WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

ми, величины p1, p2, p3 также вещественны, как, впроРассмотрим вопрос о непрерывности потока плотчем, и элементы матриц сшивания. Уравнения для огиности вероятности и возникающих при этом огранибающих FX1y, FX3y, FX5yz, FX5yx отличаются от (18) замечениях на значения матричных элементов в матрицах ной x y.

сшивания для огибающих (13)–(15). Усредненная по Полагая в системе (18) огибающие функции пропорэлементарной ячейке z-компонента плотности потока для циональными exp(iqzz), получим систему уравнений, из X1-состояний приближенно пропорциональна величине условия разрешимости которой определяются qz. Из i найденных 8 попарно различающихся знаками корней Iz FX1x FX1x + FX1y FX1y четыре не удовлетворяют условиям применимости сиm1z z z стемы (18) и не должны приниматься во внимание.

Каждый из четырех оставшихся корней отвечает одному - FX1x FX1x - FX1y FX1y, (23) частному решению системы (18). z z Перейдем к рассмотрению более простого случая m1z в (23) учитывает вклад X5-состояний в плотность k =(2/a)(100), т. е. qx = qy = 0. Тогда система (18) распадается на две несвязанных подсистемы для FX1x, FX5xz потока. Плотность потока на гетерогранице должна быть A B непрерывной, поэтому полагаем Iz = Iz. Используя в и FX3x, FX5xy. Обсудим далее именно этот случай. Для последнем выражении условия сшивания (15), получаем, огибающих FX1x, FX5xz получаем что непрерывность потока имеет место, если выполняютFX1x = A1x exp(iq1z) +B1x exp(-iq1z);

ся следующие соотношения:

A1x exp(iq1z) - B1x exp(-iq1z) t1t4 + t3t2 = 0; (mA )-1(t1t3 + t2t4) =(mB )-1. (24) 1z 1z FX5xz = 2ip3q1, (19) EX5 + q2 - E Аналогичные выкладки для X3-потока приводят к услогде q1 находится из уравнения для qz:

виям (EX1 + q2 - E)(EX5 + q2 - E) - 4p2q2 = 0. (20) z z 3 z (mA )-1(13 - 24) =(mB )-1. (25) 3z 3z Если пренебречь в (20) величиной q2 по сравнению с z Разумеется, условия (24) и (25) являются приближенEX5 - E, то q1 имеет вид ными, поскольку приближенными являются исходные выражения для плотности потока (23). Естественно, q1 2m1z(E)(E - EX1);

возникает вопрос о том, какие ограничения на элементы 8pматрицы сшивания накладывают условия непрерывности [m1z(E)]-1 = 2 +, (21) E - EXэлектронной плотности на гетерогранице. Мы полагаем, где m1z(E) — зависящая от энергии поперечная эффек- что использовать для формулировки этих требований тивная масса X1-долины. усредненные по элементарной ячейке волновые функции Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. Смешивание электронных состояний Xx и Xy-долин в гетероструктурах AlAs / GaAs(001) не вполне правомерно, поскольку, в отличие от усреднен- четных M и одинаковы для нечетных. Таким образом, при ной по x, y-плоскости z-компоненты плотности потока, нечетных M уровни i(0) двукратно вырождены, а при усредненная по плоскости электронная плотность суще- четном M вырождение снимается. Этот факт отмечен и ственно зависит от z. Поэтому следует анализировать не- в симметрийном анализе, выполненном в работе [6].

прерывность электронной плотности на гетерограницах, Если подобным образом проанализировать спектр, опираясь на полные выражения для волновых функций.

связанный с X3x- и X3y-долинами в тонком слое GaAs, ограниченном с обеих сторон AlAs (в наших расчетах X3-долина в GaAs ниже X3-долины AlAs), то результат 2. Электронные состояния оказывается противоположным случаю X1-долины. При в квантовой X-яме AlAs четном числе монослоев в GaAs уровни двукратно выпри учете Xx-Xy-смешивания рождены, а при нечетном — вырождение снимается.

При qx = 0, qy = 0 в обоих полупроводниках После определения параметров матрицы сшивания для включается X1-X3-взаимодействие и анализ спектра суогибающих Xx- и Xy-долин (13)–(15) можно перейти к щественно усложняется. В общем случае qx = qy для изучению электронного спектра и распределения элеккаждой из Xx- иXy-долин необходимо учитывать по 4 разтронной плотности в различных гетероструктурах. Расличных частных решения, соответствующих различным смотрим сначала одиночную квантовую X-яму AlAs — qz(qx, qy, E). В двух направлениях волнового вектора q, тонкий слой AlAs, ограниченный с обеих сторон GaAs, соответствующих qx = qy и qx = -qy (вдоль границ и будем интересоваться только Xx- и Xy-состояниями.

поверхностной зоны Бриллюэна), величины qz(qx, qy, E) Как уже было отмечено, для этого надо рассматривать состояния в окрестности k = (2/a)(100) (q = 0). для обеих долин одинаковы и, если условия сшивания Очевидно, что компоненты волнового вектора qx и qy для огибающих принять в виде (13)–(15), можно полубудут квантовыми числами для этой задачи. Рассматри- чить 2 уравнения для отыскания спектра симметризованваемая структура имеет точечную группу симметрии D2d ных и антисимметризованных решений соответственно.

относительно начала координат, выбранного на одном Последние, как и в (26), будут отличаться от первых из атомов плоскости, расположенной в середине слоя знаком перед t2, t4, 2, 4. Обоснованность выбора услоAlAs. (Это будет плоскость из атомов As, если число вий сшивания в не зависящем от qx, qy виде (13)–(15) монослоев в AlAs четное, и плоскость из атомов Ga, показана нами при проведении численных расчетов. Изесли это число нечетное.) В любом случае спектр в за X1-X3-взаимодействия и разных условий сшивания яме i(q ) должен отражать симметрию задачи и удодля X1- и X3-состояний при любом M для qx = 0, qy = влетворять условию i(q ) =i(gq ), где g — элемент нет вырожденных уровней.

из группы D2d. Отсюда следует, что энергетические зоны в квантовой X-яме имеют одинаковую дисперсию вдоль направлений (110) и (110), что явно противоречит 3. Псевдопотенциальные расчеты выводам работы [5].

Выполним анализ спектра при q = 0. В этом Как уже отмечалось, мы провели исследование прослучае, как видно из (18), X1-X3-взаимодействие отцессов Xx-Xy-смешивания электронных состояний в сутствует и спектр находится для каждой пары долин структурах AlAs / GaAs(001) в модели с разрывным на X1x и X1y; X3x и X3y независимо. Рассмотрим сначала гетерограницах псевдопотенциалом. Расчет проводился спектр, связанный с X1x- и X1y-долинами. Пусть волновое методом матрицы рассеяния [8–10], комплексная зонная число qA соответствует AlAs, qB — GaAs. Как сле1 структура определялась методом эмпирического псевдодует из (20)–(21), для энергий внутри ямы qB имеет потенциала. Детальное изложение метода расчета привечисто мнимые значения, qA — вещественные. Введем дено в работах [8–10]. Для вычислений использовались симметризованные (FX1x + FX1y) и антисимметризованные псевдопотенциалы [15], параметры которых определя(FX1x - FX1y) комбинации решений для X1x- и X1y-долин.

лись из условий наилучшего совпадения рассчитанных Используя соотношения (14)–(15), в которых индекс A и экспериментально найденных энергетических зазоров.

относится к AlAs, а B — к GaAs, легко показать, что Векторы обратной решетки bl, удовлетворяющие услоспектр находится из уравнений вию (k0 + bl)2a2 10(2)2, учитывались в разложении (+) (+) (+) (+) [S1 ± (-1)MS2 ][S1 ± S2 ] exp(-iqBd) 1 волновой функции точно; кроме того, около 250 плоских волн учитывалось с помощью теории возмущений (-) (-) (-) (-) - [S1 ± (-1)MS2 ][S1 ± S2 ] exp(iqBd) =0, (26) 1 Левдина. Как показали наши исследования, учет такого большого числа плоских волн необходим для выполгде знак ”+” относится к симметризованным решениям, нения условий унитарности матриц рассеяния. Расчет знак ”–” — к антисимметризованным решениям;

проводился при k в окрестности k = (2/a)(100) qA (±) qA (±) для энергий E в интервале 0.21 эВ E 0.6эВ, S1 = t1 ± t3 1, S2 = t2 ± t4 1, qB qB 1 включающем в себя энергии X1-уровней AlAs и GaAs.

d — толщина слоя AlAs; M — число монослоев в AlAs. Отсчет энергии нами выбран от дна зоны проводимоИз (26) видно, что эти два уравнения различны для сти GaAs.

Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. 846 Г.Ф. Караваев, В.Н. Чернышов Вначале мы провели расчеты матриц сшивания I(z0) единиц имеют следующие значения:

в (2) на гетерогранице AlAs / GaAs (слева AlAs), проt1 = 0.99318, t2 = -0.02421, t3 = 1.04120, t4 = 0.02430;

ходящей по общей плоскости из атомов As. Как уже упоминалось, численные расчеты при k =(2/a)(100) 1 = 1.00476, 2 = 0.06564, 3 = 1.08057, 4 = 0.01660.

показали, что в матрице сшивания с хорошей точностью выделяются два блока (4 4), соответствующие X1- и Отметим, что в отличие от остальных параметры 2 и X3-состояниям обеих долин (Xx и Xy). Вклад всех осталь- 4 зависят от выбора системы единиц. Данные значения ных ветвей комплексной зонной структуры для данного параметров с хорошей точностью удовлетворяют соотинтервала энергий незначителен. Далее мы рассчитали ношениям (24) и (25) при подстановке в них полученматричные элементы импульса plm = K0l|p|K0m и ных в псевдопотенциальном расчете средних по энергии энергии Em(k0) и нашли, что эти параметры имеют поперечных эффективных масс:

следующие значения:

mGaAs 0.25, mAlAs 0.26, mCaAs 0.24, mAlAs 0.1z 1z 3z 1z p1 = -0.11399(-0.10793), (в единицах массы свободного электрона). Подчеркнем, что приведенные значения элементов матриц сшивания p2 = 0.52863(0.52922), T(X1) и T (X3) относятся к случаю, когда в формуле (14) индекс A отвечает AlAs, а индекс B — GaAs.

p3 = 0.49235(0.49409);

Перейдем к обсуждению результатов расчетов для неEX1 = 0.46877(0.20823), которых гетероструктур AlAs / GaAs(001), полученных как при использовании ”точного” псевдопотенциального EX3 = 0.90684(1.18303), подхода, так и в рамках модели огибающих функций. Мы полагаем, что условия сшивания для огибающих и при EX5 = -3.84209(-4.24294).

qx = 0, qy = 0 могут быть записаны, как для q = в виде (13)–(15) с не зависящими от q параметрами.

Значения энергий даны в эВ, матричных элементов имОбоснованность этого приближения проверяется сравпульса — в атомной системе единиц; первые числа соотнением результатов точного и приближенного расчетов.

ветствуют GaAs, вторые (в скобках) — AlAs. Численные Рассмотрим дискретный спектр i(q ) квантовой расчеты коэффициентов разложения Dn (k) показали, m X-ямы AlAs для k в окрестности k = (2/a)(100) что в (3) для выбранного интервала энергий можно (q = 0). Эта зависимость может быть найдена из ограничиться X1-, X3-, X5-состояниями, причем вклад соотношения последних незначителен. Рассчитанные значения plm и det S-1(2) = 0, (27) Em(k0) затем использовались в (18) для определения с помощью соотношения (20) зависимостей q1(E) и q2(E) где S(2) — матрица рассеяния для системы с двумя гетеи огибающих (19). Нами установлено, что результаты, рограницами при фиксированных значениях E и q [16].

полученные из приближенных формул (18)–(20), хороРезультаты расчета для направлений (110) и (100) вектошо воспроизводят данные псевдопотенциального расче- ра q при двух значениях толщин квантовых ям (M = та. Таким образом, мы приходим к обоснованию сформу- и M = 11) приведены на рис. 1. На этом рисунке изолированной ранее четырехдолинной модели.

бражены дисперсии двух низших энергетических уровНа следующем этапе, используя (8), мынашли матри- ней. Отметим, что результаты псевдопотенциального и цу сшивания для огибающих T. Расчет матричных эле- модельного расчетов (в рамках сформулированной выше ментов T показал их достаточно слабую энергетическую четырехдолинной модели) практически совпадают. Как зависимость, которой можно пренебречь и использовать и следует из приведенного выше анализа (см. формуих средние по энергии значения. Последнее прибли- лу (26)), при q = 0 для M = 11 уровни i(0) двукратно жение было проверено с помощью вычисления матриц вырождены, а для M = 10 имеется расщепление порядка сшивания I(z0) для различных энергий из найденных T, 0.004 эВ, связанное с взаимодействием на гетерогранииспользуя соотношение, обратное (8). Мы получили, что цах Xx- и Xy-состояний. Заметим, что при увеличении рассчитанные таким образом матрицы сшивания I(z0) M (M —четное) величина расщепления уменьшается.

практически точно совпадают с исходными I(z0), что сви- Для направления (100) волнового вектора q при обоих детельствует о справедливости сделанного приближения. значениях толщины квантовой ямы мы имеем две кривые Отметим, что фазы в волновых функциях выбирались с существенно различными дисперсиями. Качественное таким образом, чтобы функции |X1, |X3, |X5 были объяснение этому обстоятельству следующее. При таких вещественными и чтобы все вытекающие из свойств q Xx- и Xy-ямы становятся различными, края Xx-ямы симметрии соотношения для функций при q = 0 выпол- изменяются в соответствии с направлением вдоль боль нялись точно (без отличных от 1 фазовых множителей). шой главной оси эллипсоида постоянной энергии для Именно при таком выборе фаз матричные элементы Xx-долины (с большой продольной эффективной масT оказываются вещественными. Мы определили, что сой); для Xy-ямы движение осуществляется вдоль малой ненулевые матричные элементы T в атомной системе главной оси эллипсоида для Xy-долины (с существенно Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. Смешивание электронных состояний Xx и Xy-долин в гетероструктурах AlAs / GaAs(001) и q. Как и в [6], мы рассматриваем случай q = 0.

Матрица Q имеет вид Q11 Q =, 0 Q2(M + N) (1) (Q11) = exp i(kz - s), a 2(M + N) (1) (Q22)µµ = µµ exp i(kzµ - s), a где s — (001)-компонента волнового вектора сверхрешетки; индексы и µ нумеруют падающие и отраженные волны соответствнно; разбиение блоховских волн на падающие и отраженные производится так же, как и в [8–10]; индекс ”1” соответствует GaAs.

Мы проводили как точные псевдопотенциальные расчеты, так и приближенные в рамках четырехдолинной модели для огибающих. Как и ранее, результаты получались практически одинаковыми. Рассчитанные электронные спектры сверхрешеток (AlAs)M(GaAs)N(001), связанные с X1-состояниями зоны проводимости, приведены на рис. 2. Наши результаты качественно совпадают с полученными в работе [6]. (Не приведенные на рис. результаты для M = 11 и N = 8 также качественно совпадают с [6]). Численные отличия связаны с Рис. 1. Электронный энергетический спектр i(q ) в кванразличным выбором параметров для объемных зонных товой X-яме AlAs(001) для направлений (110) и (100) векструктур обоих материалов и разными моделями области тора q при значениях толщин квантовых ям: a — M = 10, гетерограницы. Мы используем модель с разрывным на b — M = 11.

гетерограницах потенциалом; в работе [6] в окрестности гетерограницы, в качестве параметров метода сильной связи, берутся их средние для обоих веществ значения.

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.