WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. 7 Смешивание электронных состояний Xx и Xy-долин в гетероструктурах AlAs / GaAs(001) © Г.Ф. Караваев, В.Н. Чернышов¶ Сибирский физико-технический институт, 634050 Томск, Россия (Получена 15 января 2001 г. Принята к печати 21 января 2001 г.) Рассмотрено Xx-Xy-смешивание состояний электронов X-долин в гетероструктурах AlAs / GaAs(001).

Получены связанные с симметрией структуры общие условия на параметры матрицы сшивания огибающих функций и предложена модель для описания процессов Xx-Xy-смешивания. Найденная нами структура матрицы сшивания существенно отличается от используемых ранее. Параметры модели определены на основе псевдопотенциальных расчетов. Проведены как модельные, так и псевдопотенциальные расчеты дисперсии уровней в квантовых X-ямах AlAs, электронных спектров сверхрешеток (AlAs)M(GaAs)N(001), коэффициентов прохождения X-электронов в структурах с одной X-ямой и двумя X-барьерами. Хорошее совпадение результатов обоих расчетов показывает эффективность предложенной модели для огибающих функций с определенными нами параметрами.

Введение 1. Свойства матриц сшивания огибающих функций Известно, что при определенных условиях (высокие давления, малые толщины слоев GaAs [1–5]) электрон- В нашей работе используется модель с разрывным на границе потенциалом. В этой модели общее решение ные свойства структур AlAs / GaAs(001) в основном определяются электронами из X-долин зон проводимо- уравнения Шредингера n в среде n (n = 1, 2) при фиксированных значениях энергии E и параллельной сти AlAs и GaAs. Вопросу поведения X-электронов в гетерогранице компоненты волнового вектора k можно таких структурах посвящено несколько работ. Впервые Xx-Xy-смешивание электронов изучено при расчетах ме- представить в виде (например, [8–10]) тодом сильной связи электронных спектров сверхрешеn ток (AlAs)M(GaAs)N в направлении (001) при различных n = Cn, (1) k значениях числа слоев M и N [6]. В этой работе показано, что характер минизонного спектра существенно зависит где k = k + k — волновые векторы для подот значений M и N, в частности он двукратно вырожден системы n; k — векторы, перпендикулярные грапри нечетных M и N. В работе [7] в рамках формализма нице; n — частные решения уравнения Шредингера k огибающих функций предложена простая модель смешидля среды n, нумеруемые волновым вектором k при вания Xx- и Xy-состояний на гетерограницах. Проведенn фиксированных значениях E и k. Коэффициенты C ные на ее основе исследования минизонных спектров тех в общем решении (1) находятся из условий сшивания же сверхрешеток качественно согласуются с результатана гетерогранице и условий на бесконечности. Условия ми [6]. Кроме того, в [7] рассмотрена дисперсия минизон сшивания на границе можно представить в виде [8–10] в направлениях, перпендикулярных оси сверхрешетки (001). Эта простая модель с небольшими исправлениями C(1) = I(z0)C(2), (2) была использована в [5] при анализе экспериментальных наблюдений магнетотуннелирования в двухбарьерных где C — вектор-столбец с компонентами C, I(z0) — гетероструктурах AlAs / GaAs(001). Авторы [5] сделали матрица сшивания на гетерогранице z = z0, среда вывод о том, что Xx-Xy-смешивание состояний на гетерорасположена слева от 2.

границах приводит к повороту эллипсоидов постоянной При описании электронных процессов в гетерострукэнергии так, что дисперсии вдоль направлений (110) и турах широкое распространение получил метод огибаю (110) существенно различаются.

щих функций. В рамках этого метода общее решение (1) Насколько нам известно, не существует прямых теореможно представить в виде тических расчетов, обосновывающих условия сшивания при Xx-Xy-смешивании. Этот пробел мы попытались n n = exp i(qxx + qyy) Fm(z) Kn0m, (3) восполнить настоящей статьей, имея в виду большой m интерес к данной проблеме и получаемые на основе предложенной ранее модели существенные выводы. где q = k - k0, ось z направлена перпендикулярно гетероструктуре, |Kn0m — блоховские волновые функции n ¶ в точках k0. Функции Fm(z) имеют смысл огибающих E-mail: vnchern@elefot.tsu.ru Fax:(382-2)233015 функций и удовлетворяют для данных значений E, k и 842 Г.Ф. Караваев, В.Н. Чернышов k0 системе уравнений: Обычно при проведении численных расчетов, например методом псевдопотенциала, max < mmax, так как mmax зависит от числа плоских волн, учитываемых в [Em(k0) - E + p2]ml + 2plmp m разложении волновых функций, а max равняется числу их различных проекций на плоскость границы. Адекват Fm(z) exp[i(qxx + qyy)] = 0, (4) ность условий сшивания для огибающих (8) решаемой задаче может быть определена из анализа соотношений где p — оператор импульса, plm = K0l|p|K0m — (1)–(3) в каждом конкретном случае.

матричные элементы оператора импульса, Em(k0) — Обратим внимание на одно обстоятельство, которое энергии |Kn -состояний. Мы используем атомную си0m используется нами [9,10], в частности для контроля стему единиц, в которой масса свободного электрона равчисленных расчетов, но упущено из виду в ряде рана 1/2. Опорные точки k0 могут быть произвольными, бот [6,7,11,12]. Условия сшивания (8) должны иметь но удобнее их выбирать равными значениями волнового неизменный вид независимо от порядка следования словектора на дне различных долин. Таким образом, всю ев AB или BA. Для пояснения сделанного утверждения совокупность k можно разделить на несколько групп, рассмотрим структуру с двумя гетерограницами по плоскаждая из которых характеризуется своим значением k0.

костям z1 и z2, например ABA. Условия сшивания для Например, для гетерограницы по плоскости (001) при огибающих (8) при z = z1 имеют вид k = 0 можно считать, что k0 принимает два значения, n соответствующие - иXz-долинам. Функции Fm(z) можно FA(z1) =TAB(z1)FB(z1), (10) представить в виде n n где 1 = A, 2 = B. Условия сшивания на второй Fm(z) = CDn (k) exp(iqzz), (5) m гетерогранице z = z2 (здесь 2 = A, 1 = B) могут быть записаны в виде где коэффициенты разложения Dn (k) находятся из сиm -стемы алгебраических уравнений, полученной при под- FA(z2) = TBA(z2) FB(z2) =T AB(z2)FB(z2). (11) становке в систему (4) для данного k0 частных решений exp(iqzz). Отметим, что при точной постановке Используя условия сшивания (10) и (11) и матрицу задачи возможные значения k, полученные при решепереноса L(z1, z2) по слою B, получим нии системы (4), должны совпадать с найденными при -расчете комплексной зонной структуры значениями k FA(z1) =TAB(z1)L(z1, z2) T AB(z2) FA(z2). (12) и Dm(k) = K0m|k.

Производные от огибающих по z имеют вид Устремим толщину слоя B к нулю, т. е. z2 z1. Так как n L(z1, z2) при этом стремится к единичной матрице, при Fm(z) n n (Fm) = = i qzCDn (k) exp(qzz). (6) согласованном выборе фаз волновых функций в слоях A m z получим, что T(T )-1 = E, т. е. T = T. Заметим, что в работе [11] отмечено, что равенство T = T Соотношения (5) и (6) при z = z0 можно представить в иногда оказывается справедливым. Мы полагаем, что оно матричном виде справедливо всегда.

Fn =nCn, (7) Перейдем к рассмотрению гетероструктур AlAs / GaAs(001) с гетерограницами, проходящими где F — вектор-столбец размерностью 2mmax с компоненпо общим для обоих материалов плоскостям из тами Fm и Fm; — матрица размерности (2mmax2max), атомов As, при k = (2/a)(100) (a — постоянная элементы которой определяются из (5) и (6). Здесь решетки). Данное значение k соответствует углу mmax — число учтенных долин в разложении (3), 2max — квадратной поверхностной зоны Бриллюэна. Для такого число частных решений в (1).

k существуют две X-долины с k = (2/a)(000) Ясно, что из условий сшивания для волновых функ(k = (2/a)(100), Xx-долина) и k = (2/a)(001) ций (2) однозначные условия сшивания для огибающих (k =(2/a)(101); это состояние с точностью до вектора можно получить только для квадратных матриц, т. е.

n обратной решетки b = (2/a)(111) эквивалентно в (7) необходимо выбирать только max разных Fm. В Xy-долине). В таких структурах в AlAs существуют две этом случае очевидно, что X-ямы (Xx и Xy), в GaAs — два X-барьера и возможно Xx-Xy-смешивание состояний на гетерограницах.

F(1) = T(z0)F(2), (8) Наши численные расчеты (детали которых будут пригде матрица сшивания для огибающих T имеет вид ведены далее) матрицы сшивания I(z0) для энергий в окрестности X1-состояний AlAs и GaAs показали, что T(z0) =1I(z0)(2)-1. (9) в матрице сшивания с хорошей точностью выделяется блок (8 8), причем при q = 0, вследствие симметрии, Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. Смешивание электронных состояний Xx и Xy-долин в гетероструктурах AlAs / GaAs(001) этот блок распадается на два блока (4 4), соответ- иметь блочный вид:

ствующих состояниям, связанным соответственно с X1x 0 E и X3-состояниями обеих (Xx и Xy) долин. Таким образом, (1) (2) R1(S4z ) =, R1(S4x ) =, для данной ситуации max = 4; и для построения модели 0 -x 0 -E огибающих, адекватной точной задаче, необходимо выполнение условия mmax = 4. Как показали наши расчеты, y 0 z (1) (2) в разложении (3) действительно можно ограничиться R3(S4z ) =, R3(S4x ) =.

0 -y 0 -z состояниями X1x, X1y, X3x, X3y, и мы приходим к четырехдолинной модели.

Здесь x, y, z — матрицы Паули, E — единичная Проанализируем некоторые свойства матрицы сшива- матрица размерности (2 2).

ния для огибающих T в (8), обусловленные симметрией Следовательно, матрицы T(X1) и T(X3) тоже имеют задачи. Рассмотрим структуру AB с одной гетерогра- блочный вид:

ницей, начало отсчета координат выберем в одном из t1 t2 0 атомов As на гетерогранице. Ясно, что данная структура t2 t1 0 совпадает сама с собой при преобразованиях из группы T(X1) =, симметрии D2d, не изменяющих направление оси z, и пе 0 0 t3 tреходит от порядка расположения AB к BA при преобра0 0 t4 tзованиях, изменяющих направление оси z на обратное.

Но, поскольку матрица T не зависит от порядка следова1 0 0 ния слоев, она должна быть инвариантной относительно 0 1 2 любых преобразований из группы симметрии D2d. Мы T(X3) =. (15) 0 4 3 рассматриваем здесь случай q = 0. Для получения всех необходимых соотношений достаточно выбрать только 4 0 0 tобразующие элементы группы и проанализировать услоМатричные элементы T должны удовлетворять также вия инвариантности матрицы T относительно них. Сразу определенным требованиям, обусловленным свойстваможно отметить, что, как и для матриц сшивания I(z0), ми периодичности функций |Xx и |Xy [5,7,10,13,14].

огибающие функций и их производные, соответствующие Те элементы T, которые описывают смешивание X1-состояниям на гетерогранице, никак не смешиваются Xx-Xy-состояний (это параметры с четными номерами с огибающими и их производными для X3-состояний. Это t2, t4, 2 и 4), должны изменять знак при переходе от обусловлено различной симметрией функций X1x, X1y и одной гетерограницы к другой в случае нечетного числа функций X3x, X3y на плоскости гетерограницы. Первые две функции не изменяют знак при повороте на 180 монослоев, разделяющих эти гетерограницы. Остальные элементы T, описывающие внутридолинные рассеяния, вокруг оси z, а две вторых при этом изменяют знак.

при таком сдвиге должны оставаться неизменными. Из Таким образом, матрица T может быть представлена в наших матриц сшивания T(X1) и T(X3) видно, что для виде прямой суммы двух (4 4) матриц T(X1) и T(X3):

X1-состояний функции сшиваются с функциями, производные — с производными, а для X3-состояний: функT = T(X1) T(X3), (13) ции сшиваются с производными и производные — с функциями. Этот результат качественно отличается от а условия сшивания для огибающих X1- и X3-состояпредложенного в [5,7].

ний — в виде двух соотношений:

Перейдем к рассмотрению процедуры приближенного определения огибающих. В соответствии с формулой (3) представим общее решение уравнения Шредингера для FA(X1) =T(X1)FB(X1), любой из сред при фиксированных значениях E и k в окрестности k =(2/a)(100) в виде (k0 здесь приниFA(X3) =T(X3)FB(X3), (14) мает два значения, соответствующие Xx- и Xy-долинам):

=(FX1x|X1x + FX1y|X1y + FX3x|X3x где FA(X1), FB(X1) — векторы-столбцы с компонентами (FX1x, FX1y, FX1x, FX1y) и FA(X3), FB(X3) — векторы-столбцы + FX3y|X3y + ) exp[i(qxx + qyy)]. (16) с компонентами (FX3x, FX3y, FX3x, FX3y).

Выберем в качестве первого образующего элемента Функция имеет вид (1) зеркальный поворот S4z на 90 вокруг оси z и в ка(2) = FX5xz|X5xz + FX5xy|X5xy + FX5yz|X5yz + FX5yx|X5yx (17) честве второго — поворот S4x вокруг оси x на 180.

(1) (2) Можно показать, что матрицы R1(S4z ), R1(S4x ) и маи представляет собой вклад от состояний X5 валент(1) (2) трицы R3(S4z ), R3(S4x ), с которыми должны коммути- ной зоны. Вклады от остальных зон учитывать не буровать матрицы T(X1) и T(X2) соответственно, должны дем. Численные расчеты для энергий в окрестности Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. 844 Г.Ф. Караваев, В.Н. Чернышов X1-состояний AlAs и GaAs оправдывают данные пред- Общее решение для огибающих FX3x, FX5xy можно полуположения. Здесь X5 означает, что для вырожденного чить из (19) заменой A1x A2x, B1x B2x, q1 q2, X5-состояния в -долине ( = x, y) используются вол- p3 p2. Волновое число q2 определяется из (20) новые функции с симметрией ( = z, y для = x; после соответствующих замен и для него справедливо = z, x для = y). приближение Для любой из долин (Xx или Xy) уравнения (4) q2 2m3z(E)(E - EX3);

представляют собой систему из 4 уравнений. Запишем уравнения для определения огибающих в окрестности 8p[m3z(E)]-1 = 2 +, (22) Xx-долины:

E - EX EX3 - E + p2 2ip1 px 2ip2 py 2ip2pz m3z(E) — зависящая от энергии поперечная эффективная -2ip1px EX1 - E + p2 2ip3pz 2ip3 py масса X3-долины.

Обратим внимание на то, что огибающие FX1, FX -2ip2py -2ip3pz EX5 - E + p2 -2ip2 pz -2ip3py 0 EX5 - E + p2 нельзя считать похожими (или равными, как в [5]), поскольку в интервале энергий EX1 < E < EX3 волновые числа q1 — вещественные, а q2 — мнимые.

FX3x Таким образом, мы нашли огибающие в окрестноcти FX 1x Xx-долины. Чтобы получить соответствующие огибаю exp[i(qxx + qyy)] = 0. (18) щие в окрестности Xy-долины, достаточно, как уже FX5xz отмечалось, просто произвести во всех соотношениях FX5xy замену x y.

Здесь введены следующие обозначения для матричных Наши расчеты показывают, что огибающие FX5 дают элементов оператора импульса:

малый вклад в общее решение и выражаются через ip1 = X3x|px|X1x, ip2 = X3x|py|X5xz = X3x|pz|X5xy, FX1, FX3 и их производные, но для корректного определения зависимостей q(E) учет состояний X5 валентной ip3 = X1x|py|X5xz = X1x|pz|X5xy.

зоны необходим. Следовательно, мы приходим к рассмоПри выборе всех функций |X1, |X3, |X5 вещественнытренной ранее четырехдолинной модели для огибающих.

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.