (q) 1 - cos(qz d) dqz. (23) Функции i(E) являются безразмерными и зависят от a и b как от параметров. В приближении объемного изотропного спектра АКФ функции (20)-(23) превращаются в константы:

(E) = (E) =(E) = (E) =1.

6. Расчет подвижности Рис. 1. Дисперсия энергии АКФ сверхрешетки по qz при q = 0 (a) и по E = q2 /2m при q = 0 (b). (1-10) — Как известно [13], подвижность квазидвумерных номера нижних мини-мод акустических фононов.

электронов нижней мини-зоны СР можно представить в виде µxx = µyy = µ = e /m, µzz = µ = e / m, (24) = (x) e-x dx = 0 -1(x) e-x dx, (26) где, и m — усредненные по энергии попереч0 ного движения соответственно поперечное, продольное время релаксации и продольная эффективная масса. Для 1 d=, (27) невырожденного электронного газа с учетом (20), (21) m 2 k0T имеем где x = E/k0T, — ширина нижней мини-зоны зоны -проводимости СР в приближении слабо взаимодейст = (x) e-xx dx = 0 (x) e-xx dx, (25) вующих квантовых ям.

0 Физика и техника полупроводников, 2004, том 38, вып. Влияние размерного квантования спектра акустических фононов на рассеяние электронов... 7. Анализ результатов расчета Численный расчет времени релаксации электронов на АКФ проводился для изопериодической сверхрешетки GaAs/Al0.35Ga0.65As в приближении упругого рассеяния и невырожденного квазидвумерного электронного газа нижней мини-зоны. Для расчета спектра частот и отклонений АКФ в приближении изотропного континуума были использованы следующие параметры [15]: для GaAs — c11a = 12.21 · 1010 Н/м2, c44a = 5.99 · 1010 Н/м2, a = 5.36 г/см3; для сплава GaAs/Alx Ga1-xAs — c11b = c11a + 0.14x, c44b = c44a - 0.05x, b = a - 1.6x.

Поперечная эффективная масса считалась равной эффективной массе электронов в GaAs — m = 0.067m0.

На рис. 1, a, b представлен спектр энергий десяти нижних мини-мод АКФ для симметричной СР с a = b = 5 нм. За счет небольшого различия в параметрах арсенида галлия и сплава, описывающих упругие свойства монокристаллов, рассчитанный спектр слабо отличается от спектра в объемном изотропном кристалле со скоростями продольных и поперечных колебаний, усредненными по формуле viaaa + vibbb vi =. (28) aa + bb На рис. 2, a представлены функции (E) (кривая 1) и (E) (кривая 2), рассчитанные по формулам (22), (23). При расчете этих функций общее число учитываемых мини-мод равнялось 25. Согласно рисунку, влияние размерного квантования спектра АКФ проявляется в наличии слабой дисперсии и анизотропии рассматриваемых функций по энергии электронов, которая отсутствует в приближении объемного спектра АКФ.

Наличие данной дисперсии приводит к появлению слабой дисперсии и анизотропии продольного и поперечного времен релаксации, определяемых функциями i(E), Рис. 2. Дисперсия функций (E) (1) и (E) (2). a: a = 5нм, Рис. 3. Температурная зависимость усредненного по энергии b = 5нм. b: a = 3нм, b = 5нм. c: a = 5нм, b = 3нм. времени релаксации при a = 5нм, b = 5нм: 1 — /0, 2 — /0.

Физика и техника полупроводников, 2004, том 38, вып. 862 С.И. Борисенко а также к температурной зависимости усредненного 1 q(v2 - 2v2 )ei1x + qi1v2 ei1z · ci 1 1 по энергии времени релаксации. На рис. 3 приведены i температурные зависимости усредненных по энергии по перечного (кривая 1) и продольного (кривая 2) времен = 2 q(v2 - 2v2 )ei2x + qi2v2 ei2z · ci2, (П.4) 2 2 релаксации, рассчитанные по формулам (25), (26). В обi ласти температур T = 77-400 K зависимости являются z 1 eiq d монотонно убывающими с ростом температуры.

i1 ieiq aei1xci1 = e-iq bei2xci2, (П.5) 1 i 2 i На рис. 2, b и c показана дисперсия функций i(E), рассчитанных для несимметричной СР с параметрами z 1 eiq d a = 3нм, b = 5нм и a = 5нм, b = 3 нм соответственно.

i1 ieiq aei1z ci1 = e-iq bei2z ci2, (П.6) Расчет с этими функциями усредненных по энергии вре- 1 i 2 i мен релаксации обнаруживает слабую зависимость зна чений i-1 от ширины КЯ и толщины ПБ сверхрешетки i1 v2 eiq a(qei1z + qi1ei1x) · ciв рассматриваемой области изменения параметров.

i z i= eiq d 2 v2 e-iq b(qei2z + qi1ei2x) · ci2, (П.7) 8. Заключение i Из анализа результатов выполненных расчетов можно i1 eiq a q(v2 - 2v2 )ei1x + qi1v2 ei1z · ciсделать следующие выводы: 1) учет размерного кванто 1 1 i вания спектра АКФ слабо влияет на рассеяние электронов в СР GaAs/AlxGa1-x As, приводя к несущественному z i= eiq d 2 e-iq b q(v2 -2v2 )ei2x+ qi2v2 ei2z · ci2, 2 2 уменьшению, появлению температурной зависимости i и анизотропии подвижности за счет времени релакса(П.8) ции; 2) без учета вышеуказанных изменений рассеяние где электронов СР на АКФ хорошо описывается в рамках приближения объемного фононного спектра.

ci1, 0 z < a С учетом сделанных выводов представляется ci(z ) =, i = 1,..., 4. (П.9) ci2, -b z < проблематичным увеличение решеточной подвижности электронов в низкоразмерных гетероструктурах При q = 0 данная система уравнений распадается GaAs/AlxGa1-x As в области комнатных температур на две независимых системы 4 4, одна из которых посредством влияния на полярное рассеяние с помощью определяет спектры продольных, а другая — поперазмерного квантования. Это связано с тем, что, в речных колебаний, являющиеся решением известного отличие от объемного GaAs, рассеяние электронов на трансцендентного уравнения [16] АКФ в рассматриваемых низкоразмерных гетероструктурах за счет размерного квантования электронной a b подсистемы при комнатных температурах может cos(qz d) =cos cos via vib оказаться основным.

1 bvib avia a b - + sin sin. (П.10) Приложение 2 avia bvib via vib Система восьми линейный уравнений для нахожде- В общем случае для поиска нетривиальных решений вышеуказанной системы уравнений 8 8 используются ния решений уравнения (1), являющихся следствием граничных условий и теоремы Блоха для отклонений численные методы, так как задачу не удается свести к и нормальной компоненты тензора напряжений, имеет решению простого уравнения типа (П.10).

следующий вид:

Список литературы 1 ei1xci1 = ei2xci2, (П.1) 1 i 2 i [1] B.K. Ridley. Phys. Rev. B, 39, 5282 (1989).

[2] G.Q. Hai, F.M. Peeters, J.T. Devreese. Phys. Rev. B, 48, 1 ei1z ci1 = ei2z ci2, (П.2) (1993).

1 i 2 i [3] G.Q. Hai, F.M. Peeters, J.T. Devreese. Phys. Rev. B, 62, 10 (2000).

1 v2 (qei1z + qi1ei1x) · ci1 [4] V.V. Bondarenko, F.F. Sizov. Phys. Low-Dim. Structur., №8–9, 123 (1995).

i [5] Д.Н. Мирлин, А.Ф. Родина. ФТТ, 38, 3201 (1996).

[6] X. Zianni, C.D. Simserides, G.P. Triberis. Phys. Rev. B, 55, = 2 v2 (qei2z + qi1ei2x) · ci2, (П.3) 16 324 (1997).

i Физика и техника полупроводников, 2004, том 38, вып. Влияние размерного квантования спектра акустических фононов на рассеяние электронов... [7] C.R. Bennett, M.A. Amato, N.A. Zakhleniuk, B.K. Ridley, M. Babiker. J. Appl. Phys., 83, 1499 (1998).

[8] J. Pozela, A. Namajunas, K. Pozela. V. Jucience. Physica. E, 5, 108 (1999).

[9] B.A.S. Camacho. Phys. St. Sol. (b), 220, 53 (2000).

[10] K. Pozela. ФТП, 35, 1361 (2001).

[11] G.J. Warren, P.N. Butcher. Semicond. Sci. Technol., 1, (1986).

[12] I. Dharssi, P.N. Butcher. J. Phys.: Condens. Matter, 2, (1990).

[13] С.И. Борисенко. ФТП, 36, 861 (2002).

[14] N. Bannov, V. Aristov, V. Mitin, M.A. Stroscio. Phys. Rev.

B, 51, 9930 (1995).

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.